3.6-指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較

指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較課題引入

國際象棋大師起源于古代印度.相傳國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，問他要什么，發(fā)明者說：

“請?jiān)谄灞P的第一個(gè)格子里放上1顆麥粒，第二個(gè)格子里放上2顆麥粒，第三個(gè)格子里放上4顆麥粒，以此類推，每個(gè)格子里的麥粒都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子.請給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個(gè)要求不高，就欣然同意了.

假定千顆麥粒的質(zhì)量為40g，據(jù)查，目前世界年度小麥產(chǎn)量為6億噸，但不能滿足發(fā)明者要求，這就是指數(shù)增長.1.當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)，并且對于x＞0，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長就越快。指數(shù)函數(shù)2.當(dāng)a＞1時(shí)，對數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù)，并且對于x＞1，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長就越快。對數(shù)函數(shù)3.當(dāng)x＞0，n＞0時(shí)，冪函數(shù)y=xn是增函數(shù)，并且對于x＞1，當(dāng)n越大時(shí)，其函數(shù)值的增長就越快。yx

-3-2-1O123654321y=x2y=x4冪函數(shù)對于上述三種增加的函數(shù),它們的函數(shù)值的增長快慢有何差別呢?對函數(shù)y=2x,y=x100(x>0),y=log2x的函數(shù)值(取近似值)比較自變量x函數(shù)值y=2xy=x100(x>0)y=log2x············12101.00700442.00973382.00972580.0100710101024101003.32192811001.27×1030102006.64385623002.04×10905.15×102478.22881875003.27×101507.89×102698.96578437005.26×102103.23×102849.45121119008.45×102702.66×102959.81378129966.70×102996.70×102999.9610001.07×10301103009.965784311001.36×103311.38×1030410.103287812001.72×103618.28×1030710.2288187············借助計(jì)算器完成右表

x的變化區(qū)間函數(shù)值的變化量y=2xy=x100(x>0)y=log2x(1,10)102310100－13.3219281(10,100)1.27×1030102003.3219281(100,300)2.04×10905.15×102471.5849625(300,500)3.27×101507.89×102690.7369656(500,700)5.26×102103.23×102840.4854268(700,900)8.45×102702.66×102950.3625701(900,1000)1.07×10301103000.1520031(1000,1100)1.36×103311.38×103040.1375035(1100,1200)1.72×103618.28×103070.1255309利用上表完成右表4、談函數(shù)y=2x，y=x100(x＞0)，y=log2x的函數(shù)值增長快慢的體會(huì)。隨著x的值越大y=log2x的函數(shù)值增長的越來越慢，y=2x和y=x100的函數(shù)值增長的越來越快，y=log2x增長比y=2x和y=x100要慢的多。對函數(shù)y=2x和y=x100而言，在x比較小時(shí)，會(huì)存在y=x100比y=2x的增長快的情況，當(dāng)x比較大時(shí)，y=2x比y=x100增長得更快。5、在區(qū)間(0,＋∞)上,當(dāng)a＞1,n＞0時(shí),當(dāng)x足夠大時(shí),隨著x的增大,y=ax的增長速度越來越快,會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn的增長速度,而y=logax的增長速度則越來越慢.

因此,總會(huì)存在一個(gè)x0，使得當(dāng)x＞x0時(shí)，一定有ax＞xn＞logax.指數(shù)函數(shù)值長非?？?因而常稱這種現(xiàn)象為”指數(shù)爆炸”課堂練習(xí)1.求方程解的個(gè)數(shù)。2.求方程解的個(gè)數(shù)。3.x足夠大時(shí)，下列函數(shù)中增長最快的是：B.

C.D.小結(jié)比較了指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長在區(qū)間(0