5.2 邏輯代數(shù)的基本知識

5.2邏輯代數(shù)的基本知識一、邏輯代數(shù)的基本運算1、與運算邏輯表達(dá)式：Y＝A·B邏輯符號真值表2、或運算邏輯表達(dá)式：Y＝A+B邏輯符號真值表

真值表4、復(fù)合運算常見的復(fù)合門的邏輯表達(dá)式、邏輯符號及真值表如下表所示5、邏輯函數(shù)及其表示方法（1）邏輯函數(shù)。輸出邏輯變量與輸入邏輯變量之間存在一定的對應(yīng)關(guān)系，稱為邏輯函數(shù)。（2）邏輯函數(shù)的表示方法及轉(zhuǎn)換。邏輯函數(shù)可以用邏輯真值表、邏輯表達(dá)式、邏輯圖、波形圖、卡諾圖等方法來表示。不同的表示方法相互間可以進行轉(zhuǎn)換，下面通過例題說明它們之間的轉(zhuǎn)換。

解（1）根據(jù)邏輯表達(dá)式，畫出邏輯圖如下圖所示。（2）將A、B、C的所有組合代入表達(dá)式中進行計算，得到真值表如下表所示。（3）根據(jù)真值表，畫出輸出Y的波形，如下圖所示。二、邏輯代數(shù)的定律和運算規(guī)則1、邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)基本定律如下表所示。2、邏輯代數(shù)的常用公式3、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則（1）代入規(guī)則。在任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊所有出現(xiàn)某一變量的位置，都用某一個邏輯函數(shù)來代替，等式仍然成立，這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。（2）反演規(guī)則。對于任意一個邏輯函數(shù)Y，如果將邏輯函數(shù)Y中所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”；“1”

換成“0”，“0”

換成“1”；原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的邏輯函數(shù)，稱為原函數(shù)Y的反函數(shù)，用Y表示。在應(yīng)用反演規(guī)則時，應(yīng)注意以下兩點：①必須遵守“先括號，然后與，最后或”的運算優(yōu)先次序。②不屬于單個變量上的非號應(yīng)保持不變。

（3）對偶規(guī)則。對于任意一個邏輯函數(shù)Y，如果將其中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“1”換成“0”，“0”換成“1”；而變量保持不變，所得到的邏輯函數(shù)式，稱為原函數(shù)Y的對偶函數(shù)，用Y

表示。若兩邏輯函數(shù)式相等，則它們的對偶式也相等。在應(yīng)用對偶規(guī)則時，應(yīng)注意以下兩點：①要遵守運算符號的先與后或的優(yōu)先次序，掌握好括號的使用。②所有的非號均應(yīng)保持不變。

最簡的與或表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)是：表達(dá)式中的乘積項最少，且每個乘積項中包含的變量個數(shù)也最少。（1）并項法（2）吸收法（3）消去法

（3）最小項編號n個輸入變量的邏輯函數(shù)有2n個最小項，為了表達(dá)方便，對最小項進行編號，將最小項用mi表示，下標(biāo)i就是最小項的編號，用十進制數(shù)表示。編號的方法是先把最小項的原變量用1、反變量用0表示，構(gòu)成二進制數(shù)，然后將這個二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的十進制數(shù)，這個對應(yīng)的十進制數(shù)即為最小項的編號。（4）最小項表達(dá)式任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成若干個最小項之或的形式，這樣的邏輯表達(dá)式稱為最小項表達(dá)式。①由真值表求。由真值表寫邏輯表達(dá)式的方法是將真值表中Y為1的對應(yīng)的輸入變量相與，變量取值為1的用原變量，為0用反變量表示，將這些與項相或，就得到邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式。例

已知函數(shù)Y的真值表下如表所示，求其最小項表達(dá)式。

2、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法卡諾圖是真值表的一種特定的圖示形式，是根據(jù)真值表按一定規(guī)則畫出的一種方格圖。它是由若干個按一定規(guī)律排列起來的方格圖組成的。每一個方格代表一個最小項，它用幾何位置上的相鄰，形象地表示了組成邏輯函數(shù)的各個最小項之間在邏輯上的相鄰性。（1）卡諾圖。有n個輸入變量的邏輯函數(shù)，其卡諾圖由2n個小方格組成。每個方格和一個最小項相對應(yīng)，每個方格所代表的最小項的編號?？ㄖZ圖的組成特點是把具有邏輯相鄰的最小項安排在位置相鄰的方格中。二、三、四變量的卡諾圖，如下圖所示。畫卡諾圖時有以下幾點規(guī)定：①要求上下、左右、相對的邊界四角等相鄰格只允許一個因子發(fā)生變化。②左上角第一個小方格必須處于各變量的反變量區(qū)。③變量位置是以高位到低位因子的次序，按先行后列的順序排列。這是邏輯變量因子在卡諾圖中所處位置的三條規(guī)則。也可以不按這種規(guī)則排列。（2）用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。邏輯函數(shù)的卡諾圖畫法是：先把邏輯函數(shù)化成最小項表達(dá)式，然后在邏輯變量的卡諾圖上把式中各最小項所對應(yīng)的小方格內(nèi)填入1，其余的小方格內(nèi)填入0或不填，這樣就得到了表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖了。即任何一個邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中填入1的那些最小項之或。邏輯函數(shù)的卡諾圖可由真值表、最小項表達(dá)式和與或表達(dá)式畫出。①由真值表畫卡諾圖。先畫出邏輯變量卡諾圖，然后根據(jù)真值表來填寫每一個小方格的值。函數(shù)值為1的，在相對應(yīng)的小方格中填1，函數(shù)值為0的，在相對應(yīng)的小方格中填0或不填。例三變量邏輯函數(shù)的真值表如下表所示，試畫出函數(shù)的卡諾圖。解

先畫出三變量的卡諾圖，然后按每一個小方格所代表的變量取值組合，將與真值表相同變量取值時對應(yīng)的函數(shù)值填入小方格中即可。如圖所示。②由最小項表達(dá)式畫卡諾圖。先畫出邏輯變量卡諾圖，再根據(jù)邏輯函數(shù)最小項表達(dá)式，將邏輯函數(shù)中包含的最小項，在變量卡諾圖相應(yīng)的小方格中填1，不包含的最小項填0或不填，所得的圖形就是邏輯函數(shù)卡諾圖。

④將各卡諾圈所得的乘積項相或，得到化簡后的邏輯表達(dá)式。用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時，為保證結(jié)果的最簡化和準(zhǔn)確性，畫卡諾圈時應(yīng)遵循以下幾個原則：a）先把孤立的“1”圈起來，再將卡諾圖中包括2n個相鄰為“1”的方格圈起來，形成矩形或方形的集合，注意不要遺漏邊沿相鄰和四角相鄰項。b）每個圈盡可能大，這樣可使化簡后得到的乘積項包含的乘積項最少。c）同一個“1”方格可以被圈多次，但每畫一個包圍圈至少包含一個未被包圍過的“1”，以免出現(xiàn)多余項。d）要用最少的圈數(shù)覆蓋函數(shù)的全部最小項，這樣化簡后得到的乘積項最少，但所有的“1”方格都應(yīng)被圈過，不得遺漏。例

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)Y=

m(0，1，4，5，7)。

4、用卡諾化簡具有約束項的邏輯函數(shù)（1）約束項在實際的邏輯問題中，有時對應(yīng)于變量的某些取值下，函數(shù)的值可以是任意的（可能是“0”也可能是“1”）；或者這些變量的取值是不允許、不應(yīng)該或根本不會出現(xiàn)的，這些變量取值所對應(yīng)的最小項稱為約束項，有時又稱為禁止項、無關(guān)項、任意項，在