初中數(shù)學(xué)一元二次方程的公共根和整數(shù)根

一元二次方程的公共根與整數(shù)根一元二次方程的公共根與整數(shù)根中考規(guī)定中考規(guī)定內(nèi)容基本規(guī)定略高規(guī)定較高規(guī)定一元二次方程理解一元二次方程的概念，會(huì)將一元二次方程化為普通形式，并指出各項(xiàng)系數(shù)；理解一元二次方程的根的意義能由一元二次方程的概念擬定二次項(xiàng)系數(shù)中所含字母的取值范疇；會(huì)由方程的根求方程中待定系數(shù)的值一元二次方程的解法理解配辦法，會(huì)用直接開平辦法、配辦法、公式法、因式分解法解簡(jiǎn)樸的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，理解多個(gè)解法的根據(jù)能選擇恰當(dāng)?shù)霓k法解一元二次方程；會(huì)用方程的根的鑒別式鑒別方程根的狀況能運(yùn)用根的鑒別式闡明含有字母系數(shù)的一元二次方程根的狀況及由方程根的狀況擬定方程中待定系數(shù)的取值范疇；會(huì)用配辦法對(duì)代數(shù)式做簡(jiǎn)樸的變形；會(huì)應(yīng)用一元二次方程解決簡(jiǎn)樸的實(shí)際問題例題精講例題精講公共根問題：二次方程的公共根問題的普通解法：設(shè)公共根，代入原方程(兩個(gè)或以上)，然后通過恒等變形求出參數(shù)的值和公共根．整數(shù)根問題：對(duì)于一元二次方程的實(shí)根狀況，能夠用鑒別式來鑒別，但是對(duì)于一種含參數(shù)的一元二次方程來說，要判斷它與否有整數(shù)根或有理根，那么就沒有統(tǒng)一的辦法了，只能具體問題具體分析求解，固然，經(jīng)常要用到某些整除性的性質(zhì)．方程有整數(shù)根的條件：如果一元二次方程有整數(shù)根，那么必然同時(shí)滿足下列條件：⑴為完全平方數(shù)；⑵或，其中為整數(shù)．以上兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足，缺一不可．另外，如果只滿足鑒別式為完全平方數(shù)，則只能確保方程有有理根(其中、、均為有理數(shù))方程的根的取值范疇問題：先使用因式分解法或求根公式法求出兩根，然后根據(jù)題中根的取值范疇來擬定參數(shù)的范疇．求的值，使得一元二次方程，有相似的根，并求兩個(gè)方程的根．⒈設(shè)為的三邊，且二次三項(xiàng)式與有一次公因式，證明：一定是直角三角形．(北京數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)⒉三個(gè)二次方程，，有公共根．⑴求證：；⑵求的值．試求滿足方程與有公共根的全部的值及全部公共根和全部相異根．三個(gè)二次方程，，有公共根．(1)求證：；(2)求的值．二次項(xiàng)系數(shù)不相等的兩個(gè)二次方程和(其中，為正整數(shù))有一種公共根，求的值．為什么實(shí)數(shù)時(shí)，有關(guān)的方程的解都是整數(shù)？若有關(guān)的方程的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)的值有_______個(gè)．(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽)⒈已知是正整數(shù)，如果有關(guān)的方程的根都是整數(shù)，求的值及方程的整數(shù)根．⒉若為正整數(shù)，且有關(guān)的方程有兩個(gè)相異正整數(shù)根，求的值．(全國(guó)聯(lián)賽試題)⒊有關(guān)的二次方程的兩根都是整數(shù)．求滿足條件的全部實(shí)數(shù)的值．⒋當(dāng)為什么整數(shù)時(shí)，方程有整數(shù)解．⒌已知有關(guān)的方程和，與否存在這樣的值，使第一種方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差的平方等于第二個(gè)方程的一整數(shù)根？若存在，請(qǐng)求出這樣的值；若不存在，請(qǐng)闡明理由．求全部有理數(shù)，使得方程的全部根是整數(shù)．⒈已知有關(guān)的方程的兩根都是整數(shù)，求的值．⒉已知為常數(shù)，有關(guān)的一元二次方程的解都是整數(shù)，求的值．已知為質(zhì)數(shù)，二次方程的兩根都是整數(shù)，請(qǐng)求出的全部可能的值．(—清華附中初三第一次月考試題)⒈已知，且有關(guān)的二次方程有兩個(gè)整數(shù)根，求整數(shù)．⒉若始終角三角形兩直角邊的長(zhǎng)，、均為整數(shù)，且滿足．試求這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)．有關(guān)的方程最少有一種整數(shù)解，且是整數(shù)，求的值．已知方程(是非負(fù)整數(shù))最少有一種整數(shù)根，那么．(西城區(qū)初三抽樣試題)當(dāng)是什么整數(shù)時(shí)，有關(guān)的一元二次方程與的根都是整數(shù)．(—清華附中初三第一次月考試題)已知，且有關(guān)的二次方程有兩個(gè)整數(shù)根，求整數(shù)．設(shè)為整數(shù)，且，方程有兩個(gè)整數(shù)根，求的值及方程的根．當(dāng)為什么整數(shù)時(shí)，方程有整數(shù)解．已知方程(是非負(fù)整數(shù))最少有一種整數(shù)根，那么．若有關(guān)的方程的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)的值有_______個(gè)．設(shè)方程有整數(shù)解，試擬定整數(shù)的值，并求出這時(shí)方程全部的整數(shù)解．設(shè)為整數(shù)，且，方程有兩個(gè)整數(shù)根，求的值及方程的根．①已知是正整數(shù)，且使得有關(guān)的一元二次方程最少有一種整數(shù)根，求的值．②已知有關(guān)的方程(其中是非負(fù)整數(shù))最少有一種整數(shù)根，求的值．(1999年全國(guó)聯(lián)賽試題)已知，為整數(shù)，方程的兩根都不不大于且不大于，求和的值．(“數(shù)學(xué)周報(bào)”杯全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)⒈已知，都是正整數(shù)，試問有關(guān)的方程與否有兩個(gè)整數(shù)解？如果有，請(qǐng)求出來；如果沒有，請(qǐng)給出證明．(1993年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)⒉已知方程及分別各有兩個(gè)整數(shù)根及，且，．⑴求證：，，，；⑵求證：；⑶求全部可能的值．⒊設(shè)是兩個(gè)奇整數(shù)，試證方程不可能有有理根．(北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽)⒋試證不管是什么整數(shù)，方程沒有整數(shù)解，方程中的是任何正的奇數(shù)．求方程的全部整數(shù)解．⒈已知為整數(shù)，有關(guān)的方程組的全部解均為整數(shù)解，求的值．⒉求方程的全部正整數(shù)解．⒊求全部的整數(shù)對(duì)，使．設(shè)是不為零的整數(shù)，有關(guān)的二次方程有有理根，求的值．(西城區(qū)初三抽樣試題)當(dāng)是什么整數(shù)時(shí)，有關(guān)的一元二次方程與的根都是整數(shù)．(全國(guó)聯(lián)賽試題)是正整數(shù)，有關(guān)的方程的根都是整數(shù)，求的值及方程的整數(shù)根．(“信利杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)已知是實(shí)數(shù)，有關(guān)的方程組有整數(shù)解，求滿足的關(guān)系式．(上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)已知為質(zhì)數(shù)，使二次方程的兩根都是整數(shù)，求出全部可能的的值．(全國(guó)聯(lián)賽)設(shè)有關(guān)x的二次方程的兩根都是整數(shù)，求滿足條件的全部實(shí)數(shù)k的值．為什么值時(shí)，方程和有相似的整數(shù)根？并且求出它們的整數(shù)根？(全國(guó)競(jìng)賽題)已知有關(guān)的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有___________個(gè)．(1998年全國(guó)競(jìng)賽題)求全部正實(shí)數(shù)a，使得方程僅有整數(shù)根．(1996年全國(guó)聯(lián)賽)方程有兩個(gè)整數(shù)根，求a的值．(全國(guó)聯(lián)賽C卷)求全部的正整數(shù)，，使得有關(guān)的方程的全部的根都是正整數(shù)．(1993年安徽競(jìng)賽題)n為正整數(shù)，方程有一種整數(shù)根，則__________．(第三屆《祖沖之杯》競(jìng)賽題)求出全部正整數(shù)，使方程最少有一種整數(shù)根．(第三屆《祖沖之杯》競(jìng)賽題)已知方程有兩個(gè)不等的負(fù)整數(shù)根，則整數(shù)的值是__________．不解方程，證明方程無(wú)整數(shù)根(1999年江蘇第14屆競(jìng)賽題)已知方程有兩個(gè)質(zhì)數(shù)根，則常數(shù)________．(1996年四川競(jìng)賽題)已知方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，求m的值．(1994年福州競(jìng)賽題)當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，有關(guān)x的方程的兩根都