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等腰三角形(3)新知導(dǎo)入1、等腰三角形都有哪些性質(zhì)呢?等邊對等角三線合一軸對稱圖形2、請你把定理“等腰三角形的兩個底角相等”的題設(shè)與結(jié)論反過來說一下.如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等.這個命題成立嗎?新知講解例1:已知:如圖,在△ABC中,∠B=∠C.求證:AB=AC.證明:作BC邊上的高AD.
則∠ADB=∠ADC=90°,在△ABD和△ACD中,∵∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC.D你還有其他證明的方法嗎?新知講解例1:已知:如圖,在△ABC中,∠B=∠C.求證:AB=AC.證明:作∠BAC的平分線AD.在△ABD和△ACD中,∵∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC.D想一想:作BC邊上的中線行嗎?不行新知講解定理:有兩個角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡述為:等角對等邊.幾何語言:∵
B=
C(已知)∴AB=AC(等角對等邊)新知講解例2:已知:如圖,AB=DC,BD=CA.求證:△AED是等腰三角形.證明:∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對應(yīng)角相等).∴AE=DE(等角對等邊)∴△AED是等腰三角形.新知講解練習(xí)1:在△ABC中,∠A和∠B的度數(shù)如下,能判定△ABC是等腰三角形的是(
)A.∠A=50°,∠B=70°B.∠A=80°,∠B=60°C.∠A=30°,∠B=90°D.∠A=70°,∠B=40°D新知講解想一想:小明認(rèn)為,在一個三角形中,如果兩個角不相等,那么這兩個角所對的邊也不相等.你認(rèn)為小明這個結(jié)論成立嗎?如果成立,你能證明它嗎?小明是這樣想的:如圖,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此時AB與AC要么相等,要么不相等.假設(shè)AB=AC那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得∠C=∠B,
這與已知條件∠B≠∠C相矛盾,因此
AB≠AC.你能理解他的推理過程嗎?新知講解反證法小明在證明時,先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果,從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.新知講解1.假設(shè):先假設(shè)命題的結(jié)論不成立;即結(jié)論的反面成立;2.歸謬:從這個假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推論方法,得出與定義,公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果;3.結(jié)論:由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.反證法的一般步驟新知講解例3:用反證法證明:一個三角形中不能有兩個角是直角.已知:△ABC.求證:∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是直角.證明:假設(shè)∠A,∠B,∠C中有兩個角是直角,不妨設(shè)∠A和∠B是直角,即∠A=90°,∠B=90°.于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾,因此“∠A和∠B是直角”的假設(shè)不成立.所以,一個三角形中不能有兩個角是直角.新知講解練習(xí)2.用反證法證明:在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60°證明:假設(shè)∠A,∠B,∠C是△ABC的三個內(nèi)角,且都大于60°,
則∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°,∴∠A+∠B+∠C>180°;這與三角形的內(nèi)角和是180定理矛盾∴假設(shè)不成立∴在一個三角形中,至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.課堂練習(xí)1.如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E在BC邊上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,則圖中共有等腰三角形(
)A.4個
B.5個
C.6個
D.2個C課堂練習(xí)2.用反證法證明命題“在直角三角形中,至少有一個銳角不大于45°”時,應(yīng)先假設(shè)(
)A.有一個銳角小于45°B.每一個銳角都小于45°C.有一個銳角大于45°D.每一個銳角都大于45°D拓展提高如圖,長方形ABCD中,AB>AD,把長方形沿對角線AC所在直線折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE交CD于點(diǎn)F,連接DE.(1)求證:△ADE≌△CED;(2)求證:△DEF是等腰三角形.證明:(1)∵四邊形ABCD是長方形,∴AD=BC,AB=DC.∵△AEC是由△ABC折疊而成的,∴AD=BC=EC,AB=DC=AE.在△ADE和△CED中,AD=CE,DE=ED,AE=CD,∴△ADE≌△CED(SSS).拓展提高如圖,長方形ABCD中,AB>AD,把長方形沿對角線AC所在直線折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE交CD于點(diǎn)F,連接DE.(1)求證:△ADE≌△CED;(2)求證:△DEF是等腰三角形.(2)∵△ADE≌△CED,∴∠AED=∠CDE,∴FD=FE.∴△DEF是等腰三角形.中考鏈接如圖,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足為點(diǎn)D,DE//AC.求證:△BDE是等腰三角形.證明:∵DE//AC,∴∠1=∠3,∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形.課堂總結(jié)1、說一說等腰三角形的判定定理?有兩個角相等的三角形是等腰三角形.(等角對等邊)2、說一說反證法的步驟?(1)假設(shè):先假設(shè)命題的結(jié)論不成立;即結(jié)論的反面成立;(2
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