高等數(shù)學(xué)（上冊） 課件 朱泰英 3-3單調(diào)與凹凸

第三節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法二、曲線的凹凸與拐點函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

第三章一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),證畢單調(diào)區(qū)間許多函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在一些部分區(qū)間上單調(diào)．定義:

若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點．方法:例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為說明:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,例2.

證明時,成立不等式證:

令從而因此且證證明*證明令則從而即定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間

I

上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點

.拐點定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則f(x)在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則f(x)在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢例3.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是凹的.說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,例4.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)

為曲線的拐點.凹凸對應(yīng)例5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標(biāo)令得3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)

及均為拐點.凹凹凸內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加

,及B1.

設(shè)在

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示