數(shù)值計(jì)算方法( 三次樣條插值)課件

4.4三次樣條插值前面我們根據(jù)區(qū)間[a,b]上給出的節(jié)點(diǎn)做插值多項(xiàng)式Ln(x)近似表示f(x)。一般總以為L(zhǎng)n(x)的次數(shù)越高，逼近f(x)的精度越好，但實(shí)際并非如此，次數(shù)越高，計(jì)算量越大，也不一定收斂。因此高次插值一般要慎用，實(shí)際上較多采用分段低次插值。數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)4.4.1分段插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)分段線性插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)分段線性插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)分段線性插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)缺點(diǎn)：I(x)連續(xù)，但不光滑，精度較低,僅在數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)分段三次Hermite插值上述分段線性插值曲線是折線，光滑性差，如果交通工具用這樣的外形，則勢(shì)必加大摩擦系數(shù)，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)分段三次Hermite插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)分段三次Hermite插值算法數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)例題數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)例題數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)4.4.2三次樣條插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)三次樣條插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)三次樣條插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)三次樣條插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)三次樣條插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)三次樣條插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)三次樣條插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)三次樣條插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)三次樣條插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)三次樣條插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)三次樣條插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)三次樣條插值數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)例題例4.4.1已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)表如下表所示。

求滿足邊界條件x00.150.300.450.60f(x)10.978000.917430.831600.73529數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)解做差商表(P111),由于是等距離節(jié)點(diǎn),數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)由第二類邊界條件得數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)解方程得將Mi代入式4.4.14)得數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)由于故

數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)4．5曲線擬合的最小二乘法插值法是用多項(xiàng)式近似的表示函數(shù),并要求在他們的某些點(diǎn)處的值相擬合.同樣也可以用級(jí)數(shù)的部分和作為函數(shù)的近似表達(dá)式.無(wú)論用那種近似表達(dá)式,在實(shí)際應(yīng)用中都要考慮精度,所以我們給出最佳逼近的討論.數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)4.5.1最佳平方逼近定義4.5.1設(shè)稱為函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的內(nèi)積.

其中為區(qū)間[a,b]上的權(quán)函數(shù),且滿足下面兩個(gè)條件:數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)容易驗(yàn)證,上述定義的函數(shù)內(nèi)積滿足一般內(nèi)積概念中四條基本性質(zhì).數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)內(nèi)積的性質(zhì)數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)函數(shù)的歐幾里得范數(shù)定義4.5.2設(shè)稱為函數(shù)f(x)的歐幾里得范數(shù),或2范數(shù).數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)函數(shù)的歐幾里得范數(shù)性質(zhì)數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)線性相關(guān)的函數(shù)系定義4.5.3設(shè)函數(shù),如果存在一組不全為零的數(shù)使成立,則稱函數(shù)系是線性相關(guān)的,否則稱是線性無(wú)關(guān)的.數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)線性相關(guān)的函數(shù)系的判定定理4.5.1函數(shù)在區(qū)間[a,b]上線性相關(guān)的充分必要條件是Gramer行列式數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)不難證明在R上線性無(wú)關(guān).定理4.5.1的等價(jià)說(shuō)法是:函數(shù)系線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是Gramer行列式.數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)最佳平方逼近定義4.5.4設(shè)函數(shù)及函數(shù)系且線性無(wú)關(guān).記為連續(xù)函數(shù)空C[a,b]的子空間,如果存在元素滿足數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)則稱為f(x)在上的最佳平方逼近函數(shù).且其中是法方程唯一的一組解.數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)令則誤差為數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)特例取則法方程為其中數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)例題例4.5.1設(shè)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式.解設(shè)由于數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)故法方程為解得數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)平方誤差為數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)4.5.2對(duì)離散數(shù)據(jù)的曲線擬合最小二乘法曲線擬合問(wèn)題對(duì)于f(x)插值問(wèn)題,要想提高精度,就要增加節(jié)點(diǎn),因此多項(xiàng)式的次數(shù)也就太高,計(jì)算量過(guò)大,而節(jié)點(diǎn)少,多項(xiàng)式的次數(shù)低,但誤差精度不能保證,為了消除誤差干擾,取多一些節(jié)點(diǎn)利用最小二乘法確定低次多項(xiàng)式近似表示f(x),這就是曲線擬合問(wèn)題.數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,得到函數(shù)y=f(x)的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):,求曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差在某種度量意義下最小.數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)設(shè)是[a,b]上一組線性無(wú)關(guān)的連續(xù)函數(shù)系,令記誤差.為尋求我們常以誤差加權(quán)平方和最小為度量標(biāo)準(zhǔn),即數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)達(dá)到極小值,這里是[a,b]上的權(quán)函數(shù).類似前述最佳平方逼近方法,有多元函數(shù)極值必要條件有數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)用向量?jī)?nèi)積形式表示,上式可記上式為求的法方程組,其矩陣的形式為數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)其中由于向量組是線性無(wú)關(guān),故式(4.5.14)的系數(shù)行列式數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)故式(4.5.14)存在唯一解,于是得到函數(shù)f(x)的最小二乘解其平方誤差為數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)特例數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)例題例4.5.2設(shè)函數(shù)y=f(x)的離散數(shù)據(jù)如下表所示試用二次多項(xiàng)式擬和上述數(shù)據(jù),并求平方誤差.01234500.20.40.60.811.0001.2211.4921.8222.2262.718數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)解由式(4.5.16)可得解方程組得所以擬合二次函數(shù)為數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)平方誤差為數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)例4.5.3地球溫室效應(yīng)問(wèn)題下表統(tǒng)計(jì)了近100年內(nèi)地球大氣氣溫上升的數(shù)據(jù).試根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立一數(shù)學(xué)模型即擬和曲線,并根據(jù)這一模型,預(yù)報(bào)地球氣溫何年會(huì)比1860年的平均溫度高數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)年份N1860年后地球氣溫增加值年份N1860年后地球氣溫增加值18800.0119400.1018900.0219500.1319000.0319600.1819100.0419700.2419200.0619800.3219300.08數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)解為簡(jiǎn)化數(shù)據(jù),從1880年起年份記N,其變換n=(N-1870)/10.將地球氣溫增加值改記為t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是將原氣溫增加值擴(kuò)大100倍,根據(jù)新數(shù)據(jù)繪制圖4.5.1(P119)數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)從圖4.5.1可以看出,氣溫t與變換n大致服從指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)過(guò)程,因此,可以假設(shè)t與n滿足指數(shù)函數(shù)關(guān)系為決定參數(shù)α,β將上式改寫成數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)記則有這是已知數(shù)據(jù)相應(yīng)地變?yōu)槿缦卤硭緉1234567891011ln1ln2ln3ln4ln6ln8ln10ln13ln19ln24ln32數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)由式(4.5.16),取n=1,m=10,并將上表已知數(shù)據(jù)帶入得解方程組得:數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)相應(yīng)的t與n的指數(shù)型擬合曲線關(guān)系為就是所求地球溫室效應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,以此進(jìn)行預(yù)報(bào),即已知t值求數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)以地球氣溫比1860年上升為例,即以t=700代入上式可得:N(7)=2078(年)數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)4.5.3矛盾方程組的最小二乘解設(shè)矛盾方程組這里m>n,記數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)則上式可簡(jiǎn)記為Ax=b.矛盾方程組的最小二乘解x*是指滿足數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)引理設(shè)則B為半正定對(duì)稱方陣,當(dāng)R(A)=n,則B是正定對(duì)稱方程.若A的各列線性無(wú)關(guān),則是非奇異方陣.數(shù)值計(jì)算方法(三次樣條插值)定理4.5.2設(shè)