《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第27課 定積分的應(yīng)用

第27課定積分的應(yīng)用課題定積分的應(yīng)用課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：1．理解定積分的微元法2．了解定積分在幾何上的應(yīng)用3．了解定積分在物理上的應(yīng)用4．了解定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用5．掌握用MATLAB求定積分的方法思政育人目標(biāo)：借助直觀的幾何圖形講解微元法，并介紹定積分在幾何、物理和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：定積分的微元法、定積分在幾何上的應(yīng)用、定積分在物理上的應(yīng)用、定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：了解定積分在幾何上的應(yīng)用教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→復(fù)習(xí)（10min）→講授新課（33min）第二節(jié)課：講授新課（20min）→課堂測(cè)驗(yàn)（10min）→數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（12min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前任務(wù)：復(fù)習(xí)定積分的定義和幾何意義【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況復(fù)習(xí)（10min）【教師】提前設(shè)計(jì)好復(fù)習(xí)題目（定積分的定義和幾何意義），并針對(duì)學(xué)生存在的問題及時(shí)講解【學(xué)生】做復(fù)習(xí)題目復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)，為講授新課打好基礎(chǔ)講授新課（33min）【教師】講解定積分的微元法應(yīng)用定積分解決實(shí)際問題時(shí)，常用的方法是定積分的微元法，下面說明應(yīng)用微元法解題的過程．我們已經(jīng)知道，由閉區(qū)間上的連續(xù)曲線、直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積S，通過“分割—近似代替—求和—求極限”四步，可表達(dá)為特定和式的極限，即．由于S的值與對(duì)應(yīng)區(qū)間的分法及的取法無(wú)關(guān)，因此將簡(jiǎn)記為，區(qū)間長(zhǎng)度即為．若取，則段所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積近似為．我們將稱為面積S的微元，記作dS，即．以面積S的微元為被積表達(dá)式，在區(qū)間上作定積分，得．可見，面積S就是微元在上的積分．一般地，我們把在區(qū)間上某個(gè)量U的定積分計(jì)算方法簡(jiǎn)化為兩步：第一步：將量U依賴的區(qū)間進(jìn)行任意分割，代表性小區(qū)間記為，求出量U對(duì)應(yīng)于代表性小區(qū)間上的微元（的近似值）．第二步：將微元在區(qū)間上積分（無(wú)限累加），即得．這種方法稱為定積分微元法．微元法中，第一步寫出變量的微元是關(guān)鍵，通常運(yùn)用“以常量代替變量，以直邊代替曲邊，以均勻量代替不均勻量”等方法．微元法是一種實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)方法和變量分析方法，在工程實(shí)踐、經(jīng)濟(jì)管理和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用．【教師】借助直觀的幾何圖形，講解利用定積分求平面圖形的面積的方法設(shè)平面圖形是由區(qū)間上的連續(xù)曲線及直線圍成的，如圖5-15所示．取為積分變量，在變化區(qū)間上任取一小區(qū)間，其所對(duì)應(yīng)的面積微元為．由微元法可知，該平面圖形的面積為．若平面圖形是由區(qū)間上的連續(xù)曲線及直線圍成的，如圖5-16所示，那么該平面圖形的面積為．圖5-15圖5-16例1例1圖5-17解（1）先解方程組確定圖形所在的范圍，得交點(diǎn)坐標(biāo)為及，如圖5-17所示．取為積分變量，從而圖形在直線之間，即積分區(qū)間為．圖5-17（2）在區(qū)間上任取一小區(qū)間，對(duì)應(yīng)的窄條面積近似于以為高，為底的小矩形的面積，從而得面積微元．（3）所求面積為．（例2、例3詳見教材）【教師】借助直觀的幾何圖形，講解利用定積分求空間立體的體積的方法1）旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞該平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸．球體、圓柱體、圓臺(tái)、圓錐、橢球體等都是旋轉(zhuǎn)體．類型1若一旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線、直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，如圖5-21所示，求它的體積．取橫坐標(biāo)為積分變量，積分區(qū)間為，用過點(diǎn)x()且垂直于軸的平面截旋轉(zhuǎn)體，得到截面半徑為．從而所求體積為．類型2若旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線、直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的，如圖5-22所示．同理可求得其體積，即．圖5-21圖5-22例4求由所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．例4解如圖5-23所示，所求旋轉(zhuǎn)體的體積為．（例5詳見教材）2）平行截面面積為已知的立體體積圖5-25設(shè)一立體位于平面與之間，如圖5-25所示，用任意一個(gè)垂直于軸的平面截此物體所得的截面面積是上的連續(xù)函數(shù)，在上取一小區(qū)間，其相應(yīng)薄片體積的近似值是底面積為、高為的柱體體積．于是該立體的體積微元為圖5-25．將其在上積分，即得該立體的體積為．在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常情況下需要通過求解得到．例6為了修建水庫(kù)，需要攔河修筑土壩，若某段河床的橫向坡度（坡面的垂直高度和水平距離的比）為1∶100，土壩的頂寬為4m，橫斷面為等腰梯形，邊坡為1∶2，一端的壩高為10m，求修筑100m長(zhǎng)的土壩所需的土方量．例6解建立直角坐標(biāo)系（見圖5-26），則過和兩點(diǎn)的直線方程為，從而垂直于軸的橫截面面積為．所需的土方量為．圖5-26【教師】借助直觀的幾何圖形，講解利用定積分求平面曲線的弧長(zhǎng)的方法圖5-27現(xiàn)在來(lái)計(jì)算曲線上從到的一段弧的長(zhǎng)度，如圖5-27所示．圖5-27取橫坐標(biāo)為積分變量，其變化區(qū)間為．若函數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲線上任意一小區(qū)間上一段弧的長(zhǎng)度微元可用該曲線在點(diǎn)處切線上相應(yīng)的長(zhǎng)度近似代替，而切線上這一小段的長(zhǎng)度為，從而曲線的弧長(zhǎng)為．若曲線的方程為參數(shù)方程其中，取參數(shù)為積分變量，其變化區(qū)間為，則任意一小區(qū)間上一段弧的長(zhǎng)度近似為．于是，所求曲線長(zhǎng)為．例7計(jì)算曲線上從0到2的一段弧長(zhǎng)．例7解因?yàn)?，所以所求曲線長(zhǎng)為．【學(xué)生】理解定積分的微元法，了解定積分在幾何上的應(yīng)用學(xué)習(xí)定積分的微元法，以及定積分在幾何上的應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課講授新課（20min）【教師】借助實(shí)際案例，講解定積分在物理上的應(yīng)用1．變力做功如果一個(gè)物體在恒力的作用下，沿力的方向移動(dòng)距離，則力對(duì)物體所做的功是．如果一個(gè)物體在變力的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，不妨設(shè)其沿軸運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)物體由軸上的點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)b時(shí)，變力對(duì)物體所做的功是多少呢？我們?nèi)匀徊捎梦⒃?，所求功?duì)區(qū)間具有可加性．設(shè)變力是連續(xù)變化的，分割區(qū)間，任取一個(gè)小區(qū)間，由的連續(xù)性可知，物體在這一小段路徑上移動(dòng)時(shí)，的變化很小，于是可以得到功的微元．將微元從到b積分，得到整個(gè)區(qū)間上力所做的功為．圖5-28例8如圖5-28所示，某空氣壓縮機(jī)的活塞面積為，在等溫壓縮過程中，活塞由處壓縮到處，求壓縮機(jī)在這段壓縮過程中所消耗的功．圖5-28例8解建立數(shù)軸，一定量的氣體在等溫條件下，壓強(qiáng)p與體積的乘積為常數(shù)，即．由題意可知，體積是活塞面積與任意一點(diǎn)位置的乘積，即，因此．于是氣體作用于活塞上的力為．因此，活塞所用的力，力所做的功為．2．液體壓力現(xiàn)有一面積為的平板，水平置于密度為、深度為的液體中，則平板一側(cè)所受的壓力值為．圖5-29若將平板垂直放于該液體中，對(duì)應(yīng)不同的液體深度，其所受的壓強(qiáng)值也不同，那么平板所受壓力該如何求解呢？圖5-29建立如圖5-29所示直角坐標(biāo)系，設(shè)平板邊緣的曲線方程為，則所求壓力F對(duì)區(qū)間具有可加性．在上任取一個(gè)小區(qū)間，將其對(duì)應(yīng)的小橫條上每個(gè)點(diǎn)的液面深度近似看成，且將液體對(duì)它的壓力近似看成長(zhǎng)為、寬為的小矩形所受的壓力，根據(jù)微元法，可以知道壓力的微元為．于是所求壓力為．例9如圖5-30所示，有一半徑為3m的圓形溢水洞，試求水位為3m時(shí)作用在閘板上的壓力例9圖5-30解積分變量的變化區(qū)間為，其壓力微元為圖5-30．于是所求壓力為．將，m/s2，m代入上式得．【教師】借助實(shí)際案例，講解定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用是多方面的，下面例10和例11體現(xiàn)了已知某經(jīng)濟(jì)量的變化率（即邊際函數(shù)）如何求該經(jīng)濟(jì)量，例12是關(guān)于有效時(shí)段的問題．例10（利潤(rùn)問題）某公司每個(gè)月生產(chǎn)q臺(tái)電視機(jī)，邊際利潤(rùn)（單位：例10．目前公司每月生產(chǎn)1500臺(tái)電視機(jī)，并計(jì)劃提高產(chǎn)量，問每月生產(chǎn)1600臺(tái)電視機(jī)時(shí)，利潤(rùn)增加多少？解．故當(dāng)電視機(jī)的產(chǎn)量每月從1500臺(tái)增加到1600臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)增加1000元．（例11、例12詳見教材）【學(xué)生】了解定積分在物理和經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用學(xué)習(xí)定積分在物理和經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生加入測(cè)試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫(kù)中選擇幾道題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目【教師】公布題目的正確答案，并演示解題過程通過測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（12min）?使用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)【教師】演示用MATLAB求定積分通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道積分運(yùn)算過程比較復(fù)雜，但是利用MATLAB求解就非常容易了．在MATLAB中，積分由int函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，該函數(shù)可求不定積分、定積分和廣義積分，其基本格式如下：int(f)：表示函數(shù)f對(duì)默認(rèn)自變量x的不定積分，即求；int(f,t)：表示函數(shù)f對(duì)自變量t的不定積分，即求；int(f,x,a,b)：表示函數(shù)f對(duì)自變量x從a到b的定積分，即求．例1計(jì)算不定積分．例1解在命令窗口輸入：>>symsx %創(chuàng)建符號(hào)變量x>>f=2*x/(1+x^2); %定義函數(shù)>>f1=int(f,x) %對(duì)函數(shù)f求不定積分按回車，輸出結(jié)果為f1=log(1+x^2) %輸出的積分結(jié)果為例2計(jì)算定積分．例2解在命令窗口輸入：>>symsx %創(chuàng)建符號(hào)變量x>>f=sqrt(4-x^2); %定義函數(shù)>>f1=int(f,x,0,2) %對(duì)函數(shù)f從0到2求定積分按回車，輸出結(jié)果為f1=pi %輸出的積分結(jié)果為【學(xué)生】觀看、聆聽、記錄、思考通過演示使用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用課堂小結(jié)（3分鐘）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家理解了定積分的微元法，并了解了定積分在幾何、物理和經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用，還掌握了用MATLAB求定積分的方法