2022-2023學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市番禺區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題本試卷共22小題，全卷滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名和座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則=（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，又，則.故選：A.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，得到，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C.3.在中，點(diǎn)D滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意如下圖所示：根據(jù)向量加法法則可知，又，所以，即，可得.故選：A.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋字亩x域?yàn)?因?yàn)?，所以為奇函?shù)，圖象關(guān)的原點(diǎn)對(duì)稱.排除A，D選項(xiàng)；又，，所以排除C選項(xiàng).故選：B.5.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：C.6.近年來(lái)，電動(dòng)自行車以其快捷、輕便、經(jīng)濟(jì)等優(yōu)點(diǎn)成為老百姓的代步工具，但隨之出現(xiàn)了一系列問(wèn)題，如違規(guī)停放，私拉電線充電，占用安全通道等，給人民安全帶來(lái)隱患.為進(jìn)一步規(guī)范電動(dòng)自行車管理，某社區(qū)持續(xù)開(kāi)展了兩輪電動(dòng)車安全檢查和宣傳教育，為了解工作效果，該社區(qū)將四名工作人員隨機(jī)分派到A，B，C三個(gè)小區(qū)進(jìn)行抽查，每人被分派到哪個(gè)小區(qū)互不影響，則三個(gè)小區(qū)中恰有一個(gè)小區(qū)未分配到任何工作人員的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，每個(gè)人都有去三個(gè)小區(qū)的可能性，即總共有種情況，三個(gè)小區(qū)中恰有一個(gè)小區(qū)未分配到任何工作人員，第一類，兩個(gè)小區(qū)分別為3人、1人，總共有種情況；第二類，兩個(gè)小區(qū)分別為2人、2人，總共有種情況；所以三個(gè)小區(qū)中恰有一個(gè)小區(qū)未分配到任何工作人員的概率為.故選：D.7.已知變量關(guān)于變量的回歸方程為，其一組數(shù)據(jù)如下表所示：12345若，則的值大約為（）A.4.94 B.5.74 C.6.81 D.8.04〖答案〗C〖解析〗由，令，則，由題意，，，所以，解得，所以，所以，解得.故選：C.8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則，當(dāng)時(shí),，所以在上單調(diào)遞增，，；，易知，.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于的展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是（）A.展開(kāi)式共有6項(xiàng) B.展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1C.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是240 D.展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)槎?xiàng)式的次數(shù)為6，所以展開(kāi)式共有7項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；令，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，故B正確；的通項(xiàng)為，，令，得，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故C正確；的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B.的最小值為4C.對(duì)任意的直線， D.以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切〖答案〗BD〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；拋物線的焦點(diǎn)弦中，通徑最短，故的最小值為4，B選項(xiàng)正確；由題意，直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖所示，的中點(diǎn)為M，過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，可知以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，D選項(xiàng)正確.故選：BD.11.甲箱中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙箱中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以，和表示從甲箱中取出的球是紅球、白球和黑球的事件，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以表示從乙箱中取出的球是紅球的事件，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，，，若發(fā)生，則乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，所以，故A正確；若發(fā)生，則乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，所以，若發(fā)生，則乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，所以，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：ABD.12.如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，且，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A.平面B.四棱錐的外接球的表面積為C.與平面所成角的正弦值為D.點(diǎn)A到平面的距離為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A：連接，因?yàn)槠矫妫矫?，可得由為正方形，可得，，平面，所以平面，又因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，則//，可得平面，故A正確；對(duì)于B：四棱錐的外接球即為以A為頂點(diǎn)，為相鄰三邊的正方體的外接球，則外接球的半徑，所以表面積為，故B正確；如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于C：可知平面的法向量，則，所以與平面所成角的正弦值為，故C正確；對(duì)于D：可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，所以點(diǎn)A到平面的距離為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，每名學(xué)生的成績(jī)，成績(jī)不低于90分為優(yōu)秀，依此估計(jì)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)___________（結(jié)果填整數(shù)）.附：若，則，.〖答案〗23（22也可以）〖解析〗由每名學(xué)生的成績(jī)，得，則，則優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為.故〖答案〗為：23.14.已知正數(shù)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則__________.〖答案〗3〖解析〗設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為，則的前3項(xiàng)和，又因?yàn)?，所以，即，解得（舍），或，所?故〖答案〗為：3.15.已知函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切，則該直線斜率為_(kāi)_____．〖答案〗3〖解析〗∵點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．又∵，所以∴在處的切線方程為，∵切線過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴切線斜率為.故〖答案〗為：3．16.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，橢圓C在第一象限存在點(diǎn)M，使得，直線與y軸交于點(diǎn)A，且是的角平分線，則橢圓C的離心率為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗由題意得，又由橢圓的定義得，記，則，，則，所以，故，則，則，即等價(jià)于，得：或（舍）故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.記為正數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)的和，已知.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)之和.（1）證明：因?yàn)?，所以令，得，即，所以或，因?yàn)閿?shù)列是正數(shù)數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，由，則，兩式相減，即，整理得，因?yàn)椋?，所以，即所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）解：由（1）知，，所以，所以，其前n項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前n項(xiàng)之和為.18.在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）因?yàn)椋瑒t，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.19.某企業(yè)為在推進(jìn)中國(guó)式現(xiàn)代化新征程中展現(xiàn)更大作為，在提升員工敬業(yè)精神和員工管理水平上實(shí)施新舉措制定新方案.現(xiàn)對(duì)員工敬業(yè)精神和員工管理水平進(jìn)行評(píng)價(jià)，從企業(yè)中選出200人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中對(duì)員工敬業(yè)精神和員工管理水平都滿意的有50人，對(duì)員工敬業(yè)精神滿意的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的40%，對(duì)員工管理水平滿意的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的45%.（1）完成對(duì)員工敬業(yè)精神和員工管理水平評(píng)價(jià)的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)為對(duì)員工敬業(yè)精神滿意與對(duì)員工管理水平滿意有關(guān)聯(lián)?員工敬業(yè)精神員工管理水平合計(jì)滿意不滿意滿意不滿意合計(jì)（2）若將頻率視為概率，隨機(jī)從企業(yè)員工中抽取3人參與此次評(píng)價(jià)，設(shè)對(duì)員工敬業(yè)精神和對(duì)員工管理水平都滿意的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，.0.0500.0100.0013.84106.63510.828解：（1）由題意可得關(guān)于對(duì)員工敬業(yè)精神和員工管理水平評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表項(xiàng)目對(duì)員工管理水平滿意對(duì)員工管理水平不滿意合計(jì)對(duì)員工敬業(yè)精神滿意503080對(duì)員工敬業(yè)精神不滿意4080120合計(jì)90110200零假設(shè)為：對(duì)員工敬業(yè)精神滿意與對(duì)員工管理水平滿意無(wú)關(guān).據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為對(duì)員工敬業(yè)精神滿意與對(duì)員工管理水平滿意有關(guān)聯(lián).（2）對(duì)員工敬業(yè)精神和對(duì)員工管理水平都滿意的概率為，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，其中；；；，所以隨機(jī)變量X的分布列為0123則.20.如圖，三棱柱中，平面，，，，以，為鄰邊作平行四邊形，連接和.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)F，使平面與平面垂直?若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.（1）證明：如圖所示：連接，∵四邊形為平行四邊形，∴，又，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面垂直，則平面與平面的二面角為直二面角，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則，如圖所示：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，∵，，，∴，，，，∵點(diǎn)在上，∴設(shè)點(diǎn)，∴，，，分別設(shè)平面和平面的法向量為，，則，，即，，∴取，，則，∴，即，∴，即，∴.∴線段上不存在點(diǎn)F，使平面與平面垂直21.已知雙曲線的離心率為的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為．（1）求該雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線在第一象限交于兩點(diǎn)，直線交線段于點(diǎn)，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn).（1）解：因?yàn)殡p曲線的漸近線為，又因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，所以，又，，聯(lián)立解得，所以雙曲線的方程為.（2）證明：由已知有，雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)．則直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，．顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立得，所以，因?yàn)椋裕?，所以，整理得．所以，化?jiǎn)得，即，所以直線的方程為，恒過(guò)點(diǎn)．所以直線過(guò)定點(diǎn)．22.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，，故為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故為減函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.（2）因?yàn)?，所以，所以在上恒成立，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，，則且當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上為增函數(shù)，所以，即時(shí)不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由，得，若，則，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以存在，使得，即時(shí)不滿足題意；若，則，故在上為減函數(shù)，所以，所以恒成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.廣東省廣州市番禺區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題本試卷共22小題，全卷滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名和座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則=（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，又，則.故選：A.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋玫?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C.3.在中，點(diǎn)D滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意如下圖所示：根據(jù)向量加法法則可知，又，所以，即，可得.故選：A.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋字亩x域?yàn)?因?yàn)?，所以為奇函?shù)，圖象關(guān)的原點(diǎn)對(duì)稱.排除A，D選項(xiàng)；又，，所以排除C選項(xiàng).故選：B.5.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：C.6.近年來(lái)，電動(dòng)自行車以其快捷、輕便、經(jīng)濟(jì)等優(yōu)點(diǎn)成為老百姓的代步工具，但隨之出現(xiàn)了一系列問(wèn)題，如違規(guī)停放，私拉電線充電，占用安全通道等，給人民安全帶來(lái)隱患.為進(jìn)一步規(guī)范電動(dòng)自行車管理，某社區(qū)持續(xù)開(kāi)展了兩輪電動(dòng)車安全檢查和宣傳教育，為了解工作效果，該社區(qū)將四名工作人員隨機(jī)分派到A，B，C三個(gè)小區(qū)進(jìn)行抽查，每人被分派到哪個(gè)小區(qū)互不影響，則三個(gè)小區(qū)中恰有一個(gè)小區(qū)未分配到任何工作人員的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，每個(gè)人都有去三個(gè)小區(qū)的可能性，即總共有種情況，三個(gè)小區(qū)中恰有一個(gè)小區(qū)未分配到任何工作人員，第一類，兩個(gè)小區(qū)分別為3人、1人，總共有種情況；第二類，兩個(gè)小區(qū)分別為2人、2人，總共有種情況；所以三個(gè)小區(qū)中恰有一個(gè)小區(qū)未分配到任何工作人員的概率為.故選：D.7.已知變量關(guān)于變量的回歸方程為，其一組數(shù)據(jù)如下表所示：12345若，則的值大約為（）A.4.94 B.5.74 C.6.81 D.8.04〖答案〗C〖解析〗由，令，則，由題意，，，所以，解得，所以，所以，解得.故選：C.8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則，當(dāng)時(shí),，所以在上單調(diào)遞增，，；，易知，.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于的展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的是（）A.展開(kāi)式共有6項(xiàng) B.展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1C.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是240 D.展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32〖答案〗BC〖解析〗因?yàn)槎?xiàng)式的次數(shù)為6，所以展開(kāi)式共有7項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；令，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，故B正確；的通項(xiàng)為，，令，得，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故C正確；的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B.的最小值為4C.對(duì)任意的直線， D.以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切〖答案〗BD〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；拋物線的焦點(diǎn)弦中，通徑最短，故的最小值為4，B選項(xiàng)正確；由題意，直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖所示，的中點(diǎn)為M，過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，可知以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，D選項(xiàng)正確.故選：BD.11.甲箱中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙箱中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以，和表示從甲箱中取出的球是紅球、白球和黑球的事件，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以表示從乙箱中取出的球是紅球的事件，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)椋?，，若發(fā)生，則乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，所以，故A正確；若發(fā)生，則乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，所以，若發(fā)生，則乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，所以，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：ABD.12.如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，且，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A.平面B.四棱錐的外接球的表面積為C.與平面所成角的正弦值為D.點(diǎn)A到平面的距離為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A：連接，因?yàn)槠矫?，平面，可得由為正方形，可得，，平面，所以平面，又因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，則//，可得平面，故A正確；對(duì)于B：四棱錐的外接球即為以A為頂點(diǎn)，為相鄰三邊的正方體的外接球，則外接球的半徑，所以表面積為，故B正確；如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于C：可知平面的法向量，則，所以與平面所成角的正弦值為，故C正確；對(duì)于D：可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，所以點(diǎn)A到平面的距離為，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，每名學(xué)生的成績(jī)，成績(jī)不低于90分為優(yōu)秀，依此估計(jì)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)___________（結(jié)果填整數(shù)）.附：若，則，.〖答案〗23（22也可以）〖解析〗由每名學(xué)生的成績(jī)，得，則，則優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為.故〖答案〗為：23.14.已知正數(shù)等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則__________.〖答案〗3〖解析〗設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為，則的前3項(xiàng)和，又因?yàn)?，所以，即，解得（舍），或，所?故〖答案〗為：3.15.已知函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切，則該直線斜率為_(kāi)_____．〖答案〗3〖解析〗∵點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．又∵，所以∴在處的切線方程為，∵切線過(guò)點(diǎn)，∴，解得，∴切線斜率為.故〖答案〗為：3．16.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，橢圓C在第一象限存在點(diǎn)M，使得，直線與y軸交于點(diǎn)A，且是的角平分線，則橢圓C的離心率為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗由題意得，又由橢圓的定義得，記，則，，則，所以，故，則，則，即等價(jià)于，得：或（舍）故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.記為正數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)的和，已知.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)之和.（1）證明：因?yàn)椋粤?，得，即，所以或，因?yàn)閿?shù)列是正數(shù)數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，由，則，兩式相減，即，整理得，因?yàn)椋?，所以，即所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）解：由（1）知，，所以，所以，其前n項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前n項(xiàng)之和為.18.在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）因?yàn)?，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.19.某企業(yè)為在推進(jìn)中國(guó)式現(xiàn)代化新征程中展現(xiàn)更大作為，在提升員工敬業(yè)精神和員工管理水平上實(shí)施新舉措制定新方案.現(xiàn)對(duì)員工敬業(yè)精神和員工管理水平進(jìn)行評(píng)價(jià)，從企業(yè)中選出200人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中對(duì)員工敬業(yè)精神和員工管理水平都滿意的有50人，對(duì)員工敬業(yè)精神滿意的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的40%，對(duì)員工管理水平滿意的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的45%.（1）完成對(duì)員工敬業(yè)精神和員工管理水平評(píng)價(jià)的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)為對(duì)員工敬業(yè)精神滿意與對(duì)員工管理水平滿意有關(guān)聯(lián)?員工敬業(yè)精神員工管理水平合計(jì)滿意不滿意滿意不滿意合計(jì)（2）若將頻率視為概率，隨機(jī)從企業(yè)員工中抽取3人參與此次評(píng)價(jià)，設(shè)對(duì)員工敬業(yè)精神和對(duì)員工管理水平都滿意的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，.0.0500.0100.0013.84106.63510.828解：（1）由題意可得關(guān)于對(duì)員工敬業(yè)精神和員工管理水平評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表項(xiàng)目對(duì)員工管理水平滿意對(duì)員工管理水平不滿意合計(jì)對(duì)員工敬業(yè)精神滿意503080對(duì)員工敬業(yè)精神不滿意4080120合計(jì)90110200零假設(shè)為：對(duì)員工敬業(yè)精神滿意與對(duì)員工管理水