相似三角形的判定及性質(zhì)

1.3相似三角形的判定及性質(zhì)

1.3相似三角形的判定及性質(zhì)相似三角形的定義對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似的系數(shù)).復(fù)習(xí)回顧BACA

C

B

判定兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)單方法(1)兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似;(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩三角形相似;(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似.BACA

C

B

如何

證明？EBACD∠A=∠A△ADE∽△ABCDE//BC∠ADE=∠B∠AED=∠C在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE∥BC，則在△ABC中有：∠EAD=∠CAB∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACBEF//DBED//BCFBDE為

ED=FBAECBDF作EF//DB交CB延長(zhǎng)線于F△ADE∽△ABC預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.AECBDEBACD判定定理1

對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述:兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似CBA已知,如圖,在△ABC和△A

B

C

中,∠A=∠A,

∠B=∠B,求證:△ABC∽△A

B

C

A

B

C

DE證明:

在△ABC的邊AB(或AB的延長(zhǎng)線)上,截取AD=A’B’,過(guò)點(diǎn)D作DE//BC,交AC于點(diǎn)E.由預(yù)備定理得:△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B

∴∠ADE=∠B∵∠A=∠A,AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△A

B

C∽△ABCA

B

C

CBADE例如圖,在△ABC,AB=AC,D是AC邊上一點(diǎn),

BD=BC.求證:BC2=AC

CD分析:

遇到線段的比例問(wèn)題可以考慮三角形的相似證明:∵△ABC是等腰三角形∴∠A=180-2∠C∵△BCD是等腰三角形∴∠DBC=180-2∠C∴∠DBC=∠A又∵∠C為公共角∴△ABC∽△BDC即BC2=AC

CDBCDACBADE已知:如圖△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且求證：DE//BCE

證明:

作DE//BC,交AC于E∴AE=AE

因此E與點(diǎn)E

重合即DE

與DE重合,所以DE//BC采用了“同一法”的間接證明引理

如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.當(dāng)一個(gè)命題的條件和結(jié)論所指的概念唯一存在時(shí)，若直接證明有困難，就不妨改為去證它的逆否命題，然后根據(jù)唯一性的原理斷言命題為真，這種解題方法叫做同一法

用同一法解題一般有三個(gè)步驟①先作出一個(gè)符合結(jié)論的圖形，然后推證出所作的圖形符合已知條件；②根據(jù)唯一性，證明所作出的圖形與已知的圖形是全等的或重合的；

③從而說(shuō)明已知圖形符合結(jié)論．例如圖,在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D,連接AD和BD.點(diǎn)E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB.

求證:△DBE∽△ABC.BACDE分析:好容易得出∠ABC=∠DBE只需要再證明即證只要證明△ABD∽△CBE判定定理3對(duì)于任意兩個(gè)三角形,如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述:三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似A

B

C

CBA已知:如圖,在△ABC和△A

B

C

中求證:△ABC∽△A’B’C’證明:

在△ABC的邊AB(或延長(zhǎng)線)上截取AD=A

B,過(guò)點(diǎn)D作DE//BC,交AC于點(diǎn)E.DE△ADE∽△ABC∵AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△ABC∽△A

B

C

例如圖,已知D、E、F分別是△ABC三邊、BC、CA、AB的中點(diǎn).求證：△DEF∽△ABCFDEBAC證明:∵線段EF、FD、DE都是△ABC的中位線∴△DEF∽△ABC例如圖，已知AD、BE分別是△ABC中BC邊和AC邊上的高，H是AD、BE的交點(diǎn)求證：(1)AD

BC=BE

AC

(2)AH

HD=BH