基本計數(shù)原理（課件）高二數(shù)學（北師大版2019選擇性）

問題:重慶的王先生想到西昌現(xiàn)場觀看嫦娥一號衛(wèi)星的發(fā)射，從重慶到西昌可以乘坐火車或者汽車，一天中，火車有３班，汽車有２班，問從重慶到西昌共有多少種不同的走法?分類加法計數(shù)原理

問題1:重慶的王先生想到西昌現(xiàn)場觀看嫦娥一號衛(wèi)星的發(fā)射，從重慶到西昌可以乘坐火車或者汽車，一天中，火車有３班，汽車有２班，問從重慶到西昌共有多少種不同的走法．重慶西昌火車1火車2火車3汽車1汽車2分析:從重慶到西昌有2類方法,Ⅰ.乘火車，3種方法;

Ⅱ.乘汽車，2種方法;所以從重慶到西昌共有3+2=5

種不同方法。如果重慶到西昌，除了３班火車２班汽車外還有２班飛機，那么王先生有多少種不同的走法呢？

如果完成一件事情有n類不同的辦法，在每一類中都有若干種不同方法，那么應當如何計數(shù)呢？[探究]:

［延伸］：共有：

3+2+2=7種分類計數(shù)原理

一般地,若完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．（又叫：加法原理）完成一件事分類不重復、不遺漏甲1.從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？乙火車2火車1火車3汽車1汽車23+2=5（種）鞏固提升2.在填寫高考志愿表時,一名高中畢業(yè)生了解到,A,B,C三所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè),具體情況如下:A大學B大學生物學化學醫(yī)學物理學工程學數(shù)學會計學信息技術(shù)學法學如果這名同學只能選一個專業(yè),那么他共有多少種選擇呢?C大學機械制造建筑學廣告學漢語言文學韓語N=5+4+5=14(種)

問題2:

在重慶工作的小李欲回廣州老家過年，受雪災影響重慶到廣州的火車全部停運．于是他決定先乘火車到柳州，然后第二天再乘汽車到廣州．一天中，火車有３班，汽車有２班，問小李一共有多少種走法？分布乘法計數(shù)原理

問題2:

在重慶讀書的小李欲回老家廣州過年，受雪災影響重慶到廣州的火車全部停運．于是他決定先乘火車到柳州，然后第二天再乘汽車到廣州．一天中，火車有３班，汽車有２班，問小李一共有多少種走法？第二步,由柳州去廣州有2種方法；

分析:

第一步,由重慶去柳州有3種方法,所以從重慶經(jīng)柳州到廣州共有3×2=6

種不同的方法。汽車1汽車2柳州重慶廣州火車1火車3火車2不同的走法:火車1汽車1火車1汽車2火車2汽車1火車2汽車2火車3汽車1火車3汽車2[探究]

：如果完成一件事情需要n步，每一步都有若干種不同方法，那么應當如何計數(shù)呢？[延伸]：如果小李回家的時候需要轉(zhuǎn)一次車后再乘飛機（如圖），則共有多少種不同的走法？汽車2汽車1火車3火車2火車1飛機1飛機2重慶廣州A地B地共有：3×2×2=12種春節(jié)到了，某同學要與父母一起參加家庭聚會.（1）她有3件不同的上衣，4條不同的褲子，如果把1件上衣和1條褲子看作一種搭配方法，那么共有多少種搭配方法？（2）她還有5雙不同的鞋子，如果把1件上衣、1條褲子和1雙鞋子看作一種搭配方法，那么共有多少種搭配方法？分析

（1）我們先看褲子的選擇方法數(shù)，有4條不同的褲子，則有4種選擇方法；每一條褲子對應3件不同的上衣，如圖.因此，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N＝3+3+3+3＝3x4=12種搭配方法.（2）由題意知還有5雙不同的鞋子，且每一雙鞋子對應的褲子和上衣的搭配方法有12種，如圖.因此，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有

＝12+12+12+12+12＝12x5=3x4x5=60種搭配方法.

分步計數(shù)原理

完成一件事，需要分成n個步驟。做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有

2）首先要根據(jù)具體問題的特點確定一個分步的標準，然后對每步方法計數(shù).1）各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了,這件事才算完成,將各個步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱乘法原理說明N=m1×m2×…×mn種不同的方法（又叫：乘法原理）兩個計數(shù)原理的比較原理名稱分類原理（加法原理）分步原理（乘法原理）聯(lián)系區(qū)別一判斷依據(jù)特點完成某件事情有多少種不同的方法要分類完成要分步完成每類方法都是相互獨立每步方法都是相互依存分類要徹底分步要清晰深化鞏固1.節(jié)目主持候選人中有４名男同學，８名女同學，

問題：（１）

若從中任選一人主持節(jié)目，共有幾種不同的選法？

（２）

若從中任選一個男同學和一個女同學共同主持節(jié)目，共有幾種不同的選法？分析（1）節(jié)目主持候選人中有４名男同學，８名女同學，若從中選一人主持節(jié)目,不管選擇男還是選擇女，它們都可以獨立地完成。因此是分類，一類是男同學，一類是女同學。第一類：任選1男有4種選法；第二類：任選2女有8種選法，

共8+4=12種

（2）節(jié)目主持候選人中有４名男同學，８名女同學，若從中選一個男同學和一個女同學共同主持節(jié)目，任選1人都不能直接完成，因此是分步，第一步選1個男同學，第二步選1個女同學。

第一步：任選1男有4種選法；第二步：任選1女有8種選法，

共8×4=32種2.書架上層有不同的數(shù)學書5本，中層有不同的語文書8本，下層有不同的物理書7本.現(xiàn)要從書架的兩層上任意地各取一本，問有多少取法？

再分兩步:分別有8種和7種不同的可能分析：考慮分類能否完成任務(wù),分步能否完成任務(wù).要完成任務(wù),先分類再分步首先分3類:上層和中層,上層和下層,中層和下層,再分兩步:分別有5種和8種不同的可能再分兩步:分別有5種和7種不同的可能基本計數(shù)原理的簡單應用例1

在1，2，3，…，200中，能夠被5整除的數(shù)共有多少個？解

能夠被5整除的數(shù)，末位數(shù)字是0或5，因此，我們把1，2，3，…，200中能夠被5整除的數(shù)分成2類來計數(shù)：第1類，末位數(shù)字是0的數(shù)，共有20個；第2類，末位數(shù)字是5的數(shù)，共有20個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，在1，2，3，…，200中，能夠被5整除的數(shù)共有

＝20+20＝40個.

解先考慮李明從A村經(jīng)過B村到C村：從A村到B村的道路有3條，從B村到C村的道路有2條，因此李明從A村經(jīng)過B村到C村可以分成3類，每一類都有2種不同的方法，共有2+2+2＝2×3＝6條線路可以選擇.再考慮從C村到D村，有3條道路可以選擇，因此可以認為有3類，共有6+6+6＝6×3＝18條線路可以選擇.因此，整個行程可以理解為共有N＝2×3×3＝18條線路可以選擇.例4、書架上第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育雜志.(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法?N＝4＋3+2＝9N＝4×3×2＝24(1)從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?例5、新蔡縣的部分電話號碼是05798415××××,后面每個數(shù)字來自0～9這10個數(shù),問可以產(chǎn)生多少個不同的電話號碼?變式:

若要求最后4個數(shù)字不重復,則又有多少種不同的電話號碼?0579841510101010×××=104分析:分析:=504010987×××例6:(1)5封信投入到3個郵箱里，有多少種不同的方法？（2）若3封信投入到5個郵箱里，有多少種不同的方法？解：5×5×5=53解：3×3×3×3×3=35

變式.五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

解：（1）5名學生中任一名均可報其中的任一項，因此每個學生都有4種報名方法，5名學生都報了項目才能算完成這一事件故報名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=種.（2）每個項目只有一個冠軍，每一名學生都可能獲得其中的一項獲軍，因此每個項目獲冠軍的可能性有5種故有n=5×５×５×５=種.例7、如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？染色問題:解:

按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成,

第一步,m1=3種,

第二步,m2=2種,

第三步,m3=1種,

第四步,m4=1種,所以根據(jù)乘法原理,得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3×2×1×1=6種。

思考、如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？

若用2色、4色、5色等,結(jié)果又怎樣呢？

答:它們的涂色方案種數(shù)分別是0、4×3×2×2=48、5×4×3×3=180種等。思考：？同學們，今天我們學了哪些知識呢一、兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理二、兩種思想類比的思想從特殊到一般的思想