常州市天一中學(xué)七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷章末訓(xùn)練（Word版-含解析）

常州市天一中學(xué)七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷章末訓(xùn)練（Word版含解析）一、解答題1．已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請(qǐng)你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）2．已知：直線(xiàn)AB∥CD，直線(xiàn)MN分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，作射線(xiàn)EG平分∠BEF交CD于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥MN交EG于H．（1）當(dāng)點(diǎn)H在線(xiàn)段EG上時(shí)，如圖1①當(dāng)∠BEG＝時(shí)，則∠HFG＝．②猜想并證明：∠BEG與∠HFG之間的數(shù)量關(guān)系．（2）當(dāng)點(diǎn)H在線(xiàn)段EG的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)先在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想并證明：∠BEG與∠HFG之間的數(shù)量關(guān)系．3．如圖1，已知直線(xiàn)CD∥EF，點(diǎn)A，B分別在直線(xiàn)CD與EF上．P為兩平行線(xiàn)間一點(diǎn)．（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，則∠APB＝（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）利用（2）的結(jié)論解答：①如圖2，AP1，BP1分別平分∠DAP，∠FBP，請(qǐng)你寫(xiě)出∠P與∠P1的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖3，AP2，BP2分別平分∠CAP，∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B．（用含β的代數(shù)式表示）4．已知點(diǎn)C在射線(xiàn)OA上．（1）如圖①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度數(shù)；（2）在①中，將射線(xiàn)OE沿射線(xiàn)OB平移得O′E'（如圖②），若∠AOB＝α，探究∠OCD與∠BO′E′的關(guān)系（用含α的代數(shù)式表示）（3）在②中，過(guò)點(diǎn)O′作OB的垂線(xiàn)，與∠OCD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P（如圖③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB與∠BO′E′的關(guān)系．5．問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線(xiàn)性質(zhì)，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．問(wèn)題解決：（1）如圖2，AB∥CD，直線(xiàn)l分別與AB、CD交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在直線(xiàn)I上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判斷∠APC、α、β之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在線(xiàn)段MN或NM的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)．請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APC、α、B之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P是AB、CD之間的一點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)A、C右側(cè)），連接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q．若∠APC＝116°，請(qǐng)結(jié)合（2）中的規(guī)律，求∠AQC的度數(shù)．二、解答題6．已知，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于．（1）如圖1，點(diǎn)在兩條平行線(xiàn)外，則與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（2）點(diǎn)在兩條平行線(xiàn)之間，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．①如圖2，說(shuō)明成立的理由；②如圖3，平分交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)．若，求的度數(shù)．7．問(wèn)題情境（1）如圖1，已知，求的度數(shù)．佩佩同學(xué)的思路：過(guò)點(diǎn)作，進(jìn)而，由平行線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)求，求得；問(wèn)題遷移（2）圖2，圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合與相交于點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，記．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．8．已知，直角的邊與直線(xiàn)a分別相交于O、G兩點(diǎn)，與直線(xiàn)b分別交于E、F點(diǎn)，．（1）將直角如圖1位置擺放，如果，則______；（2）將直角如圖2位置擺放，N為AC上一點(diǎn)，，請(qǐng)寫(xiě)出與之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）將直角如圖3位置擺放，若，延長(zhǎng)AC交直線(xiàn)b于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是射線(xiàn)GF上一動(dòng)點(diǎn)，探究，與的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．9．已知直線(xiàn)，點(diǎn)分別為，上的點(diǎn)．（1）如圖1，若，，，求與的度數(shù)；（2）如圖2，若，，，則_________；（3）若把（2）中“，，”改為“，，”，則_________．（用含的式子表示）10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，且滿(mǎn)足，過(guò)作軸于（1）求三角形的面積．（2）發(fā)過(guò)作交軸于，且分別平分，如圖2，若，求的度數(shù)．（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使得三角形和三角形的面積相等？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在；請(qǐng)說(shuō)明理由．三、解答題11．在△ABC中，射線(xiàn)AG平分∠BAC交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)G重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E．（1）如圖1，點(diǎn)D在線(xiàn)段CG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DF平分∠EDB①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，則∠AFD＝；若∠B＝40°，則∠AFD＝；②試探究∠AFD與∠B之間的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）點(diǎn)D在線(xiàn)段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDE的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)與射線(xiàn)AG交于點(diǎn)F試探究∠AFD與∠B之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由12．（1）如圖1，∠BAD的平分線(xiàn)AE與∠BCD的平分線(xiàn)CE交于點(diǎn)E，AB∥CD，∠ADC=50°，∠ABC=40°，求∠AEC的度數(shù)；（2）如圖2，∠BAD的平分線(xiàn)AE與∠BCD的平分線(xiàn)CE交于點(diǎn)E，∠ADC=α°，∠ABC=β°，求∠AEC的度數(shù)；（3）如圖3，PQ⊥MN于點(diǎn)O，點(diǎn)A是平面內(nèi)一點(diǎn)，AB、AC交MN于B、C兩點(diǎn)，AD平分∠BAC交PQ于點(diǎn)D，請(qǐng)問(wèn)的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．在中，，，點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，且，設(shè)．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)在邊上，且時(shí)，則__________，__________；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，其他條件不變，和還滿(mǎn)足（2）中的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)?jiān)趫D③中畫(huà)出圖形，并給予證明．（畫(huà)圖痕跡用黑色簽字筆加粗加黑）14．如圖，△ABC和△ADE有公共頂點(diǎn)A，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC=45°，∠DAE=30°．（1）若DE//AB，則∠EAC＝；（2）如圖1，過(guò)AC上一點(diǎn)O作OG⊥AC，分別交AB、AD、AE于點(diǎn)G、H、F．①若AO＝2，S△AGH＝4，S△AHF＝1，求線(xiàn)段OF的長(zhǎng)；②如圖2，∠AFO的平分線(xiàn)和∠AOF的平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，∠FHD的平分線(xiàn)和∠OGB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)N，∠N+∠M的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其度數(shù)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．如圖①所示，在三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在內(nèi)的點(diǎn)處.（1）若，________.（2）如圖①，若各個(gè)角度不確定，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論.②當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部時(shí)（如圖②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不成立，，，之間又存在什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明．（3）應(yīng)用：如圖③：把一個(gè)三角形的三個(gè)角向內(nèi)折疊之后，且三個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中的和是________.【參考答案】一、解答題1．（1）見(jiàn)解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，根據(jù)，，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的定義即可求的度數(shù)；②如圖解析：（1）見(jiàn)解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，根據(jù)，，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的定義即可求的度數(shù)；②如圖3，過(guò)點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，則有，，，，；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過(guò)點(diǎn)作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)．2．（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，證明見(jiàn)解析；（2）2∠BEG-∠HFG=90°證明見(jiàn)解析部【分析】（1）①證明2∠BEG+∠HFG=90°，可得結(jié)論．②利用平行線(xiàn)的性質(zhì)證明即可．解析：（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，證明見(jiàn)解析；（2）2∠BEG-∠HFG=90°證明見(jiàn)解析部【分析】（1）①證明2∠BEG+∠HFG=90°，可得結(jié)論．②利用平行線(xiàn)的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，結(jié)論：2∠BEG-∠HFG=90°．利用平行線(xiàn)的性質(zhì)證明即可．【詳解】解：（1）①∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，∴2∠BEG+∠HFG=90°，∵∠BEG=36°，∴∠HFG=18°．故答案為：18°．②結(jié)論：2∠BEG+∠HFG=90°．理由：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，∴2∠BEG+∠HFG=90°．（2）如圖2中，結(jié)論：2∠BEG-∠HFG=90°．理由：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°-∠HFG=180°，∴2∠BEG-∠HFG=90°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．3．（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由見(jiàn)解析；（3）①∠P=2∠P1，理由見(jiàn)解析；②∠AP2B=．【分析】（1）過(guò)P作PM∥CD，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠APM=解析：（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由見(jiàn)解析；（3）①∠P=2∠P1，理由見(jiàn)解析；②∠AP2B=．【分析】（1）過(guò)P作PM∥CD，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠APM=∠DAP，再根據(jù)平行公理求出CD∥EF然后根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根據(jù)∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代換即可得證；（2）結(jié)論：∠APB=∠DAP+∠FBP．（3）①根據(jù)（2）的規(guī)律和角平分線(xiàn)定義解答；②根據(jù)①的規(guī)律可得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和平角等于180°列式整理即可得解．【詳解】（1）證明：過(guò)P作PM∥CD，∴∠APM=∠DAP．（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵CD∥EF（已知），∴PM∥CD（平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行），∴∠MPB=∠FBP．（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性質(zhì)）即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．（2）結(jié)論：∠APB=∠DAP+∠FBP．理由：見(jiàn)（1）中證明．（3）①結(jié)論：∠P=2∠P1；理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1，∴∠P=2∠P1．②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，∵AP2、BP2分別平分∠CAP、∠EBP，∴∠CAP2=∠CAP，∠EBP2=∠EBP，∴∠AP2B=∠CAP+∠EBP，=（180°-∠DAP）+（180°-∠FBP），=180°-（∠DAP+∠FBP），=180°-∠APB，=180°-β．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵，此類(lèi)題目，難點(diǎn)在于過(guò)拐點(diǎn)作平行線(xiàn)．4．（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′【分析】（1）先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠AOE的度數(shù)，再根據(jù)直角、周角的定義即可求得∠BOE的度數(shù)；（2）解析：（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′【分析】（1）先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠AOE的度數(shù)，再根據(jù)直角、周角的定義即可求得∠BOE的度數(shù)；（2）如圖②，過(guò)O點(diǎn)作OF∥CD，根據(jù)平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)可得∠OCD、∠BO′E′的數(shù)量關(guān)系；（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，結(jié)合角平分線(xiàn)的定義可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根據(jù)（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，進(jìn)而推出∠AOB=∠BO′E′．【詳解】解：（1）∵CD∥OE，∴∠AOE=∠OCD=120°，∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．證明：如圖②，過(guò)O點(diǎn)作OF∥CD，∵CD∥O′E′，∴OF∥O′E′，∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′．證明：∵∠CPO′=90°，∴PO′⊥CP，∵PO′⊥OB，∴CP∥OB，∴∠PCO+∠AOB=180°，∴2∠PCO=360°-2∠AOB，∵CP是∠OCD的平分線(xiàn)，∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，∴∠AOB=∠BO′E′．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，直角的定義，角平分線(xiàn)的定義，正確作出輔助線(xiàn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（1）∠APC=α+β，理由見(jiàn)解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)即可求解；（2）分點(diǎn)P在線(xiàn)段MN或NM的延長(zhǎng)線(xiàn)解析：（1）∠APC=α+β，理由見(jiàn)解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)即可求解；（2）分點(diǎn)P在線(xiàn)段MN或NM的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)兩種情況，根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)及角的和差即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)P，Q分別作PE∥AB，QF∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)及角的和差即可求解．【詳解】解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=α，∠CPE=β，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．（2）如圖，在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在線(xiàn)段MN的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵AB∥CD，∠PAB=α，∴∠1=∠PAB=α，∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，∴α=∠APC+β，∴∠APC=α-β；如圖，在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在線(xiàn)段NM的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵AB∥CD，∠PCD=β，∴∠2=∠PCD=β，∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，∴β=α+∠APC，∴∠APC=β-α；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P，Q分別作PE∥AB，QF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥QF∥PE∥CD，∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠EPC，∵∠APC=116°，∴∠BAP+∠PCD=116°，∵AQ平分∠BAP，CQ平分∠PCD，∴∠BAQ=∠BAP，∠DCQ=∠PCD，∴∠BAQ+∠DCQ=（∠BAP+∠PCD）=58°，∵AB∥QF∥CD，∴∠BAQ=∠AQF，∠DCQ=∠CQF，∴∠AQF+∠CQF=∠BAQ+∠DCQ=58°，∴∠AQC=58°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，添加輔助線(xiàn)將兩條平行線(xiàn)相關(guān)的角聯(lián)系到一起是解題的關(guān)鍵．二、解答題6．（1）∠A+∠C=90°；（2）①見(jiàn)解析；②105°【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）①過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)平行線(xiàn)找角的聯(lián)系即可求解；②先過(guò)點(diǎn)B作BG∥解析：（1）∠A+∠C=90°；（2）①見(jiàn)解析；②105°【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）①過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)平行線(xiàn)找角的聯(lián)系即可求解；②先過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可得到∠ABE=15°，進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【詳解】解：（1）如圖1，AM與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線(xiàn)構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，運(yùn)用等角的余角（補(bǔ)角）相等進(jìn)行推導(dǎo)．余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．7．（1）80；（2）①；②【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，則PG∥CD，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠BPC的度數(shù)；（2）①過(guò)點(diǎn)P作FD的平行線(xiàn)，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠APE與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系；解析：（1）80；（2）①；②【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，則PG∥CD，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠BPC的度數(shù)；（2）①過(guò)點(diǎn)P作FD的平行線(xiàn)，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠APE與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系；②過(guò)P作PQ∥DF，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，即可得到∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PG∥AB，則PG∥CD，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠B+∠BPG=180°，∠C+∠CPG=180°，又∵∠PBA=125°，∠PCD=155°，∴∠BPC=360°-125°-155°=80°，故答案為：80；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)P作FD的平行線(xiàn)PQ，則DF∥PQ∥AC，∴∠α=∠EPQ，∠β=∠APQ，∴∠APE=∠EPQ+∠APQ=∠α+∠β，∠APE與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系為∠APE=∠α+∠β；②如圖3，∠APE與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系為∠APE=∠β-∠α；理由：過(guò)P作PQ∥DF，∵DF∥CG，∴PQ∥CG，∴∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，∴∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是過(guò)拐點(diǎn)作平行線(xiàn)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得出結(jié)論．8．（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段GF的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．解析：（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段GF的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．【分析】（1）如圖1，作CP∥a，則CP∥a∥b，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可求得答案；（2）如圖2，作CP∥a，則CP∥a∥b，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后結(jié)合已知條件可得∠BCP＝∠NEF，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可得到結(jié)論；（3）分兩種情況，如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥OG，則NP∥OG∥EF，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可推出∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，進(jìn)一步可得結(jié)論；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段GF的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同上面方法利用平行線(xiàn)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，作CP∥a，∵，∴CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，∵∠AOG＝46°，∴∠CEF＝136°，故答案為136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°．理由如下：如圖2，作CP∥a，則CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，而∠NEF+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝∠NEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+∠NEF＝90°；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥OG，∴NP∥OG∥EF，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段GF的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥OG，∴NP∥OG∥EF，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)以及平行公理的推論等知識(shí)，屬于?？碱}型，正確添加輔助線(xiàn)、靈活應(yīng)用平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（1）120o，120o；（2）160；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，，根據(jù)，平行線(xiàn)的性質(zhì)和周角可求出，則，再根據(jù)，，可得，，可求出，，根據(jù)即可得到結(jié)果；（2）同理（1）的求法，解析：（1）120o，120o；（2）160；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，，根據(jù)，平行線(xiàn)的性質(zhì)和周角可求出，則，再根據(jù)，，可得，，可求出，，根據(jù)即可得到結(jié)果；（2）同理（1）的求法，根據(jù)，，求解即可；（3）同理（1）的求法，根據(jù)，，求解即可；【詳解】解：（1）如圖示，分別過(guò)點(diǎn)作，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，，∴．（2）如圖示，分別過(guò)點(diǎn)作，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，，∴．故答案為：160；（3）同理（1）的求法∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和角度的運(yùn)算，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3）【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a＝?b，a?b＋4＝0，解得a＝?2，b＝2，則A（?2，0），B（2，0），C（2，2），即可計(jì)算出解析：（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3）【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a＝?b，a?b＋4＝0，解得a＝?2，b＝2，則A（?2，0），B（2，0），C（2，2），即可計(jì)算出三角形ABC的面積＝4；（2）由于CB∥y軸，BD∥AC，則∠CAB＝∠ABD，即∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，過(guò)E作EF∥AC，則BD∥AC∥EF，然后利用角平分線(xiàn)的定義可得到∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，所以∠AED＝∠1＋∠2＝×90°＝45°；（3）先根據(jù)待定系數(shù)法確定直線(xiàn)AC的解析式為y＝x＋1，則G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），然后利用S△PAC＝S△APG＋S△CPG進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：（1）由題意知：a＝?b，a?b＋4＝0，解得：a＝?2，b＝2，∴A（?2，0），B（2，0），C（2，2），∴S△ABC＝；（2）∵CB∥y軸，BD∥AC，∴∠CAB＝∠ABD，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，過(guò)E作EF∥AC，∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，∴∠AED＝∠1＋∠2＝×90°＝45°；（3）存在．理由如下：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx＋b，把A（?2，0）、C（2，2）代入得：，解得，∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝x＋1，∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），∴S△PAC＝S△APG＋S△CPG＝|t?1|?2＋|t?1|?2＝4，解得t＝3或?1，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或（0，?1）．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、平方的非負(fù)性，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行；同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．三、解答題11．（1）①115°；110°；②；理由見(jiàn)解析；（2）；理由見(jiàn)解析【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠B=50°，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠EDB=∠C=30°，由解析：（1）①115°；110°；②；理由見(jiàn)解析；（2）；理由見(jiàn)解析【分析】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠B=50°，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠EDB=∠C=30°，由角平分線(xiàn)定義得出，，由三角形的外角性質(zhì)得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；若∠B=40°，則∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分線(xiàn)定義得出，，由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；②由①得：∠EDB=∠C，，，由三角形的外角性質(zhì)得出∠DGF=∠B+∠BAG，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由（1）得：∠EDB=∠C，，,由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，則∠B=180°-100°-30°=50°，∵DE∥AC，∴∠EDB=∠C=30°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴，，∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；若∠B=40°，則∠BAC+∠C=180°-40°=140°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴，，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=故答案為：115°；110°；②；理由如下：由①得：∠EDB=∠C，，，∵∠DGF=∠B+∠BAG，∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=；（2）如圖2所示：；理由如下：由（1）得：∠EDB=∠C，，，∵∠AHF=∠B+∠BDH，∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不變化，【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得∠ECD=∠ECB=∠解析：（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不變化，【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，則可得∠E=（∠D+∠B），繼而求得答案；（2）首先延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)F，由三角形外角的性質(zhì)，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D，又由角平分線(xiàn)的性質(zhì)，即可求得答案．（3）由三角形內(nèi)角和定理，可得，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)與三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB∴∠D+∠B=2∠E，∴∠E=（∠D+∠B），∵∠ADC=50°，∠ABC=40°，∴∠AEC=×（50°+40°）=45°；（2）延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)F，∵∠BFD=∠B+∠BAD，∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，∴∠E=∠B+∠EAB－∠ECB=∠B+∠BAE－∠BCD=∠B+∠BAE－（∠B+∠BAD+∠D）=（∠B－∠D），∠ADC=α°，∠ABC=β°，即∠AEC=（3）的值不發(fā)生變化，理由如下：如圖，記與交于，與交于，①，②，①－②得：AD平分∠BAC，【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的定義．此題難度較大，注意掌握整體思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．13．（1）60，30；（2）∠BAD=2∠CDE，證明見(jiàn)解析；（3）成立，∠BAD=2∠CDE，證明見(jiàn)解析【分析】（1）如圖①，將∠BAC=100°，∠DAC=40°代入∠BAD=∠BAC-∠DAC解析：（1）60，30；（2）∠BAD=2∠CDE，證明見(jiàn)解析；（3）成立，∠BAD=2∠CDE，證明見(jiàn)解析【分析】（1）如圖①，將∠BAC=100°，∠DAC=40°代入∠BAD=∠BAC-∠DAC，求出∠BAD．在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠ADC=∠ABC+∠BAD=100°，在△ADE中利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE=∠AED=70°，那么∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°；（2）如圖②，在△ABC和△ADE中利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，∠ADE=∠AED=．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CDE=∠ACB-∠AED=，再由∠BAD=∠DAC-∠BAC得到∠BAD=n-100°，從而得出結(jié)論∠BAD=2∠CDE；（3）如圖③，在△ABC和△ADE中利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC=∠ACB=40°，∠ADE=∠AED=．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CDE=∠ACD-∠AED=，再由∠BAD=∠BAC+∠DAC得到∠BAD=100°+n，從而得出結(jié)論∠BAD=2∠CDE．【詳解】解：（1）∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-40°=60°．∵在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=40°+60°=100°．∵∠DAC=40°，∠ADE=∠AED，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=100°-70°=30°．故答案為60，30．（2）∠BAD=2∠CDE，理由如下：如圖②，在△ABC中，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°．在△ADE中，∠DAC=n，∴∠ADE=∠AED=，∵∠ACB=∠CDE+∠AED，∴∠CDE=∠ACB-∠AED=40°-=，∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=n-100°，∴∠BAD=2∠CDE．（3）成立，∠BAD=2∠CDE，理由如下：如圖③，在△ABC中，∠BAC=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∴∠ACD=140°．在△ADE中，∠DAC=n，∴∠ADE=∠AED=，∵∠ACD=∠CDE+∠AED，∴∠CDE=∠ACD-∠AED=140°-=，∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=100°+n，∴∠BAD=2∠CDE．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，從圖形中得出相關(guān)角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+∠N=142.5°【分析】（1）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)求解即可．（2）①利用三角形的面積求出GH，HF，再證明AO=OG=2，可得結(jié)論．②利用角平分線(xiàn)的定解析：（1）45°；（2）①1；②是定值，∠M+