《復變函數(shù)與積分變換》§8.1 Laplace變換的概念

第八章拉普拉斯變換§8.1Laplace變換的概念§8.2Laplace變換的性質(zhì)§8.3Laplace逆變換§8.4應用舉例本章內(nèi)容

本章將從分析Fourier變換的某些不足出發(fā)，引出Laplace變換的基本概念，研究其基本性質(zhì)及Laplace逆變換的求法，最后給出一些應用性的例子，并研究它同F(xiàn)ourier變換的關系．§8.1Laplace變換的概念Fourier變換的限制一1）Fourier變換要求像原函數(shù)除了滿足Dirichlet條件以外，還要求在上滿足絕對可積的條件．2）Fourier變換要求像原函數(shù)在整個數(shù)軸上有定義．

為了克服上述缺點，人們自然想到對于已知函數(shù)加以改造，例如乘以轉化為，而是指數(shù)衰減函數(shù)，同相乘能使之的Fourier變換是存在的．但是，由于像原函數(shù)的改變，引起了核函數(shù)和積分區(qū)域的改變，因而也就產(chǎn)生了一種新的積分變換，稱之為Laplace變換．相乘就將其定義域由是單位階躍函數(shù)，同因子，選取得適當，一般說來，

變?yōu)榻^對可積．這樣，只要Fourier變換的限制一設為定義在上一個函數(shù)，對于取Fourier變換，可得其中，記Fourier變換的限制一這樣，我們就得到一個新的積分變換，它將定義于實數(shù)域的信號函數(shù)變換成定義在復數(shù)域中的函數(shù)，習慣上，人們稱這種變換為Laplace積分變換．Fourier變換的限制一定義1設函數(shù)在時有定義，若廣義積分對參變量在某一區(qū)域D內(nèi)收斂，則此廣義積分在區(qū)域D內(nèi)定義了稱復變函數(shù)為函數(shù)的Laplace變換，記為一個復變函數(shù)Fourier變換的限制一稱為的Laplace逆變換，記為和構成了一對Laplace變換對，

稱為變換的像原函數(shù)．其中稱為變換的像函數(shù)，而Fourier變換的限制一例1求單位階躍函數(shù)的Laplace變換．解：根據(jù)Laplace變換的定義，有Laplace變換的存在性與收斂域二定理1(Laplace變換的存在定理)若函數(shù)滿足下列條件：1）在的任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件；2）存在常數(shù)，使得對充分大的實數(shù)有成立，的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)．時，即當這時，稱的增長是指數(shù)級的，為它的增長指數(shù)．顯然，成立，增長指數(shù)通常取其中的最小值或下界的最大值．當使上面的不等式成立時，比大的一切值也使上面的不等式Laplace變換的存在性與收斂域二的Laplace變換在右半平面內(nèi)有以下結論成立廣義積分在此半平面內(nèi)絕對收斂．一定存在，其中，在右半平面內(nèi)處處解析，且有即(8.1.4)Laplace變換的存在性與收斂域二函數(shù)與構成Laplace

變換對，式(8.1.3)成立，即在的連續(xù)點處有成立．說明1物理和工程技術中常見的函數(shù)大都能滿足定理中的兩個條件．一個函數(shù)的增長是指數(shù)級的和函數(shù)絕對可積這兩個條件相比，兩者的條件弱得多．Laplace變換的存在性與收斂域二，這里，這里等函數(shù)都不滿足Fourier積分定理中絕對可積,例如的條件，但它們都滿足Laplace變換存在定理中的條件2)：由于所以充分大以后，有，即，這里由此可見，對于某些問題，Laplace變換的應用更廣泛．Laplace變換的存在性與收斂域二說明2我們約定：以后若寫，應理解為，即也就是說，今后我們?nèi)籼岬剑膱D形應理解為圖8-1中的曲線，而不是圖8-2中的曲線，這是因為我們在Laplace變換中，討論的都是單邊函數(shù)．對其它函數(shù)也應作同樣的理解．Laplace變換的存在性與收斂域二圖8-1圖8-2Laplace變換的存在性與收斂域二說明3說明4說明5若點趨于無窮遠，且

無限制地增大時，由定理的證明可知．這個結論指出若，則不可能滿足定理的條件．定理中的條件僅是充分的，而不是必要的，即若不滿足定理中的條件，Laplace變換仍可能存在．這里的像原函數(shù)可以是實變復值函數(shù)．一些常用函數(shù)Laplace的變換三利用Laplace變換的定義來推導一些常用函數(shù)的Laplace變換．求指數(shù)函數(shù)(為任一復常數(shù))的Laplace變換．解：根據(jù)Laplace變換的定義，有例2一些常用函數(shù)Laplace的變換三解：

其中，為Gamma函數(shù)，其定義為(詳看本書附錄Ⅲ)(取除去所有負整數(shù)的一切實數(shù))求冪函數(shù)(常數(shù))的Laplace

變換．

例3一些常用函數(shù)Laplace的變換三當，

函數(shù)的性質(zhì)有