濾波器組調(diào)研報告

濾波器組調(diào)研報告近年來，濾波器組技術(shù)在語音編碼、圖像變換、通信信號解決、雷達(dá)等方面得到了廣泛應(yīng)用。即使濾波器組技術(shù)在不同的應(yīng)用場合有著不同的構(gòu)造，但其基本原理都是通過分析濾波器將輸入信號從頻域分解為子帶信號。經(jīng)解決后通過綜合濾波器將子帶信號合成為原信號。濾波器組的研究已經(jīng)受到了人們的廣泛重視。

子帶信號解決從提出概念到今天大概30年的歷史，期間經(jīng)歷了下列幾個階段：

（1）提出概念階段

濾波器組的研究最早來源于20實際70年代，重要應(yīng)用于多速采樣，減少計算復(fù)雜度以及減少傳輸數(shù)據(jù)率和存儲單元的規(guī)定。開始受到人們的關(guān)注時期是在1980年，提出了兩通道正交鏡像濾波器組（QuadratureMirrorFilter,簡稱）。由于子帶濾波器中存在分析/綜合濾波器，上下采樣器，因此子帶重建信號普通存在三種失真：幅度失真，相位失真和混疊失真。普通存在混疊失真的濾波器組是線性周期時變系統(tǒng)，而完全消除混疊失真的系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)。如果濾波器組的輸出是純延時的，則稱為精確重建系統(tǒng)。

（2）基本理論發(fā)展的初步階段

在1986年，Smith和Barnwell提出的共軛正交濾波器組初次實現(xiàn)了精確重建。在1986年由Vetterli和在1987年由Vaidyanathan分別獨立研究了濾波器組的精確重建條件，并將兩通道子帶延伸到子帶。他們引入了多相位分量分析濾波器組的辦法使得濾波器組的設(shè)計和分析大大簡化，從而推動了這一學(xué)科的發(fā)展。特別是Vaidyanathan，他和他的研究組提出了無損系統(tǒng)的晶格構(gòu)造，用于設(shè)計精確重建的正交濾波器組，能夠?qū)崿F(xiàn)功率互補(bǔ)的濾波器組，簡化了濾波器的優(yōu)化設(shè)計。這些極大地推動了濾波器組的理論和應(yīng)用的發(fā)展。

（3）豐富完善理論階段

20世紀(jì)80年代末到90年代中期，小波分析研究成為熱點。小波的多分辨分析理論研究表明，滿足一定正則條件的濾波器組能夠迭代計算出小波，Mallat提出了雙尺度方程以及塔式分解算法，這些成果將濾波器組和小波緊密聯(lián)系在一起，使得濾波器組與小波理論及設(shè)計有了非常緊密的聯(lián)系。眾學(xué)者開始重視運(yùn)用濾波器組設(shè)計小波，以及濾波器組本身理論的研究。在此期間，眾人公認(rèn)的最有代表性的人物是VaidyanathanP.P.，他系統(tǒng)地提出了通道正交濾波器組的理論，他將當(dāng)時的研究成果聚集成冊，成為當(dāng)時將從事此領(lǐng)域研究者的必讀之書。

按照濾波器組所含有的特點，濾波器組分成以下幾類：

（1）帶均勻濾波器組

自從引入多相位分量分析濾波器組后，許多學(xué)者開始了在這方面的研究。余弦調(diào)制帶濾波器組的出現(xiàn)是一次重要飛躍。得出了精確重建條件并用格形構(gòu)造進(jìn)行了實現(xiàn)。大大簡化了帶濾波器組的設(shè)計并且出現(xiàn)了類似的快速算法，即快速離散余弦變換。本文也將重要介紹余弦調(diào)制濾波器組的研究和設(shè)計。用調(diào)制的辦法實現(xiàn)帶濾波器組的辦法得到廣泛的應(yīng)用。其中突出的設(shè)計辦法有：非余弦任意正交調(diào)制的帶濾波器組，擴(kuò)展高斯函數(shù)的余弦調(diào)制濾波器組，用調(diào)制的帶濾波器組等。

（2）線性相位濾波器組

在某些應(yīng)用中但愿濾波器組是線性相位的，因此線性相位的濾波器構(gòu)成為了人們研究的熱點之一。線性相位普通是通過濾波器實現(xiàn)的，因此由濾波器做原型濾波器的濾波器得到了廣泛的研究。自從1993年，通道線性相位正交濾波器組理論誕生后來，余弦調(diào)制濾波器組被延伸到線性相位濾波器組領(lǐng)域，從而大大簡化了線性相位濾波器組的設(shè)計，后來提出的用矩陣分解的辦法設(shè)計線性相位的兩通道濾波器組使得設(shè)計更加簡潔。而后研究的任意長度任意通道的線性相位濾波器組的理論、構(gòu)造、及設(shè)計辦法更具普通性。

（3）過采樣濾波器組

當(dāng)采樣因子不大于通道數(shù)時，稱為過采樣濾波器組。與臨界采樣濾波器組相比，它含有以下優(yōu)點：（1）增加了設(shè)計的自由度，精確重建條件比較容易滿足。（2）增加了系統(tǒng)抗噪聲能力。（3）能夠設(shè)計任意時延的濾波器組。（4）方便設(shè)計線性相位濾波器組。

現(xiàn)今，濾波器組的應(yīng)用已經(jīng)得到了人們的廣泛關(guān)注。

在濾波器組的某些應(yīng)用中在規(guī)定濾波器組能夠?qū)崿F(xiàn)精確重建的同時，每一種濾波器含有線性相位特性。但普通濾波器組有些無法實現(xiàn)線性相位的條件，有些雖含有線性相位卻不能精確重建，有些又對原型濾波器的階數(shù)有所限制，即使能夠?qū)崿F(xiàn)精確重建和線性相位這兩個條件，但其低通原型濾波器卻不使線性相位的（即不是有限序列濾波器）。尚有一部分濾波器組能滿足以上條件卻不是余弦調(diào)制的。余弦調(diào)制濾波器組技術(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)精確重建和線性相位的完美結(jié)合，而其低通濾波器也是有限序列的。在精確重建和計算復(fù)雜度之間有著良好的折衷性能。同時，由于余弦調(diào)制濾波器組有很高的實現(xiàn)效率和很低的資源消耗，因此它得到了廣泛的應(yīng)用。

余弦調(diào)試濾波器組能夠體現(xiàn)為以下的形式：

其中和分別為分析和綜合濾波器。而則為低通原型濾波器。能夠看出分析/綜合濾波器都是通過對原型濾波器的余弦調(diào)制來實現(xiàn)的。這使余弦調(diào)制濾波器組含有鮮明的特點。首先，分析濾波器組和綜合濾波器組是通過恰當(dāng)?shù)恼{(diào)制手段優(yōu)化一種或兩個原型濾波器產(chǎn)生的，使整個系統(tǒng)的實現(xiàn)更為高效；另外，整個系統(tǒng)的設(shè)計和優(yōu)化可集中到設(shè)計和優(yōu)化一種原型濾波器上。

故設(shè)計和優(yōu)化低通原型濾波器是設(shè)計余弦調(diào)制濾波器組的核心。在過去的幾十年里，人們對于原型濾波器的研究發(fā)展了眾多的設(shè)計辦法。其中的Parks-McClellan的Chebshev近似設(shè)計辦法，由于其廣泛合用性和通用的設(shè)計程序，倍受人們的青睞。Parks-McClellan辦法是基于最小最大誤差判據(jù)，它使得設(shè)計的濾波器響應(yīng)與盼望濾波器響應(yīng)之間的最大誤差最小化，但是無視了誤差能量。在許多應(yīng)用領(lǐng)域，阻帶能量最小化是至關(guān)重要的。如在多速率信號解決中，慣用窄帶濾波器組將寬帶信號分解成一組窄帶信號，這就規(guī)定所設(shè)計的窄帶濾波器含有較小的阻帶能量，以減少阻帶頻率的泄漏信號對有用信號的干擾。同時，普通這類算法包含了較費(fèi)時的矩陣求逆運(yùn)算或復(fù)雜的迭代計算，從而增加了濾波器設(shè)計的復(fù)雜性，特別是在設(shè)計高階濾波器時所需計算量往往很大。最小二乘設(shè)計法是減小阻帶能量的一種有效的設(shè)計途徑。但基于最小二乘設(shè)計法濾波器經(jīng)常會出現(xiàn)Gibbs效應(yīng)，即在某些頻率點上阻帶增益很大。這對克制出現(xiàn)在這些頻率點上的干擾信號是極其不利的。

由此可見：即使余弦調(diào)制濾波器組的理論研究已經(jīng)相對成熟，但在實際操作時很難找到完整的設(shè)計算法，其低通原型濾波器組的設(shè)計成為應(yīng)用的瓶頸。因此，展開對余弦調(diào)制濾波器組的低通原型濾波器的多個優(yōu)化設(shè)計算法的研究，借此完善對余弦調(diào)制濾波器組的研究，含有非常重要的理論和實際應(yīng)用價值。

近年來,濾波器組技術(shù)在語音編碼、圖像變換、通信信號解決、雷達(dá)等方面得到了廣泛應(yīng)用。即使濾波器組技術(shù)在不同的應(yīng)用場合有著不同的構(gòu)造，但其基本原理都是通過分析濾波器將輸入信號從頻域分解為子帶信號。經(jīng)解決后通過綜合濾波器將子帶信號合成為原信號。

在諸多實際應(yīng)用中，人們但愿對信號進(jìn)行分析時，在不同的時頻段有不同的分辨率，因此規(guī)定濾波器組中的濾波器所占有的帶寬是非均勻的。許多學(xué)者研究了非均勻濾波器組的理論和設(shè)計辦法。Koilpillai等研究了非均勻濾波器組的精確重建條件，Cox提出合并均勻濾波器組實現(xiàn)非均勻濾波器組的思想，但當(dāng)時由于沒有出現(xiàn)精確重建的帶均勻濾波器組的設(shè)計辦法，他所設(shè)計的非均勻濾波器組是近似精確重建的。而后的一段時間里，人們研制出了共軛正交濾波器組，從而初次實現(xiàn)了精確重建。共軛正交濾波器組是基于均勻濾波器組的理論而實現(xiàn)的。但很顯然，共軛正交濾波器組有其致命的缺點：即使它實現(xiàn)了精確重建和線性相位，但其各自通道濾波器卻是非線性相位的（即其序列是的）。近年來，余弦調(diào)制濾波器組得到廣泛關(guān)注，它含有易于設(shè)計和實現(xiàn)復(fù)雜度低兩個重要特點。在設(shè)計方面，僅需設(shè)計其低通原型濾波器。實現(xiàn)上，能夠通過一組兩通道無損格形濾波器和離散余弦/正弦變換快速實現(xiàn)。典型地，盡管帶精確重建余弦調(diào)制濾波器組的原型濾波器是線性相位的，但它的各子帶分析、綜合濾波器以及與濾波器組對應(yīng)的帶小波不含有線性相位特性。通過允許兩個子帶濾波器占有相似的頻帶，人們提出了帶精確重建均勻余弦調(diào)制濾波器組，其中低通原型濾波器和各子帶濾波器均是線性相位的，這一問題迎刃而解。余弦調(diào)制濾波器組能夠通過格形構(gòu)造（格形濾波器組的思路就是將多相位矩陣分解成為一系列級聯(lián)的塊矩陣，并且在分解的同時，用條件來約束的形式，從而從構(gòu)造上確保了濾波器組的特性）進(jìn)行精確重建，并同時含有線性相位的原型濾波器，由此簡化了線性相位濾波器組的設(shè)計。

余弦調(diào)制濾波器組的出現(xiàn)在這一領(lǐng)域內(nèi)能夠說是一種重大的突破，其技術(shù)將在能夠預(yù)見的將來越發(fā)成熟，得到更大的發(fā)展和應(yīng)用。

就理論而言，原型濾波器的普通設(shè)計可由以下公式表達(dá)：

其中低通原型濾波器的傅立葉變換。

而含有精確重建條件的原型濾波器又能夠表達(dá)成以下形式：

其中為阻帶截止頻率。

由此可見：余弦調(diào)制濾波器組的低通原型濾波器的設(shè)計就是基于以上的體現(xiàn)式而建立的。

20世紀(jì)90年代初，Koilpillai和Vaidyanathan就余弦調(diào)制濾波器組精確重建的充要條件提出了一種格形實現(xiàn)。的分析/綜合濾波器組都是由一種含有線性相位特性的原型濾波器經(jīng)余弦調(diào)制而得到的濾波器。其精確重建性可由格形構(gòu)造確保,即使格形系數(shù)量化也可重建，因而含有較好的穩(wěn)健性。隨著多速率濾波器組和調(diào)制濾波器組的精確重建理論的建立，精確重建的已成為一種最佳濾波器組。然而這種格形濾波器組的耦合系數(shù)是通過最小化原型濾波器的阻帶能量來求得的。但它的目的函數(shù)是優(yōu)化參數(shù)的高度非線性函數(shù)，由于這是一種嚴(yán)重非線性優(yōu)化問題，求解非常困難；另外，Koilpillai和Vaidyanathan采用Kaiser窗辦法直接設(shè)計高阻帶衰減的原型濾波器，這是一種單參數(shù)的優(yōu)化辦法，其最優(yōu)參數(shù)是通過在一定區(qū)間內(nèi)全部搜索(而不是迭代)得到的，因而計算效率較低，故運(yùn)用此辦法難以設(shè)計出含有高阻帶衰減的精確重建(普通阻帶衰減在-40左右)。而Nguyen通過直接優(yōu)化原型濾波器的系數(shù)使阻帶衰減達(dá)成-100左右，該辦法采用的是有約束的多參數(shù)非線性優(yōu)化，因而計算非常復(fù)雜。Creusere和Mitra提出了一種單參數(shù)的優(yōu)化辦法，直接設(shè)計含有很高阻帶衰減的原型濾波器。當(dāng)增加時，該辦法的運(yùn)算量明顯增加。

而對于本課題來說，旨在研究余弦調(diào)制濾波器組的原型低通濾波器組的設(shè)計方案。這一課題在當(dāng)今學(xué)術(shù)界也正受到廣泛的關(guān)注。如上所述，普通有格形法，Parks-McClellan辦法，Kaiser窗辦法，正交鏡像法，最小平方逼近法，最佳一致逼近法，多相位分解法等等。尚有運(yùn)用黃金分割和牛頓迭代的辦法解決非線性約束優(yōu)化極值問題的。這些辦法都是在余弦調(diào)制濾波器組的原型低通濾波器組的研究中比較先進(jìn)的辦法，從某種程度上講，它們也代表了這一研究方向的發(fā)展趨勢。眾所周知，余弦調(diào)制濾波器組的分析濾波器和綜合濾波器都是由一種含有線性相位特性的原型濾波器經(jīng)余弦調(diào)制而得到的濾波器。隨著多速率濾波器組和調(diào)制濾波器組的精確重建理論的建立，精確重建余弦調(diào)制濾波器組(PR-CMFB)逐步成為了一種最佳濾波器組〔1～3〕。根據(jù)濾波器組的多相表達(dá)辦法和精確重建理論，業(yè)已證明這類濾波器組的原型濾波器的2M個多相元素能夠歸類為M個功率補(bǔ)對，且每個功率補(bǔ)對都能夠用兩通道無損格形濾波器組來實現(xiàn)〔3～5〕。然而這種格形濾波器組的耦合系數(shù)是通過最小化原型濾波器的阻帶能量來求得的。由于這是一種嚴(yán)重非線性優(yōu)化問題，普通很難求解，故難以設(shè)計出含有高阻帶衰減的精確重建余弦調(diào)制濾波器組。近幾年針對該問題，許多學(xué)者都進(jìn)行了廣泛進(jìn)一步的研究，獲得了眾多研究成果〔6～11〕。通過直接將原型濾波器系數(shù)作為優(yōu)化變量，本文將這一設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為帶二次型約束的最小二乘(QCLS)優(yōu)化問題〔8，11〕，并且其約束矩陣都是對稱正定的矩陣。從而，可采用一種變參量的罰函數(shù)辦法來有效求解該優(yōu)化問題。采用這種設(shè)計辦法我們獲得了高阻帶衰減的精確重建余弦調(diào)制濾波器組。下面我們總結(jié)了現(xiàn)有余弦調(diào)制QMF組的設(shè)計辦法和本文辦法的優(yōu)缺點：

現(xiàn)有PRCMFB設(shè)計辦法的局限性：

(1)對初值十分敏感，需提供一種較好的初始近似解；

(2)全部辦法都是迭代類辦法，故計算較為復(fù)雜；

(3)所得優(yōu)化解可能只是一種局部極小點；

(4)將嚴(yán)重非線性優(yōu)化問題通過線性化解決轉(zhuǎn)化為一種多變量線性優(yōu)化問題來求解；

(5)代價函數(shù)φ是有關(guān)格形濾波器系數(shù)的嚴(yán)重非線性函數(shù)，因此很難獲得含有高阻帶衰減的余弦調(diào)制濾波器組。

本文所提出辦法的優(yōu)點：

(1)不必罰因子參數(shù)趨于無窮大即可獲得問題的全局最佳解；

(2)由于該辦法的代價函數(shù)是所設(shè)計的原型濾波器系數(shù)的凸函數(shù)，含有Lyapunov全局穩(wěn)定和收斂特性，故無需提供初始近似解；

(3)解的精度能夠通過適宜控制罰因子參數(shù)的變化范疇。換句話說，PR條件和阻帶衰減之間的折衷能夠通過罰因子參數(shù)來控制；

(4)直接將原型濾波器的沖激響應(yīng)系數(shù)作為優(yōu)化變量；

(5)通過適宜重組原型濾波器的系數(shù)，該辦法可很容易推廣到多維多通道QMF濾波器組狀況各濾波器組的濾波器所占的帶寬是均勻的，為二，MCM是

子帶數(shù))。在諸多應(yīng)用方面，人們但愿對信號進(jìn)行分析時，在不同的時頻段有不同的

分辨率，因此規(guī)定濾波器組中的濾波器所占的帶寬是非均勻的。本章我們要研究完全

重構(gòu)非均勻濾波器組的設(shè)計問題。許多學(xué)者研究了非均勻濾波器組的理論和設(shè)計辦法。

最初設(shè)計的非均勻濾波器組都是近似完全重構(gòu)的[}52}}58}oVaidynathan}s'}首先研究了非均

勻濾波器組的完全重構(gòu)條件，提出了非均勻正交鏡像濾波器組(QMF)的構(gòu)造。由于

均勻濾波器組的設(shè)計辦法相對較為成熟，Cox}'Z}提出合并均勻濾波器組實現(xiàn)非均勻濾波

器組的思想，但當(dāng)時由于沒有出現(xiàn)完全重構(gòu)的M帶均勻濾波器組的設(shè)計辦法，他所設(shè)

計的非均勻濾波器組是近似完全重構(gòu)的。近年來出現(xiàn)了M帶完全重構(gòu)均勻余弦調(diào)制濾

波器組((CMFB)}29}oChan}6'}運(yùn)用Cox的思想以及完全重構(gòu)的cMFB設(shè)計辦法，得到

了完全重構(gòu)的非均勻濾波器組。

在合并的設(shè)計思想中，需要分別設(shè)計兩個均勻濾波器組，通道數(shù)為M和m(m<M),

其中m通道的被稱為合并濾波器組。如果合并濾波器組設(shè)計不當(dāng)，就會造成在分析(合

成)濾波器組的阻帶內(nèi)的頻率特性有很大的起伏峰[63]。Chars的辦法需要根據(jù)M通道的

均勻濾波器組的參數(shù)來設(shè)計合并濾波器組，設(shè)計的復(fù)雜度大，并且只討論了M和m互

為質(zhì)數(shù)的狀況。我們將補(bǔ)充討論當(dāng)M和，非互為質(zhì)數(shù)的狀況，并將兩種狀況的設(shè)計方

法總結(jié)為含有雙目的函數(shù)的優(yōu)化問題，提出了一種新的混合優(yōu)化算法來完畢雙目的函

數(shù)優(yōu)化，能夠得到含有良好品質(zhì)的非均勻濾波器組，消除了分析(合成)濾波器組的阻帶

頻段內(nèi)的起伏峰。近年來，濾波器組技術(shù)在語音編碼、圖像變換、通信信號解決、雷達(dá)等方面得到了廣泛應(yīng)用。即使濾波器組技術(shù)在不同的應(yīng)用場合有著不同的構(gòu)造，但其基本原理都是通過分析濾波器將輸入信號從頻域分解為子帶信號。經(jīng)解決后通過綜合濾波器將子帶信號合成為原信號。濾波器組的研究已經(jīng)受到了人們的廣泛重視。

子帶信號解決從提出概念到今天大概30年的歷史，期間經(jīng)歷了下列幾個階段：

（1）提出概念階段

濾波器組的研究最早來源于20實際70年代，重要應(yīng)用于多速采樣，減少計算復(fù)雜度以及減少傳輸數(shù)據(jù)率和存儲單元的規(guī)定。開始受到人們的關(guān)注時期是在1980年，提出了兩通道正交鏡像濾波器組（QuadratureMirrorFilter,簡稱）。由于子帶濾波器中存在分析/綜合濾波器，上下采樣器，因此子帶重建信號普通存在三種失真：幅度失真，相位失真和混疊失真。普通存在混疊失真的濾波器組是線性周期時變系統(tǒng)，而完全消除混疊失真的系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)。如果濾波器組的輸出是純延時的，則稱為精確重建系統(tǒng)。

（2）基本理論發(fā)展的初步階段

在1986年，Smith和Barnwell提出的共軛正交濾波器組初次實現(xiàn)了精確重建。在1986年由Vetterli和在1987年由Vaidyanathan分別獨立研究了濾波器組的精確重建條件，并將兩通道子帶延伸到子帶。他們引入了多相位分量分析濾波器組的辦法使得濾波器組的設(shè)計和分析大大簡化，從而推動了這一學(xué)科的發(fā)展。特別是Vaidyanathan，他和他的研究組提出了無損系統(tǒng)的晶格構(gòu)造，用于設(shè)計精確重建的正交濾波器組，能夠?qū)崿F(xiàn)功率互補(bǔ)的濾波器組，簡化了濾波器的優(yōu)化設(shè)計。這些極大地推動了濾波器組的理論和應(yīng)用的發(fā)展。

（3）豐富完善理論階段

20世紀(jì)80年代末到90年代中期，小波分析研究成為熱點。小波的多分辨分析理論研究表明，滿足一定正則條件的濾波器組能夠迭代計算出小波，Mallat提出了雙尺度方程以及塔式分解算法，這些成果將濾波器組和小波緊密聯(lián)系在一起，使得濾波器組與小波理論及設(shè)計有了非常緊密的聯(lián)系。眾學(xué)者開始重視運(yùn)用濾波器組設(shè)計小波，以及濾波器組本身理論的研究。在此期間，眾人公認(rèn)的最有代表性的人物是VaidyanathanP.P.，他系統(tǒng)地提出了通道正交濾波器組的理論，他將當(dāng)時的研究成果聚集成冊，成為當(dāng)時將從事此領(lǐng)域研究者的必讀之書。

按照濾波器組所含有的特點，濾波器組分成以下幾類：

（1）帶均勻濾波器組

自從引入多相位分量分析濾波器組后，許多學(xué)者開始了在這方面的研究。余弦調(diào)制帶濾波器組的出現(xiàn)是一次重要飛躍。得出了精確重建條件并用格形構(gòu)造進(jìn)行了實現(xiàn)。大大簡化了帶濾波器組的設(shè)計并且出現(xiàn)了類似的快速算法，即快速離散余弦變換。本文也將重要介紹余弦調(diào)制濾波器組的研究和設(shè)計。用調(diào)制的辦法實現(xiàn)帶濾波器組的辦法得到廣泛的應(yīng)用。其中突出的設(shè)計辦法有：非余弦任意正交調(diào)制的帶濾波器組，擴(kuò)展高斯函數(shù)的余弦調(diào)制濾波器組，用調(diào)制的帶濾波器組等。

（2）線性相位濾波器組

在某些應(yīng)用中但愿濾波器組是線性相位的，因此線性相位的濾波器構(gòu)成為了人們研究的熱點之一。線性相位普通是通過濾波器實現(xiàn)的，因此由濾波器做原型濾波器的濾波器得到了廣泛的研究。自從1993年，通道線性相位正交濾波器組理論誕生后來，余弦調(diào)制濾波器組被延伸到線性相位濾波器組領(lǐng)域，從而大大簡化了線性相位濾波器組的設(shè)計，后來提出的用矩陣分解的辦法設(shè)計線性相位的兩通道濾波器組使得設(shè)計更加簡潔。而后研究的任意長度任意通道的線性相位濾波器組的理論、構(gòu)造、及設(shè)計辦法更具普通性。

（3）過采樣濾波器組

當(dāng)采樣因子不大于通道數(shù)時，稱為過采樣濾波器組。與臨界采樣濾波器組相比，它含有以下優(yōu)點：（1）增加了設(shè)計的自由度，精確重建條件比較容易滿足。（2）增加了系統(tǒng)抗噪聲能力。（3）能夠設(shè)計任意時延的濾波器組。（4）方便設(shè)計線性相位濾波器組。

現(xiàn)今，濾波器組的應(yīng)用已經(jīng)得到了人們的廣泛關(guān)注。

在濾波器組的某些應(yīng)用中在規(guī)定濾波器組能夠?qū)崿F(xiàn)精確重建的同時，每一種濾波器含有線性相位特性。但普通濾波器組有些無法實現(xiàn)線性相位的條件，有些雖含有線性相位卻不能精確重建，有些又對原型濾波器的階數(shù)有所限制，即使能夠?qū)崿F(xiàn)精確重建和線性相位這兩個條件，但其低通原型濾波器卻不使線性相位的（即不是有限序列濾波器）。尚有一部分濾波器組能滿足以上條件卻不是余弦調(diào)制的。余弦調(diào)制濾波器組技術(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)精確重建和線性相位的完美結(jié)合，而其低通濾波器也是有限序列的。在精確重建和計算復(fù)雜度之間有著良好的折衷性能。同時，由于余弦調(diào)制濾波器組有很高的實現(xiàn)效率和很低的資源消耗，因此它得到了廣泛的應(yīng)用。

余弦調(diào)試濾波器組能夠體現(xiàn)為以下的形式：

其中和分別為分析和綜合濾波器。而則為低通原型濾波器。能夠看出分析/綜合濾波器都是通過對原型濾波器的余弦調(diào)制來實現(xiàn)的。這使余弦調(diào)制濾波器組含有鮮明的特點。首先，分析濾波器組和綜合濾波器組是通過恰當(dāng)?shù)恼{(diào)制手段優(yōu)化一種或兩個原型濾波器產(chǎn)生的，使整個系統(tǒng)的實現(xiàn)更為高效；另外，整個系統(tǒng)的設(shè)計和優(yōu)化可集中到設(shè)計和優(yōu)化一種原型濾波器上。

故設(shè)計和優(yōu)化低通原型濾波器是設(shè)計余弦調(diào)制濾波器組的核心。在過去的幾十年里，人們對于原型濾波器的研究發(fā)展了眾多的設(shè)計辦法。其中的Parks-McClellan的Chebshev近似設(shè)計辦法，由于其廣泛合用性和通用的設(shè)計程序，倍受人們的青睞。Parks-McClellan辦法是基于最小最大誤差判據(jù)，它使得設(shè)計的濾波器響應(yīng)與盼望濾波器響應(yīng)之間的最大誤差最小化，但是無視了誤差能量。在許多應(yīng)用領(lǐng)域，阻帶能量最小化是至關(guān)重要的。如在多速率信號解決中，慣用窄帶濾波器組將寬帶信號分解成一組窄帶信號，這就規(guī)定所設(shè)計的窄帶濾波器含有較小的阻帶能量，以減少阻帶頻率的泄漏信號對有用信號的干擾。同時，普通這類算法包含了較費(fèi)時的矩陣求逆運(yùn)算或復(fù)雜的迭代計算，從而增加了濾波器設(shè)計的復(fù)雜性，特別是在設(shè)計高階濾波器時所需計算量往往很大。最小二乘設(shè)計法是減小阻帶能量的一種有效的設(shè)計途徑。但基于最小二乘設(shè)計法濾波器經(jīng)常會出現(xiàn)Gibbs效應(yīng)，即在某些頻率點上阻帶增益很大。這對克制出現(xiàn)在這些頻率點上的干擾信號是極其不利的。

由此可見：即使余弦調(diào)制濾波器組的理論研究已經(jīng)相對成熟，但在實際操作時很難找到完整的設(shè)計算法，其低通原型濾波器組的設(shè)計成為應(yīng)用的瓶頸。因此，展開對余弦調(diào)制濾波器組的低通原型濾波器的多個優(yōu)化設(shè)計算法的研究，借此完善對余弦調(diào)制濾波器組的研究，含有非常重要的理論和實際應(yīng)用價值。

近年來,濾波器組技術(shù)在語音編碼、圖像變換、通信信號解決、雷達(dá)等方面得到了廣泛應(yīng)用。即使濾波器組技術(shù)在不同的應(yīng)用場合有著不同的構(gòu)造，但其基本原理都是通過分析濾波器將輸入信號從頻域分解為子帶信號。經(jīng)解決后通過綜合濾波器將子帶信號合成為原信號。

在諸多實際應(yīng)用中，人們但愿對信號進(jìn)行分析時，在不同的時頻段有不同的分辨率，因此規(guī)定濾波器組中的濾波器所占有的帶寬是非均勻的。許多學(xué)者研究了非均勻濾波器組的理論和設(shè)計辦法。Koilpillai等研究了非均勻濾波器組的精確重建條件，Cox提出合并均勻濾波器組實現(xiàn)非均勻濾波器組的思想，但當(dāng)時由于沒有出現(xiàn)精確重建的帶均勻濾波器組的設(shè)計辦法，他所設(shè)計的非均勻濾波器組是近似精確重建的。而后的一段時間里，人們研制出了共軛正交濾波器組，從而初次實現(xiàn)了精確重建。共軛正交濾波器組是基于均勻濾波器組的理論而實現(xiàn)的。但很顯然，共軛正交濾波器組有其致命的缺點：即使它實現(xiàn)了精確重建和線性相位，但其各自通道濾波器卻是非線性相位的（即其序列是的）。近年來，余弦調(diào)制濾波器組得到廣泛關(guān)注，它含有易于設(shè)計和實現(xiàn)復(fù)雜度低兩個重要特點。在設(shè)計方面，僅需設(shè)計其低通原型濾波器。實現(xiàn)上，能夠通過一組兩通道無損格形濾波器和離散余弦/正弦變換快速實現(xiàn)。典型地，盡管帶精確重建余弦調(diào)制濾波器組的原型濾波器是線性相位的，但它的各子帶分析、綜合濾波器以及與濾波器組對應(yīng)的帶小波不含有線性相位特性。通過允許兩個子帶濾波器占有相似的頻帶，人們提出了帶精確重建均勻余弦調(diào)制濾波器組，其中低通原型濾波器和各子帶濾波器均是線性相位的，這一問題迎刃而解。余弦調(diào)制濾波器組能夠通過格形構(gòu)造（格形濾波器