提公因式法公因式為單項(xiàng)式

提公因式法本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容1.2下列每個(gè)式子含字母的因式有哪些？

xy，xz，xw.說一說xy的因式有x，y，…xz的因式有x，z，…xw的因式有x，w，…由此看出，xy，xz，xw有公共的因式x.

幾個(gè)多項(xiàng)式的公共的因式稱為它們的公因式.如何把多項(xiàng)式xy+xz+xw因式分解？

把乘法分配律從右到左地使用，便得出

xy+xz+xw=x(y+z+w).

像上面那樣，如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，這種把多項(xiàng)式因式分解的方法叫做提公因式法.例1把5x2-3xy+x因式分解

.舉例分析

第3項(xiàng)的因式有哪些？

由于x=x·1，因此x是x的因式.

由此看出，x是這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.解

5x2-3xy+x=x(5x-3y+1).注意例1中括號(hào)內(nèi)的第3項(xiàng)為1.例2把-4x2+6x因式分解.舉例分析

公因式的系數(shù)如何確定？

取各項(xiàng)系數(shù)的絕對值的最大公因數(shù)，4，6的最大公因數(shù)為2.

第1項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，最好把負(fù)號(hào)提出，使括號(hào)內(nèi)的第1項(xiàng)的系數(shù)為正.

公因式里含字母嗎？

公因式里含有字母x.

用公因式的系數(shù)-2去除原來多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)，所得的商就是括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)系數(shù).

由此看出，-2x是這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)的公因式.把-2x提出后，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的系數(shù)如何計(jì)算？解

-4x2+6x

注意同號(hào)兩數(shù)相除得正數(shù)，異號(hào)兩數(shù)相除得負(fù)數(shù).因此把負(fù)號(hào)提出后，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)要變號(hào).=-2x(2x-3)

例3把8x2y4-12xy2z因式分解.

舉例分析

公因式的系數(shù)是多少？

是8與12的最大公因數(shù)4.

公因式中含有哪些字母？它們的指數(shù)取多少？

公因式含的字母是各項(xiàng)中相同的字母x，y，它們的指數(shù)應(yīng)當(dāng)取它們在各項(xiàng)中次數(shù)最低的.

由此看出，4xy2是公因式.把4xy2提出后，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)是什么樣子？由于第1項(xiàng)可以寫成

8x2y4=4xy2·2xy2，因此括號(hào)內(nèi)的第1項(xiàng)為2xy2.由于第2項(xiàng)可以寫成4xy2·(-3z)，因此括號(hào)內(nèi)的第2項(xiàng)為-3z.解

8x2y4-12xy2z=4xy2·2xy2+4xy2·(-3z)=4xy2(2xy2-3z).1.說出下列多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式：練習(xí)答：公因式是3y.（1）-12x2y+18xy-15y；答：公因式是πr2.2.在下列括號(hào)內(nèi)填寫適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式：3x2-2x+1（1）3x3-2x2+x=x(

)（2）-30x3y2+48x2yz=-6x2y()5xy-8z3.把下列多項(xiàng)式因式分解：答案：y(3x-5y+1)（1）3xy-5y2+y；（2）-6m3n2-4m2n3+10m2n2.答案：-2m2n2(3m+2n-5)下列多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式是什么？說一說x(x-2)-3(x-2)；x(x-2)-3(2-x)；(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2.答：公因式是x-2.答：公因式是x-2.答：公因式是a-b.例4把x(x-2)-3(x-2)因式分解.舉例解

x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)例5把x(x-2)-3(2-x)因式分解.舉例解

x(x-2)-3(2-x)分析

第2項(xiàng)中的2-x可以寫成-(x-2).

于是x-2是各項(xiàng)的公因式.=x(x-2)-3[-(x-2)]

=x(x-2)+3(x-2)=(x-2)(x+3).例6把(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2因式分解.舉例解

(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2分析

第2項(xiàng)中的(b-a)2可以寫成[-(a-b)]2=(a-b)2.

于是(a-b)2是各項(xiàng)的公因式.=(a+c)(a-b)2-(a-c)(a-b)2=(a-b)2[(a+c)-(a-c)]=(a-b)2(a+c-a+c)=2c(a-b)2例7把-12xy2(x+y)+18x2y(x+y)因式分解.

舉例分析

公因式的系數(shù)是多少？

公因式中含哪些字母因式？它們的指數(shù)各是多少？系數(shù)是-6.含x，y，指數(shù)都是1.

公因式中含有什么式子？含有x+y.因此，-6xy(x+y)是各項(xiàng)的公因式.

解

-12xy2(x+y)+18x2y(x+y)=-6xy(x+y)(2y-3x).

從例7的分析，以及例2和例3的分析中，你能說出確定各項(xiàng)的公因式的步驟嗎？動(dòng)腦筋例2分析

公因式的系數(shù)如何確定？例3分析

公因式的系數(shù)是多少？例7分析

公因式的系數(shù)是多少？

從例5和例6的分析中，你能說出在找公因式中含有的式子時(shí)，要注意什么嗎？例5分析第2項(xiàng)中的2-x可以寫成-(x-2).

于是x-2是各項(xiàng)的公因式.例6分析第2項(xiàng)中的(b-a)2可以寫成

[-(a-b)]2=(a-b)2.

于是(a-b)2是各項(xiàng)的公因式.1.在左、右兩列多項(xiàng)式中，把相等的兩個(gè)多項(xiàng)

式用線連起來：

練習(xí)y-x

(y-x)3(x-y)2

-(x-y)-(x-y)3

(y-x)22.把下列多項(xiàng)式因式分解：（1）y(x-y)+x(x-y)；（2）y(x-y)+x(y-x)；（3）a(x-y)2-b(y-x)2；（4）a(x