淮安市2023-2024學年高二上數學期中試卷（含解析）

第26頁/共28頁淮安市2023—2024學年度第一學期高二年級調研測試數學試題注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：1．本試卷共6頁，共150分．考試時間120分鐘．考試結束后，只要將答題卡交回．2．答題前，請務必將自己的學校、姓名、考試號用0.5毫米黑色簽字筆填寫在答題紙上，并用2B鉛筆將答題卡上考試號對應數字框涂黑，如需改動，請用橡皮擦干凈后，再正確填涂．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號與你本人的是否相符．4．所有試題的答案全部在答題卡上作答．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，焦距為2，長軸長是短軸長的倍，則該橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.3.已知拋物線的準線方程為，則的值為（）A1 B.2 C.4 D.84.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.5.直線被圓截得的弦長為（）A. B. C. D.6.已知點在圓外，則直線與圓的位置關系為（）A.相交 B.相切 C.相離 D.無法確定7.設拋物線上一點到軸的距離為，點為圓任一點，則的最小值為（）A. B.2 C.3 D.48.如圖，橢圓的右頂點為，上頂點為，直線且在第一象限交橢圓于點，設與的交點為，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.關于直線，以下結論正確的有（）A.時，直線在兩坐標軸上的截距相等 B.直線必過第二象限C.時，直線不過第四象限 D.時，直線過第二、三、四象限10.已知與，以下結論正確的有（）A.與有且僅有2條公切線B.若直線與分別切于相異的兩點，則C.若分別是與上動點，則的最大值為10D.與的一條公切線斜率為11.關于雙曲線，以下結論正確的有（）A.準線方程為B.焦點到漸近線的距離為1C.與雙曲線兩支各有一個交點的直線斜率的取值范圍為D.過點有且僅有2條直線與雙曲線僅有一個公共點12.法國天文學家喬凡尼·多美尼科·卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運動規(guī)律時，發(fā)現了平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡，并稱之為卡西尼卵形線．在平面直角坐標系中，兩個定點，曲線是到兩個定點的距離之積為的點的軌跡，以下結論正確的有（）A.曲線關于軸對稱B.曲線可能過坐標原點C.為曲線上任意一點，當時，點縱坐標的取值范圍為D.若曲線與橢圓有公共點，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線與垂直，則的值為__________.14.已知雙曲線，雙曲線上一點到一個焦點的距離為17，則到另一個焦點的距離為__________．15.已知圓上恰有3個點到直線的距離為，則__________．16.杭州第19屆亞運會的主會場——杭州奧體中心體育場，又稱“大蓮花”（如圖1所示）．會場造型取意于杭州絲綢紋理與紡織體系，建筑體態(tài)源于錢塘江水的動態(tài)，其簡筆畫如圖2所示．一同學初學簡筆畫，先畫了一個橢圓與圓弧的線稿，如圖3所示．若橢圓的方程為，下頂點為為坐標原點，為圓上任意一點，滿足，則點的坐標為__________；若為橢圓上一動點，當取最大值時，點恰好有兩個，則的取值范圍為__________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在中，點，角的角平分線為邊上的中線所在直線為．（1）求點坐標；（2）求邊所在直線方程．18.已知直線，點，圓經過兩點，且圓心在直線上．（1）求圓的標準方程；（2）若為圓上的動點，求的取值范圍．19.已知拋物線，直線交拋物線于兩點，中點為．（1）求拋物線的標準方程；（2）記拋物線上一點，直線斜率，直線斜率為，求．20.在中，內心．（1）求內切圓方程；（2）求外接圓方程．21.已知交軸于兩點，為上位于軸上方的動點，將上各點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到曲線．（1）求曲線的方程；（2）記直線與曲線的另一個交點為，若，求的面積．22.已知雙曲線的左頂點，一條漸近線方程為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）設雙曲線的右頂點為為直線上的動點，連接交雙曲線于兩點（異于），記直線與軸的交點為．①求證：為定點；②直線交直線于點，記．求證：為定值．

淮安市2023—2024學年度第一學期高二年級調研測試數學試題注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：1．本試卷共6頁，共150分．考試時間120分鐘．考試結束后，只要將答題卡交回．2．答題前，請務必將自己的學校、姓名、考試號用0.5毫米黑色簽字筆填寫在答題紙上，并用2B鉛筆將答題卡上考試號對應數字框涂黑，如需改動，請用橡皮擦干凈后，再正確填涂．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號與你本人的是否相符．4．所有試題的答案全部在答題卡上作答．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據直線斜率與傾斜角關系即可得到答案.【詳解】設直線的傾斜角為，則直線斜率，因為，則，故選：B.2.已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，焦距為2，長軸長是短軸長的倍，則該橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用待定系數法求出橢圓的標準方程.【詳解】由題意，設橢圓的標準方程為，半焦距為，由題意可得：，解得，所以橢圓的標準方程為．故選：A.3.已知拋物線的準線方程為，則的值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根據拋物線方程與準線之間的關系分析求解.【詳解】由題意可知：，解得.故選：B.4.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據離心率以及滿足的關系即可求解,進而可得漸近線方程.【詳解】由題意可得，所以，所以漸近線方程為，故選：A5.直線被圓截得的弦長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圓的方程可得圓心和半徑，利用點到直線距離公式可求得圓心到直線距離，利用垂徑定理可求得弦長.【詳解】由圓，得圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得的弦長為.故選：D.6.已知點在圓外，則直線與圓的位置關系為（）A.相交 B.相切 C.相離 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】利用圓心到直線的距離與半徑進行比較，從而求解.【詳解】由點在圓外，得：，圓心到直線的距離：，所以得：直線與圓相交，故A項正確.故選：A7.設拋物線上一點到軸的距離為，點為圓任一點，則的最小值為（）A. B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據拋物線定義結合圓外一點到圓上一點最值問題即可得到答案.【詳解】因為，則拋物線焦點坐標為，準線方程為，則，即，所以，則要使其最小，則需最小，因為圓的圓心為，半徑，所以.故選：C.8.如圖，橢圓的右頂點為，上頂點為，直線且在第一象限交橢圓于點，設與的交點為，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】聯立方程求出點的坐標，再由向量共線的坐標表示可得點的坐標，代入橢圓方程，化簡整理，由橢圓的離心率公式可得所求值.【詳解】設橢圓的右頂點，上頂點，則，且直線為，由可得，所以直線為，聯立，解得，即，因為，所以，將代入橢圓方程化簡得，即，所以或（舍去），所以，即，所以離心率.故選：B.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.關于直線，以下結論正確的有（）A.時，直線在兩坐標軸上的截距相等 B.直線必過第二象限C.時，直線不過第四象限 D.時，直線過第二、三、四象限【答案】ACD【解析】【分析】求出直線的縱截距和橫截距即可判斷A，通過特例法判斷B，由直線恒過定點，結合斜率、縱截距的符號即可判斷C、D.【詳解】對于A，時，l的方程化為，令得直線的縱截距為，令得直線的橫截距為，即直線在兩坐標軸上的截距相等，正確；對于B，當時，，直線不過第二象限，錯誤；對于C，時，將l的方程化為，所以不論a為何值，直線l恒過定點，令得直線的縱截距為，且直線斜率，所以直線不過第四象限，正確；對于D，時，直線l的斜率，令得直線的縱截距為，直線l恒過定點，所以直線過第二、三、四象限，正確.故選：ACD10.已知與，以下結論正確的有（）A.與有且僅有2條公切線B.若直線與分別切于相異的兩點，則C.若分別是與上的動點，則的最大值為10D.與的一條公切線斜率為【答案】BCD【解析】【分析】分別求兩圓的圓心和半徑，對于C：根據圓的性質分析求解；對于A：根據兩圓位置關系分析求解；對于BD：根據公切線的性質結合圖形分析求解.【詳解】由題意可知：的圓心，半徑，的圓心，半徑，對于選項C：因為，當且僅當四點共線時，等號成立，所以的最大值為10，故C正確；對于選項A：因為，則與外切，所以與有且僅有3條公切線，故A錯誤；對于選項B、D：若直線與分別切于相異的兩點，顯然直線的斜率存在且不為0，根據對稱性，不妨設直線的與x軸交點為，斜率為，如圖所示，連接，過作，垂足為，可知四邊形為矩形，且，在中，可得，所以，直線的斜率，故B、D正確；故選：BCD.11.關于雙曲線，以下結論正確的有（）A.準線方程B.焦點到漸近線的距離為1C.與雙曲線兩支各有一個交點的直線斜率的取值范圍為D.過點有且僅有2條直線與雙曲線僅有一個公共點【答案】BC【解析】【分析】根據雙曲線的幾何性質逐個判定即可.【詳解】對于A：由雙曲線方程可知，所以，所以，所以準線方程為直線，A錯誤；對于B：雙曲線漸近線為，即為，設右焦點為，則右焦點到其中一條漸近線的距離為，B正確；對于C：由B知道漸近線的斜率為，所以要使得左右支各有一個交點，需滿足直線更“平坦”，所以斜率，即為，C正確；對于D：由B知雙曲線漸近線為，點不在直線上，且點在雙曲線外面，所以過點可以作2條與漸近線平行的直線和與左右支相切的直線各一條，所以一共有4條直線過點且與雙曲線只有一個交點，D錯誤，故選：BC12.法國天文學家喬凡尼·多美尼科·卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運動規(guī)律時，發(fā)現了平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡，并稱之為卡西尼卵形線．在平面直角坐標系中，兩個定點，曲線是到兩個定點的距離之積為的點的軌跡，以下結論正確的有（）A.曲線關于軸對稱B.曲線可能過坐標原點C.為曲線上任意一點，當時，點縱坐標的取值范圍為D若曲線與橢圓有公共點，則【答案】ABD【解析】【分析】令曲線上任意點為得，將代入驗證方程是否恒成立判斷A；令，將原點代入驗證判斷B；令代入方程求得，再比較大小判斷C；由代入曲線，整理得，結合橢圓的有界性求參數t的范圍判斷D.【詳解】令曲線上任意點為，則，將代入得，所以曲線關于軸對稱，A對；當，顯然在曲線上，B對；當，若，則，所以，則，此時，即，故點縱坐標范圍不為，C錯；由，則，故，所以，而，即或，所以或（舍），故曲線與有公共點，則，D對.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：對于A只需代入驗證方程恒成立，對于B應用特殊值，令并將原點代入驗證；對于C只需驗證時的y值情況；對于D注意聯立方程，結合橢圓有界性求范圍.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線與垂直，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】根據兩條直線垂直的充要條件建立方程求解即可.【詳解】因為直線與垂直，所以，解得，故答案為：14.已知雙曲線，雙曲線上一點到一個焦點的距離為17，則到另一個焦點的距離為__________．【答案】33【解析】【分析】根據題意結合雙曲線的定義運算求解，并結合三角形的性質檢驗.【詳解】由雙曲線方程可知，設雙曲線的左、右焦點分別為，則，根據對稱性不妨設，由雙曲線定義可得，解得或，若，可知，符合題意；若，可知，不符合題意；綜上所述：到另一個焦點的距離為33.故答案為：33.15.已知圓上恰有3個點到直線的距離為，則__________．【答案】7或【解析】【分析】求出圓的圓心和半徑，根據條件可知圓心到直線的距離為，進而列出方程求解即可.【詳解】由圓，即，所以圓心，半徑，因為圓上恰有3個點到直線的距離為，所以圓心到直線的距離為，所以，解得或.故答案為：7或.16.杭州第19屆亞運會的主會場——杭州奧體中心體育場，又稱“大蓮花”（如圖1所示）．會場造型取意于杭州絲綢紋理與紡織體系，建筑體態(tài)源于錢塘江水的動態(tài)，其簡筆畫如圖2所示．一同學初學簡筆畫，先畫了一個橢圓與圓弧的線稿，如圖3所示．若橢圓的方程為，下頂點為為坐標原點，為圓上任意一點，滿足，則點的坐標為__________；若為橢圓上一動點，當取最大值時，點恰好有兩個，則的取值范圍為__________．【答案】①.；②.．【解析】【分析】設，把已知用坐標表示并化簡得軌跡方程后可得點坐標，用三角換元法設，求出后結合對稱性、二次函數性質，正弦函數性質可得參數范圍．【詳解】設，由得，化簡得，∴，橢圓的方程是，設，，令，則，依題意，點在軸上方，且關于軸對稱，因此取最大值時，對應的，時，取得最大值，且，又，因此可解得．故答案為：；．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在中，點，角的角平分線為邊上的中線所在直線為．（1）求點的坐標；（2）求邊所在直線方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將中點代入直線方程即可求出值，則得到答案；（2）首先得到，計算出直線的方程，將其與直線方程聯立即可求出的坐標，則得到的方程.【小問1詳解】設，由題意知，的中點在直線上，則有，點坐標為.【小問2詳解】由題意知關于的對稱點在直線上，則有邊所在直線方程為，即.聯立方程有，解得，又，則，則所在直線方程為，即所在直線方程為.18.已知直線，點，圓經過兩點，且圓心在直線上．（1）求圓的標準方程；（2）若為圓上的動點，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設出圓心，根據半徑相等列出方程，求出，得到圓心和半徑，得到標準方程；（2）設，表達出，求出最值，得到取值范圍.【小問1詳解】設圓心，因為圓經過兩點，所以，解得，故圓心為，故半徑為，所以圓的標準方程為；【小問2詳解】設，則，當時，取得最大值，最大值為10，當時，取得最小值，最小值為2，故的取值范圍是.19.已知拋物線，直線交拋物線于兩點，中點為．（1）求拋物線的標準方程；（2）記拋物線上一點，直線斜率為，直線斜率為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設點作差再結合中點坐標和斜率值即可得到答案.（2）設點計算出，，則得到，再將直線與拋物線聯立得到韋達定理式再整體代入即可.【小問1詳解】設，則有，①②得③均在直線上，，又中點為，則有，代入③有拋物線的標準方程為.【小問2詳解】由題意知，設，同理有，④聯立直線與拋物線，易得，則有，代入④式有.20.在中，的內心．（1）求內切圓方程；（2）求外接圓方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據點到直線的距離可求解半徑，即可得圓的方程，（2）根據相切可計算長度，根據長度關系可得,進而根據垂直以及對稱求解點坐標，根據直角三角形的性質，可得外接圓圓心的位置，即可求解圓心和半徑.【小問1詳解】由可得直線方程：，即，所以到的距離為，因此內切圓的半徑為，圓心為，所以內切圓方程為【小問2詳解】設直線與內切圓相切于點，內切圓半徑為，連接,由于,而且,所以，所以,由于平分，所以,因此，所以為以為直角的直角三角形,由則,方程為又軸，所以直線，關于對稱，因此，因此直線方程為,聯立，的方程，解得，故,因此的中點坐標為，且為外接圓圓心，外接圓的半徑為,