（5年高考真題備考題庫）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和 文 湘教版

2009~2013年高考真題備選題庫第5章數(shù)列第2節(jié)等差數(shù)列及其前n項和考點一等差數(shù)列的通項公式1．（2013安徽，5分）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝()A．－6 B．－4C．－2 D．2解析：本題主要考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識和基本運算，意在考查考生的運算求解能力．根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.答案：A2．（2013新課標(biāo)全國Ⅰ，12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通項公式；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2n－1a2n＋1)))的前n項和．解：本題主要考查等差數(shù)列的基本知識，特殊數(shù)列求和等．(1)設(shè){an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝0，,5a1＋10d＝－5.))解得a1＝1，d＝－1.故{an}的通項公式為an＝2－n.(2)由(1)知eq\f(1,a2n－1a2n＋1)＝eq\f(1,3－2n1－2n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－3)－\f(1,2n－1)))，從而數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2n－1a2n＋1)))的前n項和為eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－1)－\f(1,1)＋\f(1,1)－\f(1,3)＋…＋\f(1,2n－3)－\f(1,2n－1)))＝eq\f(n,1－2n).3．（2013新課標(biāo)全國Ⅱ，12分）已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列．(1)求{an}的通項公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.解：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的求和，意在考查考生的運算求解能力．(1)設(shè){an}的公差為d.由題意，aeq\o\al(2,11)＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項為25，公差為－6的等差數(shù)列．從而Sn＝eq\f(n,2)(a1＋a3n－2)＝eq\f(n,2)·(－6n＋56)＝－3n2＋28n.4．（2013山東，12分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，求{bn}的前n項和Tn.解：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、錯位相減法等知識，考查方程思想、轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理論證能力．(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝8a1＋4d，,a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1，))解得a1＝1，d＝2.因此an＝2n－1，n∈N*.(2)由已知eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N*，當(dāng)n＝1時，eq\f(b1,a1)＝eq\f(1,2)；當(dāng)n≥2時，eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))＝eq\f(1,2n)，所以eq\f(bn,an)＝eq\f(1,2n)，n∈N*.由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝eq\f(2n－1,2n)，n∈N*.又Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n)，eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(2n－3,2n)＋eq\f(2n－1,2n＋1)，兩式相減得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,22)＋\f(2,23)＋…＋\f(2,2n)))－eq\f(2n－1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n－1)－eq\f(2n－1,2n＋1)，所以Tn＝3－eq\f(2n＋3,2n).5．（2010浙江，4分）在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列，第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369…那么位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________．解析：第n行的第一個數(shù)是n，第n行的數(shù)構(gòu)成以n為公差的等差數(shù)列，則其第n＋1項為n＋n·n＝n2＋n.答案：n2＋n6．(2010新課標(biāo)全國，12分)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通項公式；(2)求{an}的前n項和Sn及使得Sn最大的序號n的值．解：(1)由已知a3＝5，a10＝－9得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5，,a1＋9d＝－9.))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9,d＝－2.))數(shù)列{an}的通項公式為an＝11－2n.(2)由(1)知，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝10n－n2.因為Sn＝－(n－5)2＋25，所以當(dāng)n＝5時，Sn取得最大值．7．(2010浙江，14分)設(shè)a1，d為實數(shù)，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范圍．解：(1)由題意知S6＝－eq\f(15,S5)＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝5，,a1＋5d＝－8))解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因為S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2aeq\o\al(2,1)＋9da1＋10d2＋1＝0，故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范圍為d≤－2eq\r(2)或d≥2eq\r(2).考點二等差數(shù)列的前n項和1．（2012遼寧，5分）在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11＝()A．58 B．88C．143 D．176解析：因為{an}是等差數(shù)列，所以a4＋a8＝2a6＝16?a6＝8，則該數(shù)列的前11項和為S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6＝88.答案：B2．(2011江西，5分)設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項和．若S10＝S11，則a1＝()A．18 B．20C．22 D．24解析：由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.答案：B3．(2009·寧夏、海南，5分)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，則m＝________.解析：∵am－1＋am＋1＝2am，∴2am－aeq\o\al(2,m)＝0，∴am＝0或am＝2.∵S2m－1＝eq\f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝(2m－1)am＝38，∴am＝2，∴(2m－1)×2＝38，解得m＝10.答案：104．（2012北京，5分）已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1＝eq\f(1,2)，S2＝a3，則a2＝________；Sn＝________.解析：設(shè)公差為d，則由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝eq\f(1,2)，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(nn＋1,4).答案：1eq\f(nn＋1,4)5．（2011廣東，5分）等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝____________.解析：設(shè){an}的公差為d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋eq\f(9×8,2)d＝4×1＋eq\f(4×3,2)d，所以d＝－eq\f(1,6).又ak＋a4＝0，所以[1＋(k－1)×(－eq\f(1,6))]＋[1＋(4－1)×(－eq\f(1,6))]＝0.即k＝10.答案：106．（2011廣東，5分）等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝____________.解析：設(shè){an}的公差為d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋eq\f(9×8,2)d＝4×1＋eq\f(4×3,2)d，所以d＝－eq\f(1,6).又ak＋a4＝0，所以[1＋(k－1)×(－eq\f(1,6))]＋[1＋(4－1)×(－eq\f(1,6))]＝0.即k＝10.答案：107．（2011湖南，5分）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和，且a1＝1，a4＝7，則S5＝______.解析：設(shè)數(shù)列的公差為d，則3d＝a4－a1＝6，得d＝2，所以S5＝5×1＋eq\f(5×4,2)×2＝25.答案：258．（2013福建，12分）已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項和為Sn.(1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1；(2)若S5>a1a9，求a1的取值范圍．解：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．(1)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以aeq\o\al(2,1)＝1×(a1＋2)，即aeq\o\al(2,1)－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.(2)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，所以5a1＋10>aeq\o\al(2,1)＋8a1，即aeq\o\al(2,1)＋3a1－10<0，解得－5<a1<2.9．(2010山東，12分)已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26.{an}的前n項和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝eq\f(1,a\o\al(2,n)－1)(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝eq\f(na1＋an,2)，所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)因為an＝2n＋1，所以aeq\o\al(2,n)－1＝4n(n＋1)，因此bn＝eq\f(1,4nn＋1)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))．故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,4)(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(1,4)(1－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(n,4n＋1)，所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝eq\f(n,4n＋1).考點三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用（2013遼寧，5分）下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個命題：p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列．其中的真命題為()A．p