《復(fù)變函數(shù)與積分變換》§5.1 孤立奇點(diǎn)

§5.1孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn):函數(shù)

f(z)的不解析點(diǎn)，稱為f(z)的奇點(diǎn)．孤立奇點(diǎn):若函數(shù)

f(z)在z0處不解析，但在z0的某去心鄰域內(nèi)解析，則稱z0的為f(z)的孤立奇點(diǎn)．例如函數(shù)都以為孤立奇點(diǎn)．和z0=0都是的奇點(diǎn)，但只有為孤立奇點(diǎn)，而

z0=0不是它的孤立奇點(diǎn)．

孤立奇點(diǎn)的分類一若

z0是f(z)的孤立奇點(diǎn)，則一定可以找到一個(gè)R，使f(z)在圓環(huán)域內(nèi)解析，從而f(z)可在該圓環(huán)域內(nèi)將展開成Laurent級(jí)數(shù)稱為f(z)在z0處的正則部分，稱為f(z)在z0處的主要部分．f(z)在其孤立奇點(diǎn)z0處的主要部分決定了它在z0附近的主要性質(zhì)．孤立奇點(diǎn)的分類一定義1設(shè)z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，1）如果f(z)在點(diǎn)z0的主要部分全等于零，即有則稱z0為f(z)的可去奇點(diǎn)；2）如果f(z)在點(diǎn)z0的主要部分只有有限項(xiàng)，即有則稱z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，簡稱為極點(diǎn)；孤立奇點(diǎn)的分類一3）如果f(z)在點(diǎn)z0的主要部分有無窮多項(xiàng)，即有則稱z0為f(z)的本性奇點(diǎn)．可去奇點(diǎn)二可去奇點(diǎn)設(shè)z0為f(z)的可去奇點(diǎn)，則若定義則f(z)在圓域內(nèi)解析，點(diǎn)可當(dāng)作解析點(diǎn)看．所以可去奇例如：為的可去奇點(diǎn)．若定義則f(z)處處解析．可去奇點(diǎn)二定理1如果z0為f(z)的可去奇點(diǎn)，則下列三條件是等價(jià)的：f(z)在點(diǎn)z0的主要部分為零；(1)(2)(3)f(z)在點(diǎn)z0的某去心鄰域內(nèi)有界．可去奇點(diǎn)二證明由(1)知兩邊取極限得當(dāng)時(shí)，有從而即即

f(z)在點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)有界．可去奇點(diǎn)二若在點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)有考慮

f(z)在點(diǎn)z0的主要部分其中為正向圓周可去奇點(diǎn)二則所以即f(z)在點(diǎn)z0的主要部分為零．可去奇點(diǎn)二極點(diǎn)與零點(diǎn)在給出極點(diǎn)的性質(zhì)之前，先給出與極點(diǎn)緊密相關(guān)的零點(diǎn)的定義．則稱為f(z)的零點(diǎn)．若而則稱為f(z)的m級(jí)零點(diǎn)．定義2設(shè)函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，且極點(diǎn)與零點(diǎn)三若z0為f(z)的m級(jí)零點(diǎn)，則為f(z)在z0處的Taylor展開式為從而f(z)可表示成其中在z0處解析且有極點(diǎn)與零點(diǎn)三定理2(零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系)設(shè)函數(shù)f(z)在z0處解析，且不恒為常數(shù)，f(z)的m級(jí)零點(diǎn)的充分必要條件是z0為的m級(jí)極點(diǎn)．則點(diǎn)z0為極點(diǎn)與零點(diǎn)三必要性則從而設(shè)點(diǎn)

為

的m級(jí)零點(diǎn)，在

處解析且其中也在

處解析且證明極點(diǎn)與零點(diǎn)三則在

處的Taylor展開式為設(shè)的m級(jí)極點(diǎn)．是極點(diǎn)與零點(diǎn)三在處的洛朗展開充分性式為的m級(jí)極點(diǎn)，設(shè)

是極點(diǎn)與零點(diǎn)三其中在

解析也在

解析且為

的m級(jí)零點(diǎn)．其中，且極點(diǎn)與零點(diǎn)三定理3設(shè)f

(z)在內(nèi)解析，則點(diǎn)z0為f

(z)的極點(diǎn)的充要條件是點(diǎn)z0為f

(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是推論極點(diǎn)與零點(diǎn)三本性奇點(diǎn)

f(z)的孤立奇點(diǎn)z0為本性奇點(diǎn)的充要條件是不存在；即當(dāng)時(shí)，f(z)既不趨近于也不趨近于任何一個(gè)有限值．關(guān)于本性奇點(diǎn)的判斷一般用定義去判斷，即將f(z)在其孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)展開成Laurent級(jí)數(shù)，分是否為無窮多項(xiàng)．注然后看它的主要部本性奇點(diǎn)四例1并指出它們的類型．求下列各函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，解：為可去奇點(diǎn)．為一級(jí)極點(diǎn)，z=1為三級(jí)極點(diǎn)，為二級(jí)極點(diǎn)．3)z=0為一級(jí)極點(diǎn)．

4)所以z=1為本性奇點(diǎn)．例題五例2設(shè)f(z)和g(z)分別以為m級(jí)和n級(jí)極點(diǎn)，那么下列三個(gè)函數(shù)在處各有什么性質(zhì)？解：f(z)和g(z)分別可表示為：其中在處解析，且例題五1)因其中在

處解析，且所以是函數(shù)f(z)g(z)的m+n級(jí)極點(diǎn)．其中在處解析，且例題五所以當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的m-n級(jí)極點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的可去奇點(diǎn)；若將其看作解析點(diǎn)時(shí)，它是n-m級(jí)零點(diǎn)．是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，當(dāng)

時(shí)，

例題五當(dāng)時(shí)，是的m級(jí)極點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，