基于fbm約束的可控性分形生成方法

基于fbm約束的可控性分形生成方法

生成分段形狀的方法主要分為兩類。一種方法采用光滑的曲線建模方法，在素描輪廓的基礎(chǔ)上生成偽表面的細(xì)節(jié)。在另一種方法中，基于相似的統(tǒng)計(jì)原理，采用fm方法（復(fù)合性碳擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)）生成和繪制分段形狀。典型算法包括白噪聲累積法、中點(diǎn)偏移法和連續(xù)中點(diǎn)位移法。第一種方法可以更好地預(yù)測(cè)和控制生成的分裂形狀，但視覺(jué)效果往往不令人滿意。后者可以更真實(shí)地再現(xiàn)各種豐富多彩的分形形式，但其生成方法具有很大的隨機(jī)性，難以有效控制生成過(guò)程和可視化結(jié)果。為了在分形生成過(guò)程中將兩者的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ),既能保持隨機(jī)分形方法的統(tǒng)計(jì)自相似性,又能根據(jù)給定形狀進(jìn)行有效的控制,國(guó)內(nèi)外許多專家、學(xué)者進(jìn)行了專門(mén)的研究.Szeliski等人提出了基于樣條函數(shù)對(duì)分形生成過(guò)程進(jìn)行約束的模擬方法,通過(guò)在樣條優(yōu)化求解過(guò)程中加入概率因子并以后驗(yàn)分布的隨機(jī)采樣生成分形表面;M.Zribi、高旭、佘龍華與程輝等人通過(guò)給定數(shù)據(jù)集的分析對(duì)分形特征進(jìn)行事先估計(jì),施行約束中點(diǎn)移位法來(lái)完成分形模擬;駱巖林、丁友東與張廷杰等人則分別對(duì)遞歸細(xì)分格式與網(wǎng)函數(shù)法等幾何造型手段進(jìn)行研究,利用法向擾動(dòng)或分形插值等相結(jié)合的方法進(jìn)行分形曲面的生成.然而,上述分形生成方法在對(duì)分形形狀可控性作出不同程度改進(jìn)的同時(shí),仍然存在一些不足之處.Szelisk的方法包含了較大規(guī)模的矩陣方程優(yōu)化求解,迭代計(jì)算與后驗(yàn)采樣過(guò)程均比較繁瑣;采用分形特征事先估計(jì)的方法對(duì)原始數(shù)據(jù)集要求較高,對(duì)于分形特征存在較大差異或分形特征不十分明顯的情形均很難進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì),從而導(dǎo)致模擬效果不佳;通過(guò)遞歸細(xì)分法與網(wǎng)函數(shù)法所得到的分形結(jié)構(gòu)則往往帶有較為明顯的人工插值痕跡,且很難獲得局部起伏較為劇烈的分形特征.本文提出了基于FBM約束模型的可控性分形生成方法,以局部變形能作為與宏觀形狀和細(xì)節(jié)特征之間的雙向關(guān)聯(lián),以閾值估計(jì)作為該約束模型中FBM約束因子的具體實(shí)現(xiàn),以區(qū)域緩沖與區(qū)域調(diào)和作為離散約束與連續(xù)約束下的控制手段,從而在局部特征服從統(tǒng)計(jì)自相似特性的同時(shí),很好地實(shí)現(xiàn)了具有可控性的分形生成過(guò)程,并且提供了更為豐富、更為靈活、更為方便的控制形式.1局部變形能的雙向關(guān)聯(lián)性為了能夠獲得分形生成過(guò)程中分形性與可控性的統(tǒng)一,可以將分形形狀表述為宏觀形狀與表面細(xì)節(jié)的統(tǒng)一.其中宏觀形狀用于對(duì)可視化對(duì)象的總體起伏與大致輪廓進(jìn)行刻畫(huà),如零件的外型設(shè)計(jì)、山脈的整體走勢(shì)等;表面細(xì)節(jié)則描述了分形對(duì)象極不規(guī)則、極不光滑的外觀精細(xì)結(jié)構(gòu),并在一定標(biāo)度范圍內(nèi)要求滿足統(tǒng)計(jì)自相似原理.建立在分形形狀=宏觀形狀+表面細(xì)節(jié)的基礎(chǔ)上,本文基于局部變形能提出了FBM約束模型,用以實(shí)現(xiàn)可控性分形生成,通過(guò)局部變形能與宏觀形狀、表面細(xì)節(jié)之間所建立的雙向關(guān)聯(lián),在表面細(xì)節(jié)特征模擬的同時(shí)得以根據(jù)宏觀形狀進(jìn)行總體把握,從而在分形生成過(guò)程中獲得更為有效、更為完整的形狀控制.局部變形能的這種雙向關(guān)聯(lián)性具體表現(xiàn)為:(1)根據(jù)局部變形能的定義形式:其中,參數(shù)d(pi)與D(pi)分別表示約束前后分形形狀的實(shí)際標(biāo)高值,使得pi=p(xi)處的局部變形能的大小Ed與宏觀形狀的變形程度發(fā)生關(guān)聯(lián),從而滿足分形形狀整體可控性的要求.(2)根據(jù)Boltzmann概率分布原理中狀態(tài)能量與狀態(tài)概率間的負(fù)指數(shù)相關(guān)性:其中,參數(shù)Z用于對(duì)概率分布進(jìn)行歸一化,參數(shù)T用于控制Ed與dP間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度,使得pi=p(xi)處的局部變形能大小Ed在概率分布上與FBM約束因子dP發(fā)生關(guān)聯(lián),從而滿足分形形狀局部統(tǒng)計(jì)自相似性的要求.綜合式(1)和式(2)可以得到,基于局部變形能的FBM約束模型描述為其中歸一化參數(shù)Z的取值與正負(fù)號(hào)的選擇參見(jiàn)第2節(jié),FBM約束因子dP的設(shè)定要求滿足:的統(tǒng)計(jì)自相似性要求,并且隨著dP在定義域0(,Z1]中的過(guò)渡,對(duì)分形形狀的約束程度也相應(yīng)地發(fā)生改變:l當(dāng)Pd(pi)→0+時(shí),|D(pi)-d(pi)|→∞,該點(diǎn)處的最終形狀與給定的宏觀形狀相去甚遠(yuǎn),屬于自由約束點(diǎn);l當(dāng)Pd(pi)→Z1-時(shí),D(pi)→d(pi),該點(diǎn)處的最終形狀與給定的宏觀形狀完全一致,屬于完全約束點(diǎn);l當(dāng)Pd(pi)∈0(,Z1)時(shí),該點(diǎn)處的最終形狀與給定宏觀形狀之間的偏差比例與參數(shù)T的取值有關(guān),屬于過(guò)渡約束點(diǎn).由于該模型中FBM約束因子Pd(pi)是以一一映射的方式與分形形狀的生成發(fā)生關(guān)聯(lián),因此上述約束模型可以容易地推廣至pi=p(xi,yi)的二維情形,其中Pd(p(xi,yi))具有二維意義的隨機(jī)分形特征,且其均方增量自相似于二維投影上的平移距離.2fbm約束因子pfbm的優(yōu)化在基于FBM約束模型的可控性分形生成中,約束因子dP的生成直接關(guān)系到表面細(xì)節(jié)與宏觀形狀之間有效關(guān)聯(lián)的具體實(shí)現(xiàn).傳統(tǒng)的隨機(jī)分形中點(diǎn)置換方法(包括中點(diǎn)移位法與相繼中點(diǎn)移位法)所獲得的FBM生成因子Pfbm雖然具有統(tǒng)計(jì)自相似特性,但其計(jì)算結(jié)果并不總是落在(,0Z1]的取值范圍內(nèi),因而無(wú)法在約束模型中直接將約束因子dP等同于生成因子Pfbm(參見(jiàn)第1節(jié)).本文從理論上對(duì)中點(diǎn)置換法進(jìn)行了閾值估計(jì),并根據(jù)閾值估計(jì)結(jié)果給出了FBM約束因子dP的生成方法,從而在滿足約束模型要求的同時(shí)較好地解決了約束因子的歸一化等問(wèn)題,有效地支持了FBM約束模型在可控性分形生成中的具體實(shí)施.根據(jù)隨機(jī)分形中點(diǎn)置換法的遞歸中點(diǎn)內(nèi)插規(guī)則,每次迭代時(shí)中點(diǎn)偏置?n均服從N(,02-2nH1(-22H-2)σ2)分布,最為保守的閾值估計(jì)為服從N(,0σ2)的初始量0P在中點(diǎn)內(nèi)插過(guò)程中經(jīng)過(guò)N次迭代偏置:其中n代表當(dāng)前迭代的遞歸層數(shù),H反映布朗運(yùn)動(dòng)的平滑程度(在分形生成過(guò)程中為避免函數(shù)增量間的負(fù)相關(guān)性,一般取0.5≤H<1),σ為基準(zhǔn)方差值.于是,FBM生成因子PNfbm的數(shù)學(xué)期望值與方差值分別有如下的分析結(jié)果:進(jìn)一步,由式(7)在0.5≤H<1時(shí)的單調(diào)遞減性可知:綜合式(6)與式(8)可得Pfbm的概率分布,如圖1所示.根據(jù)高斯分布的“3σ規(guī)則”,該隨機(jī)變量幾乎全都落在區(qū)間中,考慮到中點(diǎn)置換法的閾值估計(jì)推導(dǎo)過(guò)程均按極限情況進(jìn)行,因此實(shí)際應(yīng)用中生成因子Pfbm的閾值估計(jì)可采用“2σ規(guī)則”壓縮至區(qū)間中,并令FBM約束因子為其中歸一化參數(shù)δ取一較小的正量,目的在于防止在Pd→0+時(shí)失去局部變形量的約束控制.由式(9)可以保證始終有FBM約束因子ZZP]/1,0/1,[dδ?∈成立,且當(dāng)完全約束時(shí)(→ZPd1)其概率密度達(dá)到最大,其中由生成因子的絕對(duì)值運(yùn)算所引起的正負(fù)號(hào)湮沒(méi)可進(jìn)一步在局部變形約束過(guò)程中得到復(fù)現(xiàn):從而更好地實(shí)現(xiàn)FBM約束因子對(duì)于分形生成過(guò)程的控制.3局部約束質(zhì)控可控性分形生成中的離散約束是一種點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的約束,其目的在于使分形結(jié)果準(zhǔn)確地插值于給定的離散點(diǎn)處,從而以逐點(diǎn)的方式對(duì)生成形狀進(jìn)行控制.在FBM約束模型中,當(dāng)pi*處存在離散約束使得D(pi*)≡d(pi*)成立時(shí),需要將FBM約束因子退化為Pd(pi*)=Z1,或相應(yīng)地將FBM生成因子退化為Pfbm(pi*)=0.然而上述強(qiáng)制退化過(guò)程均有可能局部破壞原有的隨機(jī)分形特性,并導(dǎo)致離散控制點(diǎn)處的分形形狀發(fā)生畸變.為了盡可能地避免離散約束對(duì)隨機(jī)分形特性的局部影響,本文提出了離散約束下的區(qū)域緩沖控制方法:通過(guò)離散控制點(diǎn)鄰域中約束緩沖域的定義,將FBM生成因子(或約束因子)的退化過(guò)程Pfbm(pi)→Pfbm(pi*)=0間接地轉(zhuǎn)化為緩沖域中的分布作用,從而在離散約束鄰域內(nèi)近似地重構(gòu)出表面細(xì)節(jié)的隨機(jī)分形特征.根據(jù)FBM生成因子局部退化過(guò)程與FBM遞歸中點(diǎn)內(nèi)插形成過(guò)程之間的相關(guān)性聯(lián)系,將離散約束pi*對(duì)應(yīng)的緩沖域點(diǎn)集定義為相應(yīng)地,pi處FBM生成因子Pnfbm(pi)的n階迭代過(guò)程表達(dá)為其中pwi,m表示Pnfbm(pi)形成過(guò)程中各初始迭代點(diǎn)的集合,從pi*出發(fā)到各初始迭代點(diǎn)pwi,m間的有向線段稱為該離散約束的緩沖方向,緩沖方向上各線段中點(diǎn)的集合即為緩沖域點(diǎn)集.M為該次迭代中涉及的初始迭代點(diǎn)數(shù),進(jìn)而也決定了緩沖域點(diǎn)集的數(shù)目,一般一維情形下M=2,二維情形下根據(jù)pi位置的不同可分別取M為3或4,圖2(a)與圖2(b)分別表示了一維和二維情形下的緩沖域形成過(guò)程.不難看出,上述構(gòu)造性定義給出的緩沖域點(diǎn)集,正是n+1階迭代過(guò)程中受到Pnfbm(pi*)退化影響的所有迭代點(diǎn)的集合,這種緩沖域形成過(guò)程中迭代階的遞增性,不僅反映了局部分形影響與迭代過(guò)程的相關(guān)性,并且有效地保證了緩沖域點(diǎn)集之間的分離.由式(12)可以得到,退化后的FBM生成因子仍將以1M的形式作用于緩沖域點(diǎn)集中,于是令為相應(yīng)離散約束的緩沖因子,通過(guò)緩沖域點(diǎn)集中各元素的緩沖因子疊加作用可對(duì)FBM因子的退化過(guò)程進(jìn)行平衡控制,使得離散約束鄰域中仍然近似地服從統(tǒng)計(jì)自相似性.具體算法描述為:Step1.進(jìn)行第n階的FBM生成因子遞歸中點(diǎn)內(nèi)插,初始時(shí)n=0;Step2.檢查當(dāng)前迭代結(jié)果中是否存在離散約束點(diǎn),若存在,則執(zhí)行Step3,若不存在,則執(zhí)行Step6;Step3.根據(jù)離散約束點(diǎn)位置標(biāo)記相應(yīng)的緩沖域點(diǎn)集,并以當(dāng)前離散約束處的FBM生成因子值計(jì)算緩沖因子大小;Step4.遍歷緩沖域點(diǎn)集,并在其FBM生成因子初值中疊加相應(yīng)的緩沖因子;Step5.令離散約束點(diǎn)處的FBM生成因子退化為0;Step6.判斷是否滿足遞歸終止條件,若是,則結(jié)束;若否,則令n=n+1,繼續(xù)執(zhí)行Step1.4連續(xù)約束的調(diào)和作用域可控性分形生成中的連續(xù)約束是一種點(diǎn)對(duì)線、點(diǎn)對(duì)面的約束,其目的在于能夠通過(guò)給定點(diǎn)處逼近度約束或起伏度約束的設(shè)置,在約束源一定范圍內(nèi)的鄰域中產(chǎn)生漸變影響,以實(shí)現(xiàn)不同區(qū)域中逼近控制與起伏控制的連續(xù)變化,其中逼近度約束可利用式(3)中關(guān)聯(lián)強(qiáng)度參數(shù)T的逐點(diǎn)調(diào)整進(jìn)行實(shí)現(xiàn),起伏度約束可利用式(5)中平滑程度參數(shù)H的逐點(diǎn)調(diào)整進(jìn)行實(shí)現(xiàn).然而無(wú)論是起伏度約束還是逼近度約束,當(dāng)約束源向周邊鄰域進(jìn)行約束輻射時(shí)均有可能存在重疊,從而導(dǎo)致連續(xù)約束作用域之間產(chǎn)生沖突.為了實(shí)現(xiàn)分形形狀連續(xù)約束的平滑過(guò)渡,本文提出了連續(xù)約束下的區(qū)域調(diào)和控制方法,當(dāng)作用域之間存在重疊時(shí)采取一定方式進(jìn)行約束的調(diào)和,并將原作用域相應(yīng)地?cái)U(kuò)大為調(diào)和作用域,通過(guò)對(duì)調(diào)和作用域內(nèi)各點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)一的調(diào)和約束作用可以避免約束的不一致現(xiàn)象,從而更有利于分形生成過(guò)程的綜合控制.對(duì)于分形形狀中的連續(xù)約束作用點(diǎn)pi*而言,其約束作用域點(diǎn)集定義為其中|pj,pi*|為兩點(diǎn)之間的距離,iInterval為分形形狀在平面投影上的水平(垂直)間距,n用于控制連續(xù)約束作用域的大小,視具體需要而定.在不同維數(shù)情形下,連續(xù)約束作用域表現(xiàn)為不同的形態(tài),一維情形下為以pi*為中點(diǎn)的線域,二維情形下為以pi*為中心的正菱形域,圖3(a)與圖3(b)分別表示了當(dāng)n=1時(shí)的作用域分布情況.位于連續(xù)約束作用域點(diǎn)集中的各形狀點(diǎn),隨著其與約束點(diǎn)之間距離的增大所受到的約束影響相應(yīng)地減小,描述為其中F可分別指代逼近度約束與起伏度約束,0F為每一點(diǎn)上相應(yīng)約束的初值,fd用于控制約束影響隨距離變化的快慢程度.注意到連續(xù)約束作用域與約束作用點(diǎn)之間具有反身特性,即若有p1∈Sp2,則必有p2∈Sp1成立,于是可將約束作用域點(diǎn)集作為虛擬約束源,根據(jù)其虛擬作用域中是否包含其他約束作用點(diǎn)來(lái)判斷是否需要進(jìn)行調(diào)和,重復(fù)上述過(guò)程并將所有相關(guān)約束作用域進(jìn)行求并,可得到擴(kuò)大了的調(diào)和作用域SU.在連續(xù)約束的調(diào)和作用域中,同一約束點(diǎn)上可能受到多個(gè)連續(xù)約束的共同影響,因此調(diào)和約束的計(jì)算式可進(jìn)一步表達(dá)為其中為調(diào)和作用域SU中pj所關(guān)聯(lián)的約束作用點(diǎn),Mj為該點(diǎn)處連續(xù)約束的關(guān)聯(lián)數(shù)目,具體算法描述為Step1.設(shè)置分形形狀中所有點(diǎn)的約束關(guān)聯(lián)數(shù)為0,當(dāng)前調(diào)和約束作用域?yàn)榭?Step2.搜索分形形狀中未被標(biāo)記的連續(xù)約束作用點(diǎn);Step3.標(biāo)記當(dāng)前約束作用點(diǎn)為已處理,并生成當(dāng)前約束作用點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的作用域點(diǎn)集,將作用域點(diǎn)集中各約束關(guān)聯(lián)數(shù)相應(yīng)增1;Step4.當(dāng)前調(diào)和約束作用域=當(dāng)前調(diào)和約束作用域∪當(dāng)前約束作用域;Step5.令當(dāng)前作用域點(diǎn)集中的元素為虛擬約束源,生成相應(yīng)的虛擬作用域;Step6.在虛擬作用域中繼續(xù)搜索未被標(biāo)記的連續(xù)約束作用點(diǎn),若存在,則遞歸執(zhí)行Step3,若不存在,則執(zhí)行Step7;Step7.遍歷當(dāng)前調(diào)和約束作用域點(diǎn)集,根據(jù)各點(diǎn)的約束關(guān)聯(lián)數(shù)利用式(15)進(jìn)行調(diào)和約束計(jì)算;Step8.判斷是否滿足搜索終止條件,若是,則結(jié)束;若否,則令當(dāng)前調(diào)和約束作用域?yàn)榭?繼續(xù)執(zhí)行Step2.5基于fbm約束模型的可控性分形生成本文分別以一維線域與二維面域上的各類宏觀控制形狀為例,基于FBM約束模型有效地滿足了分形生成過(guò)程的可控性要求.圖4為一維線域上基于FBM約束模型實(shí)現(xiàn)的可控性分形生成過(guò)程.以圖4(a)為宏觀控制形狀,圖4(b)表示了相應(yīng)的分形生成結(jié)果.圖4(c)用豎直線進(jìn)一步表示了該生成過(guò)程中所施加的8處離散約束以及離散約束處的插值結(jié)果.圖4(d)與圖4(e)分別為宏觀控制形狀與起伏度參數(shù)進(jìn)行調(diào)整后的分形生成情況,其中圖4(e)將起伏度參數(shù)統(tǒng)一由0.5調(diào)整為0.65,其生成結(jié)果的起伏程度明顯減小.圖5為連續(xù)約束下一維線域的可控性分形生成過(guò)程.以圖5(a)為宏觀控制形狀,圖5(b)與圖5(c)分別在指定區(qū)域中施加0.95的起伏度約束,圖5(d)與圖5(e)分別在指定區(qū)域中施加0.05的逼近度約束.可以看到,施加了起伏度約束以后,作用域中的光滑程度明顯高于其他區(qū)域,但仍與宏觀控制形狀存在一定的偏差;施加了逼近度約束后,作用域與宏觀控制形狀的偏差程度明顯低于其他區(qū)域,但局部區(qū)域中仍顯粗糙不平.圖6為二維面域上基于FBM約束模型的可控性分形生成過(guò)程.以圖6(a)為宏觀控制形狀,圖6(b)表示了相應(yīng)的分形生成結(jié)果,其控制過(guò)程包含了7處離散約束,逼近度參數(shù)為0.2,起伏度參數(shù)為0.8.圖6(c)與圖6(d)進(jìn)一步采取了只對(duì)水平線以上部分進(jìn)行顯示的方法,模擬了帶湖泊的自然地貌形成過(guò)程.圖7為連續(xù)約束下二維面域的可控性分形生成過(guò)程.以圖7(a)為宏觀控制形狀,圖7(b)表示在指定區(qū)域中施加了0.95的起伏度約束與0.05的逼近度約束后的生成結(jié)果(其余區(qū)域中的起伏度設(shè)置為0.80,逼近度設(shè)置為0.30),中