橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性3

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程【思考1】在圓

上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程什么？軌跡是什么圖形？

橢圓是圓錐曲線的一種，具有豐富的幾何性質(zhì)，在科研、生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應(yīng)用，那么，橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們?cè)撊绾卫眠@些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)？一、橢圓的定義問題1取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫出的軌跡是一個(gè)圓.如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板中的兩點(diǎn)F1，F(xiàn)2(如圖)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿足的幾何條件是什么？提示橢圓，筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù).一橢圓的定義：定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。

這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。M注

：1、F1、F2是平面內(nèi)兩個(gè)不同定點(diǎn)2、M是橢圓上任意一點(diǎn)，滿足：|MF1|+|MF2|=常數(shù)；3、通常這個(gè)常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c4、如果2a=2c，則M點(diǎn)的軌跡是線段F1F2.5、如果2a<2c，則M點(diǎn)的軌跡不存在.（由三角形的性質(zhì)知）6、如果c=0，則M點(diǎn)的軌跡是圓例1

(1)設(shè)F1，F(xiàn)2為定點(diǎn)，|F1F2|＝6，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝10，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是A.橢圓

B.直線

C.圓

D.線段(2)(多選)設(shè)定點(diǎn)F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，則點(diǎn)P的軌跡可能是A.圓

B.線段

C.橢圓

D.直線√√√二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【思考2】觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡(jiǎn)單

觀察我們畫出的圖形，可以發(fā)現(xiàn)橢圓具有對(duì)稱性，而且過兩個(gè)焦點(diǎn)的直線是它的對(duì)稱軸，所以我們以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，如圖所示，設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c(c>0)，那么焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(－c,0)，(c,0).根據(jù)橢圓的定義，設(shè)點(diǎn)M與焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于2a.由橢圓的定義可知，橢圓可看作點(diǎn)集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}.為了化簡(jiǎn)方程①，我們將其左邊一個(gè)根式移到右邊，對(duì)方程②兩邊平方，得①②③對(duì)方程③兩邊平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④將方程④兩邊同除以a2(a2－c2)，由橢圓的定義可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0.⑤⑥我們將方程⑥稱為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程.OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)Caba、b、c在圖中代表什么a、b、c構(gòu)成直角三角形【思考3】如圖，如果焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是(0，－c)，(0，c)，a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1（3）三個(gè)參數(shù)a、b、c構(gòu)成系數(shù)直角三角形，滿足a2=b2+c2。（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上，大的分母為a平方。（4）求方程：先確定焦點(diǎn)在哪，再求a、b、c，即先定位，再定量。

OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)F(±c，0)在Ｘ軸上F(0，±c)在Ｙ軸上例2

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)；三、橢圓定義的應(yīng)用例3

已知P為橢圓

＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積.從而|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②由①②得|PF1|·|PF2|＝4.延伸探究若將本例中“∠F1PF2＝60°”變?yōu)椤啊螾F1F2＝90°”，求△F1PF2的面積.從而|F1F2|＝2c＝6.在△F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓的定義能夠?qū)E圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形，可以利用橢圓的定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識(shí)求解.(3)若橢圓中焦點(diǎn)三角形的頂角∠F1PF2＝θ，則焦點(diǎn)三角形的面積S＝

圖形