河北省滄衡八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

淪衡八校聯(lián)盟高二年級2023~2024學(xué)年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.雙曲線的虛軸長為A. B. C.2 D.42.已知平面，，，，，則空間的一個單位正交基底可以為A. B.C. D.3.若為拋物線上一點(diǎn)，且到焦點(diǎn)的距離為9，則到軸的距離為A.7 B.10 C.8 D.94.在四面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則A. B.C. D.5.“”是“方程表示的曲線是橢圓”的A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6.已知圓：與圓：關(guān)于直線對稱，則的方程為A. B.C. D.7.某廣場的一個橢球水景雕塑如圖所示，其橫截面為圓，過橫截面圓心的縱截面為橢圓，該橢圓的離心率為.若該橢球橫截面的最大直徑為1.8米，則該橢球的高為A.3.6米 B.3.4米 C.4米 D.3.2米8.設(shè)是拋物線：上的動點(diǎn)，是圓：上的動點(diǎn).則的最小值為A. B. C. D.27二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若直線與直線垂直，則的值可能是A. B. C.0 D.110.已知橢圓：的兩個焦點(diǎn)為，，是上任意一點(diǎn)，則A. B.C. D.11.在棱長為1的正方體中，，，則A.當(dāng)平面時，B.的最小值為C.當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時，D.當(dāng)三棱錐外接球的半徑最大時，12.已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，該垂線與出一條漸近線的交點(diǎn)為，若，則的離心率可能為A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線的傾斜角為______.14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則直線與所成角的余弦值為______.15.石城永寧橋，省級文物保護(hù)單位，位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn).永寧橋建筑風(fēng)格獨(dú)特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋.當(dāng)石拱橋拱頂離水面時，水面寬，當(dāng)水面下降時，水面的寬度為______；該石拱橋?qū)?yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為______16.若曲線與圓恰有4個公共點(diǎn)，則的取值范圍是______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知直線經(jīng)過直線：與直線：的交點(diǎn).（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)，求直線在軸上的截距；（2）若直線與直線：平行，求直線的一般式方桯.18.（12分）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，是雙曲線上的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求直線的方程.19.（12分）如圖，在正二棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)，，.（1）證明：平面.（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值.20.（12分）已知圓與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切，且截直線所得弦長等于2.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求圓截直線所得弦長；（3）若是圓上的一個動點(diǎn)，求的最小值.21.（12分）如圖1，在菱形中，，將沿著翻折至如圖2所示的的位置，構(gòu)成三棱錐.（1）證明：.（2）若平面平面，為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且與平面所成角的正弦值為，求的值.圖1 圖222.（12分）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求的方程.（2）若，為上的兩個動點(diǎn)，，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積大于0，，，且.證明：直線過定點(diǎn).滄衡八校聯(lián)盟高二年級2023~2024學(xué)年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)參考答案1.D因?yàn)椋?2.B因?yàn)槠矫?，所以?因?yàn)椋?，，，所以空間的一個單位正交基底可以為.3.C根據(jù)拋物線的定義可得到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以到軸的距離為.4.B因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以.5.C若方程表示的曲線是橢圓，則，，且，所以且.故“”是“方程表示的曲線是橢圓”的必要不充分條件.6.A由題意得，，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，.由圓與圓關(guān)于對稱，得的斜率為.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在上，所以，即.7.A由題意可知，，則，由該橢球橫截面的最大直徑為1.8米，可知米，所以米，米，該橢球的高為米.8.C設(shè)，則，當(dāng)時，取得最小值28，所以，所以.9.AC依題意可得，解得或.10.BCD因?yàn)?，所以，，，所以，，?11.AB以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則.當(dāng)平面時，，解得，A正確.，當(dāng)時，取得最小值，且最小值為，B正確.當(dāng)是的中點(diǎn)，即時，平面底面，此時，點(diǎn)到平面的距離最大，C錯誤.因?yàn)椋赃^斜邊的中點(diǎn)作平面的垂線（圖略），則外接球的球心必在該垂線上，所以球心的坐標(biāo)可設(shè)為，半徑為，因?yàn)椋?，所?在三棱錐中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，D錯誤.12.AC不妨設(shè)的一條漸近線的方程為，則直線的斜率為，則：.設(shè)，聯(lián)立直線的方程與，可得，.同理可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以?13.（或）因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為.14.因?yàn)?，，所以，所以直線與所成角的余弦值為.15.8；3.2如圖，以拱頂為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，由題意可知拋物線過點(diǎn)，得，得，所以拋物線方程為，所以該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.當(dāng)水面下降時，，則，得，所以水面的寬度為.16.因?yàn)榍€與圓恰有4個公共點(diǎn)，所以直線，均與圓相交，且兩直線的交點(diǎn)不在該圓上，則有解得.17.解：（1）由解得即和的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，令，得，所以直線在軸上的截距為.（2）因?yàn)橹本€與直線：平行，所以可設(shè)直線的方程為，又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以，得所以直線的一般式方程為18.解：（1）因?yàn)殡p曲線與雙曲線有相同的漸近線，所以可設(shè)其方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，則所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，則，因?yàn)樗?，即有，所以，所以直線的方程為，即.19.（1）證明：因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以.在正三棱柱中，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，則取，則易知是平面的一個法向量，所以.故平面與平面夾角的余弦值為.20.解：（1）由已知圓與兩坐標(biāo)軸的正半軸都相切，得圓的圓心在直線上，所以圓的直徑為，即.設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)閳A心到的距離，所以圓截直線所得弦長為.（3），因?yàn)楸硎军c(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，又點(diǎn)在圓上，所以的最小值為，所以的最小值為.21.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)槭橇庑?，，所以，為等邊三角形，所以?又，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，所以平面以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，.設(shè)，