《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第34課 二重積分的概念與性質(zhì)

第34課二重積分的概念與性質(zhì)課題二重積分的概念與性質(zhì)課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：1．理解二重積分的概念與性質(zhì)2．理解二重積分的定義和幾何意義3．了解二重積分的性質(zhì)及應(yīng)用思政育人目標(biāo)：通過兩個(gè)實(shí)際案例推導(dǎo)出二重積分的概念，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是源于生活的，是對(duì)實(shí)際問題的抽象產(chǎn)生的，不是脫離實(shí)際生活的；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的概念與性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：理解二重積分的概念教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→實(shí)例導(dǎo)入（23min）→講授新課（20min）第二節(jié)課：講授新課（20min）→課堂測(cè)驗(yàn)（10min）→互助指導(dǎo)（12min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時(shí)間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問答題：（1）什么是二重積分？（2）二重積分的定義是什么？（3）二重積分的幾何意義是什么？（4）二重積分有哪些性質(zhì)？【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況實(shí)例導(dǎo)入（23min）【教師】引入課題——二重積分的概念在許多實(shí)際問題中，往往需要計(jì)算與多元函數(shù)及平面區(qū)域有關(guān)的量．把定積分的概念加以推廣，當(dāng)被積函數(shù)是二元函數(shù)，積分范圍是平面區(qū)域時(shí)，這種積分就是二重積分．【教師】通過兩個(gè)實(shí)例，推導(dǎo)出二重積分的概念1．曲頂柱體的體積設(shè)有一個(gè)立體，它的底是平面上的有界區(qū)域，它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線，而母線平行于軸的柱面，它的頂是定義在上的二元函數(shù)所表示的連續(xù)曲面，并設(shè)．這種柱體稱為曲頂柱體，如圖6-15所示．現(xiàn)在來(lái)求曲頂柱體的體積，如圖6-16所示．圖6-15圖6-16（1）把閉區(qū)域任意分成個(gè)小閉區(qū)域，它們的面積分別記作，分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于軸的柱面，這些柱面把原來(lái)的曲頂柱體分成個(gè)小曲頂柱體．（2）在每個(gè)中任意取一點(diǎn)，則以為底、為高的小曲頂柱體的體積近似值為．（3）個(gè)小曲頂柱體體積近似值的累加等于大曲頂柱體體積的近似值，即．（4）當(dāng)各個(gè)小閉區(qū)域直徑（有界閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域中任意兩點(diǎn)間距離的最大值）的最大值時(shí)，若和式的極限存在，則此極限值就是所求曲頂柱體的體積，即．2．平面薄板的質(zhì)量圖6-17如圖6-17所示，設(shè)質(zhì)量非均勻分布的平面薄板，在面上所占的區(qū)域?yàn)?，它的面密度為，其中在上連續(xù)，求薄板的質(zhì)量．圖6-17（1）將區(qū)域任意分成個(gè)小閉區(qū)域，它們的面積分別記作．（2）在上任意取一點(diǎn)，該小閉區(qū)域?qū)?yīng)的質(zhì)量．（3）個(gè)小閉區(qū)域質(zhì)量近似值的累加等于薄板質(zhì)量的近似值．（4）當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值時(shí)，若和式的極限存在，則此極限值就是所求平面薄板的質(zhì)量，即．【學(xué)生】理解二重積分的概念通過實(shí)例導(dǎo)入使學(xué)生理解二重積分的概念講授新課（20min）【教師】講解二重積分的定義和幾何意義上述體積問題及許多類似的問題經(jīng)過抽象，就形成了二重積分的概念．定義設(shè)為有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)．把閉區(qū)域任意分成個(gè)小閉區(qū)域，它們的面積分別記作．在每個(gè)小閉區(qū)域中，任意取一點(diǎn)，作乘積，并作和式．無(wú)論怎樣劃分，怎樣取，當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值時(shí)，若和式的極限存在，則此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分，記作，即．式中，稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為面積元素，稱為積分區(qū)域．下面，對(duì)二重積分做如下幾點(diǎn)說明：（1）若（2）二重積分與被積函數(shù)、積分區(qū)域有關(guān)，與積分變量的表示無(wú)關(guān)，即．（3）二重積分的幾何意義：若，則二重積分表示以為曲頂、以為底的曲頂柱體的體積；若，則二重積分表示曲頂柱體體積的負(fù)值；若有正、有負(fù)，則二重積分就等于這些部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和．【學(xué)生】理解二重積分的定義和幾何意義學(xué)習(xí)二重積分的定義。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課講授新課（20min）【教師】講解二重積分的7個(gè)性質(zhì)性質(zhì)1常數(shù)因子可提到積分號(hào)的外面，即(為常數(shù))．性質(zhì)2函數(shù)和與差的積分等于各函數(shù)積分的和與差，即．性質(zhì)3若區(qū)域D分為兩個(gè)部分區(qū)域，則．性質(zhì)4若在區(qū)域D上，，為區(qū)域D的面積，則．性質(zhì)5若在區(qū)域D上，，則有不等式．推論由于，則．．性質(zhì)7（二重積分的中值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)，使得．【學(xué)生】掌握二重積分的7個(gè)性質(zhì)學(xué)習(xí)二重積分的性質(zhì)。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測(cè)驗(yàn)（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)中發(fā)布測(cè)試的題目，并讓學(xué)生加入測(cè)試。【教師】從教材配套題庫(kù)中選擇幾道題目，測(cè)試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測(cè)試題目通過測(cè)試，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的印象互助指導(dǎo)（12min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識(shí)點(diǎn)【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準(zhǔn)確率最高的同學(xué)，輔導(dǎo)本組的未答對(duì)同學(xué)掌握答題知識(shí)，實(shí)現(xiàn)組內(nèi)互助【學(xué)生】核對(duì)自己的答題情況，對(duì)比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對(duì)學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動(dòng)其他學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)課堂小結(jié)（3min）【教師】簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家理解了二重積分的概念與性質(zhì)、定義和幾何意義，還了解了二重積分的性質(zhì)及應(yīng)用，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題6-7總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)上共享本節(jié)課知識(shí)相關(guān)的學(xué)習(xí)鏈接【學(xué)生】登錄文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺(tái)查看相關(guān)知