《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第6課 極限的概念

第6課極限的概念課題極限的概念課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：1．理解函數(shù)的極限2．會(huì)計(jì)算函數(shù)的極限，包括函數(shù)在某點(diǎn)的左極限、右極限3．能夠判斷無窮小量和無窮大量思政育人目標(biāo)：通過數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的記載，提出極限思想，讓學(xué)生充分感覺到我國深厚的文化底蘊(yùn)，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：計(jì)算函數(shù)的極限、左極限和右極限教學(xué)難點(diǎn)：判斷無窮小和無窮大教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→問題導(dǎo)入（10min）→講授新課（33min）第二節(jié)課：講授新課（20min）→課堂測(cè)驗(yàn)（10min）→互助指導(dǎo)（12min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前任務(wù)：（1）了解我國古代數(shù)學(xué)家劉徽和哲學(xué)家莊子關(guān)于極限思想的記載（2）了解古希臘哲學(xué)家芝諾關(guān)于悖論的記載【學(xué)生】提前上網(wǎng)搜索了解，查閱資料，了解問題，熟悉教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，充分感覺到我國深厚的文化底蘊(yùn)，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷和學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況問題導(dǎo)入（10min）【教師】講述《阿基里斯追龜（芝諾悖論）》，并提問：什么是極限？我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)極限？【學(xué)生】聆聽、思考、舉手發(fā)言通過問題導(dǎo)入，吸引學(xué)生關(guān)注，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性講授新課（33min）【教師】通過引用我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”和哲學(xué)家莊子的“截丈問題”，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，引發(fā)學(xué)生對(duì)極限的學(xué)習(xí)興趣極限思想產(chǎn)生于求某些實(shí)際問題的精確值，在數(shù)學(xué)燦爛的歷史長河中，有很多典型范例．例如，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）的“割圓術(shù)”，是利用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積，這里就用到了極限的思想；又如，春秋戰(zhàn)國時(shí)期的哲學(xué)家莊子（公元前4世紀(jì)）在《莊子·天下篇》中對(duì)“截丈問題”有一段名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其中就隱含了深刻的極限思想．現(xiàn)在，用極限思想分析問題的方法廣泛應(yīng)用于社會(huì)生活和科學(xué)研究的各個(gè)方面．例如，一杯100℃的水，放在20℃的恒溫房間里，水溫會(huì)怎樣變化呢？本章我們將帶領(lǐng)大家走進(jìn)極限的世界．【教師】講解數(shù)列的定義，并通過例題介紹數(shù)列極限的判斷及求法定義1在某一法則下，當(dāng)依次取

時(shí)，對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)排成一列數(shù)

，這列數(shù)就稱為數(shù)列，記作．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)稱為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)．?dāng)?shù)列可看作自變量為整數(shù)n的函數(shù)，它的定義域是全體正整數(shù)．當(dāng)自變量n依次取等一切正整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列．截丈問題若對(duì)1m長的木棒，每天截取一半，則剩余棒的長度可表示為如下數(shù)列：．可見，隨著截取的天數(shù)n增多，剩余棒的長度越來越短．當(dāng)天數(shù)n無限增大時(shí)，數(shù)列無限趨近于0．定義2對(duì)于數(shù)列，當(dāng)n無限增大時(shí)，若數(shù)列的一般項(xiàng)無限地接近于某一確定的數(shù)值a，則稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于a，記作．若數(shù)列沒有極限，則稱數(shù)列是發(fā)散的．例1討論下列數(shù)列的變化趨勢(shì)，說明極限是否存在，若存在，請(qǐng)寫出它們的極限例1（1）； （2）； （3）；（4）．解（1）的項(xiàng)依次為，當(dāng)n無限增大時(shí)，無限接近于1，所以．（2）的項(xiàng)依次為，當(dāng)n無限增大時(shí)，交替為0和1，不趨近于某一個(gè)常數(shù)，所以該數(shù)列的極限不存在．（3）

（4）為常數(shù)數(shù)列，無論n取怎樣的正整數(shù)，始終為8，所以．例2某單位購置一批價(jià)格為100萬元的設(shè)備，該設(shè)備每年的折舊費(fèi)是當(dāng)年價(jià)格的，那么隨著時(shí)間的推移，這批設(shè)備的價(jià)格如何變化？例2解這批設(shè)備的價(jià)格（單位：萬元）第一年為100，第二年為，第三年為，第四年為，……，第n年為．當(dāng)n無限增大（即）時(shí)，由數(shù)列極限的定義可知．因此，隨著時(shí)間的推移，這批設(shè)備的價(jià)格無限接近于0．【教師】由數(shù)列的極限歸納出函數(shù)的極限，并通過例題介紹函數(shù)極限的判斷及求法數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，對(duì)其主要研究當(dāng)自變量時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)．對(duì)于一般函數(shù)，也可討論自變量在某一變化過程中函數(shù)的變化趨勢(shì)．函數(shù)自變量的變化過程可分為兩種情況：的絕對(duì)值無限增大；無限接近．為了方便起見，我們規(guī)定：（1）的絕對(duì)值無限增大用記號(hào)表示；小于0且絕對(duì)值無限增大用記號(hào)表示；大于0且絕對(duì)值無限增大用記號(hào)表示．（2）無限接近用記號(hào)表示；從的左側(cè)（即）無限接近用記號(hào)表示；從的右側(cè)（即）無限接近用記號(hào)表示．一杯水溫為100℃的水，放在20℃的恒溫房間里，隨著時(shí)間t的推移，水的溫度H將逐漸降低，即二者之間具有函數(shù)關(guān)系，且水溫會(huì)越來越接近房間內(nèi)的溫度20℃，我們把20℃稱為水的極限溫度．下面分兩種情況來討論函數(shù)的極限．1．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限圖2圖2-1例3畫出函數(shù)的圖形，在的前提下，討論當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的變化趨勢(shì)，并說出它的極限．例3解所作圖形如圖2-1所示．從圖中可以看出，當(dāng)x沿x軸的正方向無限增大時(shí)，曲線無限接近于x軸，但始終不與x軸相交．因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)以0為極限．對(duì)于這種當(dāng)時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)，給出下面的定義．定義3當(dāng)x的絕對(duì)值無限增大，即時(shí)，如果函數(shù)值無限趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或．類似地，可定義和．例4討論是否存在．例4解如圖2-2所示，有及

．由于當(dāng)和時(shí)，函數(shù)不是無限接近于同一個(gè)確定的常數(shù)，所以不存在．圖2-2由上面的例子可以看出，如果和都存在并且相等，那么也存在并且與它們相等．如果和都存在但不相等，那么不存在．定理1的充分必要條件是

．圖2-3例5討論函數(shù)及當(dāng)時(shí)的極限．圖2-3例5解如圖2-3所示為這兩個(gè)函數(shù)的圖形．因?yàn)?/p>

，所以不存在．又因?yàn)椋圆淮嬖冢?．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限先看下面的例子．對(duì)于函數(shù)和，當(dāng)時(shí)，和的變化趨勢(shì)如圖2-4所示．從圖像容易看出，當(dāng)時(shí)，和都無限接近于2．（a）（b）圖2-4定義4設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義（在處可以無定義），如果存在一個(gè)常數(shù)A，當(dāng)x無限趨于時(shí)，函數(shù)的值無限趨于A，那么A就稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或．如果當(dāng)從的左邊趨于（通常記作）時(shí)，無限接近某常數(shù)A，則常數(shù)A稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限，記作或．如果當(dāng)x從的右邊趨于（通常記作）時(shí)，無限接近某常數(shù)A，則常數(shù)A稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限，記作或．左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限．根據(jù)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限定義，以及左極限和右極限的定義，容易得出類似于定理1中極限存在的充分必要條件．定理2當(dāng)時(shí)，以A為極限的充分必要條件是在點(diǎn)處的左、右極限存在且都等于A，即．例6設(shè)試判斷是否存在．例6解按題意，當(dāng)時(shí)，的左、右極限分別為，．因?yàn)?，所以存在，且．?設(shè)討論極限是否存在．例7解如圖2-5所示，，

．因?yàn)?，所以不存在．圖2-5【學(xué)生】體會(huì)數(shù)學(xué)概念是源于實(shí)際生活的，數(shù)學(xué)與我們生活是息息相關(guān)的。理解數(shù)列極限的概念，理解函數(shù)的概念，體會(huì)數(shù)學(xué)推理的歸納法，掌握函數(shù)極限的求法學(xué)習(xí)數(shù)列的極限、函數(shù)的極限。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課講授新課（20min）【教師】通過引例歸納出無窮小量的定義和性質(zhì)，并通過例題介紹無窮小量的求法圖2-6在實(shí)際中，我們經(jīng)常遇到一類變量，它們的絕對(duì)值變得越來越小且趨向于零．圖2-6引例單擺離開鉛直位置的偏度用角來度量，如圖2-6所示．如果讓單擺自己擺動(dòng)，由于受到機(jī)械摩擦力和空氣阻力的影響，因此其擺動(dòng)幅度會(huì)不斷地減小，角逐漸趨向于零．對(duì)于這種變量趨于零的情形，我們給出如下定義．引例定義5在自變量x的某一變化過程中，若函數(shù)的極限為0，即，則稱為該變化過程中的無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮?。?，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的極限為0，所以當(dāng)時(shí)，為無窮??；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的極限為0，所以當(dāng)時(shí)，為無窮小．由無窮小的定義，可得到如下性質(zhì)（證明略）．性質(zhì)1有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮?。再|(zhì)2有限個(gè)無窮小的乘積仍是無窮小．性質(zhì)3有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮?。?求．例8解因?yàn)?，所以是時(shí)的無窮小．又因?yàn)?，所以是有界函?shù)．因此，由性質(zhì)3知，．【教師】通過例題介紹無窮大量的概念例如，當(dāng)時(shí)，的絕對(duì)值無限增大，因此在這

個(gè)變化過程中，是無窮大量；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是無窮大量；當(dāng)時(shí)，是無窮大量．【教師】講解無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系和判定定理3若(或)，則有(或0)．例如，因?yàn)?，所以．【學(xué)生】理解無窮小量和無窮大量的概念，以及它們之間的關(guān)系；會(huì)判定無窮小和無窮大學(xué)習(xí)無窮小量和無窮大量的相關(guān)知識(shí)。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生加入測(cè)試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫中選擇幾道題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目通過測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象互助指導(dǎo)（12min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識(shí)點(diǎn)【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準(zhǔn)確率最高的同學(xué)，輔導(dǎo)本組的未答對(duì)同學(xué)掌握答題知識(shí)，實(shí)現(xiàn)組內(nèi)互助【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對(duì)學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)其他學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)課堂小結(jié)（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家理解了函數(shù)的極限，掌握了其計(jì)算方法，還掌握了無窮小量和無窮大量的概念，以及兩者之間的關(guān)系和判定，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題2-