2020-2021學(xué)年湖北省武漢市江漢區(qū)四校聯(lián)盟九年級(jí)(下)月考數(shù)學(xué)模擬試卷

2020-2021學(xué)年湖北省武漢市江漢區(qū)四校聯(lián)盟九年級(jí)（下）數(shù)學(xué)模擬試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是﹣2，則a等于（）A．2 B．﹣2 C． D．02．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜ B．x＜2 C．x≥ D．x≤3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．走過(guò)一個(gè)紅綠燈路口時(shí)，前方正好是紅燈 B．買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)是5的倍數(shù) C．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上 D．從一個(gè)只有紅球的盒子里摸出一個(gè)球是紅球4．（3分）下列微信表情圖標(biāo)屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．5．（3分）如圖所示物體的俯視圖是（）A． B． C． D．6．（3分）某班從甲、乙、丙、丁四位選手中隨機(jī)選取兩人參加校乒乓球比賽，恰好選中甲、乙兩位選手的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）若點(diǎn)A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x28．（3分）小元步行從家去火車(chē)站，走到6分鐘時(shí)，以同樣的速度回家取物品，然后從家乘出租車(chē)趕往火車(chē)站，結(jié)果比預(yù)計(jì)步行時(shí)間提前了3分鐘．小元離家路程S（米）與時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖，那么從家到火車(chē)站路程是（）A．1300米 B．1400米 C．1600米 D．1500米9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E，連接OE．若cos∠ABC＝，則tan∠AEO的值為（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，將一枚跳棋放在七邊形ABCDEFG的頂點(diǎn)A處，按順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)這枚跳棋2021次．移動(dòng)規(guī)則是：第k次移動(dòng)k個(gè)頂點(diǎn)（如第一次移動(dòng)1個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在B處，第二次移動(dòng)2個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在D處），按這樣的規(guī)則，在這2021次移動(dòng)中，跳棋不可能停留的頂點(diǎn)是（）A．C，E，F(xiàn) B．E，F(xiàn) C．C，E D．沒(méi)有二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是．12．（3分）在某學(xué)校開(kāi)展的藝術(shù)作品征集活動(dòng)中，五個(gè)班上交的作品數(shù)量（單位：件）分別為：42，50，45，46，50，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．13．（3分）計(jì)算﹣的結(jié)果是．14．（3分）在?ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，連接BD，若BD＝4，則線段CD的長(zhǎng)為．15．（3分）函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，n），其中8＜n＜9．下列四個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②a＝＝﹣；③當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，≤y≤﹣；④方程ax2+bx+c+4b＝1沒(méi)有實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．16．（3分）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，AE為折痕，AB＝4．設(shè)FC的長(zhǎng)為t，用含有t的式子表示△AFE的面積是．三、解答題（共8小題，共72分）17．（8分）計(jì)算：[a2?a4﹣（3a3）2]?a3．18．（8分）如圖，ABCD是正方形，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，作DF⊥AE，BG⊥AE，垂足分別為F，G．求證：DF﹣BG＝FG．19．（8分）麥當(dāng)勞公司為擴(kuò)大規(guī)模，占領(lǐng)市場(chǎng)，決定最新推出4種套餐，下面是該公司市場(chǎng)調(diào)研人員來(lái)到某校就A，B，C，D四種套餐在學(xué)生心中的喜愛(ài)程度進(jìn)行的調(diào)查，詢問(wèn)了一部分同學(xué)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖，請(qǐng)你結(jié)合圖中信息解答下列問(wèn)題．（1）該公司一共詢問(wèn)了多少名同學(xué)？（2）通過(guò)計(jì)算把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）已知該校有2000人，估計(jì)全校最喜愛(ài)B種套餐的人數(shù)是多少？20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，5），B（﹣3，2），C（﹣1，1），僅用無(wú)刻度的直尺在給定的12×8的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖（畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線表示）．（1）將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的線段AD；（2）在x軸的正半軸上畫(huà)點(diǎn)E，使∠ADE＝135°；（3）過(guò)點(diǎn)E畫(huà)線段EF，使EF∥BC，且EF＝BC．21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的弦，D為弧BC的中點(diǎn)．BC與AD相交于E，連接CD．（1）求證：CD2＝DE?DA；（2）若tan∠BCD＝，求sin∠CDA的值．22．（10分）為解決學(xué)生課桌桌面亂堆亂放現(xiàn)象，班主任王老師計(jì)劃從文具店購(gòu)進(jìn)A，B兩種不同型號(hào)的書(shū)掛袋給學(xué)生使用，每名學(xué)生1只（班級(jí)共40名學(xué)生）．已知：購(gòu)買(mǎi)3只A種書(shū)掛袋、2只B種書(shū)掛袋需要110元，購(gòu)買(mǎi)5只A種書(shū)掛袋、4只B種書(shū)掛袋需要200元．設(shè)B種書(shū)掛袋為m只．（1）求文具店A種、B種書(shū)掛袋售價(jià)各為多少元？（2）若王老師計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)兩種書(shū)掛袋的總費(fèi)用不低于850元且不超過(guò)900元，則有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？（3）已知文具店A，B兩種書(shū)掛袋的進(jìn)貨價(jià)分別為16元和18元，目前正在對(duì)B種書(shū)掛袋進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)：購(gòu)買(mǎi)B種書(shū)掛袋數(shù)量不超過(guò)10只時(shí)，不優(yōu)惠；購(gòu)買(mǎi)B種書(shū)掛袋數(shù)量超過(guò)10只時(shí)，每超過(guò)1只，購(gòu)買(mǎi)的所有B種書(shū)掛袋單價(jià)均降低0.1元（最低不低于成本），問(wèn)：王老師的班級(jí)選擇A，B兩種書(shū)掛袋各幾只時(shí)，文具店獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？23．（10分）已知E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的BC，CD邊上的點(diǎn)，且∠AEF＝90°．（1）如圖1，若四邊形是正方形，E是BC的中點(diǎn)，求證：；（2）若四邊形ABCD是平行四邊形，①如圖2，若，∠AFE＝∠D，求cos∠EAF的值；②如圖3，若AB＝BC，cos∠AFE＝，請(qǐng)直接寫(xiě)出＝．24．（12分）如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B．與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點(diǎn)．過(guò)P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長(zhǎng)；（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N（2，0）．點(diǎn)D是拋物線上A，M之間的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D不與A，M重合，連接DB交MN于點(diǎn)E．連接AD并延長(zhǎng)交MN于點(diǎn)F．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．2020-2021學(xué)年湖北省武漢市江漢區(qū)四校聯(lián)盟九年級(jí)（下）數(shù)學(xué)模擬試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是﹣2，則a等于（）A．2 B．﹣2 C． D．0【解答】解：∵2的相反數(shù)是﹣2，∴a＝2．故選：A．2．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜ B．x＜2 C．x≥ D．x≤【解答】解：由題意得，1﹣2x≥0，解得x≤．故選：D．3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．走過(guò)一個(gè)紅綠燈路口時(shí)，前方正好是紅燈 B．買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)是5的倍數(shù) C．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上 D．從一個(gè)只有紅球的盒子里摸出一個(gè)球是紅球【解答】解：A、走過(guò)一個(gè)紅綠燈路口時(shí)，前方正好是紅燈，是隨機(jī)事件；B、買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)是5的倍數(shù)，是隨機(jī)事件；C、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上，是隨機(jī)事件；D、從一個(gè)只有紅球的盒子里摸出一個(gè)球是紅球，是必然事件；故選：D．4．（3分）下列微信表情圖標(biāo)屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，本選項(xiàng)不合題意；B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，本選項(xiàng)不合題意；C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，本選項(xiàng)符合題意；D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，本選項(xiàng)不合題意．故選：C．5．（3分）如圖所示物體的俯視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從上面看，是一行3個(gè)全等的矩形，故選：C．6．（3分）某班從甲、乙、丙、丁四位選手中隨機(jī)選取兩人參加校乒乓球比賽，恰好選中甲、乙兩位選手的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意畫(huà)圖如下：共有12種等可能數(shù)，其中恰好選中甲、乙兩位選手的有2種，則恰好選中甲、乙兩位選手的概率是＝；故選：C．7．（3分）若點(diǎn)A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2【解答】解：∵k＜0，∴反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，﹣5＜0＜2＜，∴x2＜x3＜x1，故選：B．8．（3分）小元步行從家去火車(chē)站，走到6分鐘時(shí)，以同樣的速度回家取物品，然后從家乘出租車(chē)趕往火車(chē)站，結(jié)果比預(yù)計(jì)步行時(shí)間提前了3分鐘．小元離家路程S（米）與時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖，那么從家到火車(chē)站路程是（）A．1300米 B．1400米 C．1600米 D．1500米【解答】解：步行的速度為：480÷6＝80米/分鐘，∵小元步行從家去火車(chē)站，走到6分鐘時(shí)，以同樣的速度回家取物品，∴小元回到家時(shí)的時(shí)間為6×2＝12（分鐘）則返回時(shí)函數(shù)圖象的點(diǎn)坐標(biāo)是（12，0）設(shè)后來(lái)乘出租車(chē)中S與t的函數(shù)解析式為S＝kt+b（k≠0），把（12，0）和（16，1280）代入得，，解得，所以S＝320t﹣3840；設(shè)步行到達(dá)的時(shí)間為t，則實(shí)際到達(dá)的時(shí)間為t﹣3，由題意得，80t＝320（t﹣3）﹣3840，解得t＝20．所以家到火車(chē)站的距離為80×20＝1600m．故選：C．9．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E，連接OE．若cos∠ABC＝，則tan∠AEO的值為（）A． B． C． D．【解答】解：連接OD，AD，∵AB為直徑．∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB，設(shè)CD＝CD＝3x，∵cos∠ABC＝＝，∴AB＝AC＝5x，∴DO＝AO＝AB＝，∵cos∠ABC＝cos∠ACB＝＝，∴＝，∴CE＝，∴DE＝＝，∵AO＝BO，BD＝CD，∴DO∥AC，∴∠AOE＝∠DOE，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥DO，∴tan∠AEO＝tan∠DOE＝＝，故選：C．10．（3分）如圖，將一枚跳棋放在七邊形ABCDEFG的頂點(diǎn)A處，按順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)這枚跳棋2021次．移動(dòng)規(guī)則是：第k次移動(dòng)k個(gè)頂點(diǎn)（如第一次移動(dòng)1個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在B處，第二次移動(dòng)2個(gè)頂點(diǎn)，跳棋停留在D處），按這樣的規(guī)則，在這2021次移動(dòng)中，跳棋不可能停留的頂點(diǎn)是（）A．C，E，F(xiàn) B．E，F(xiàn) C．C，E D．沒(méi)有【解答】解：把棋子跳過(guò)的字母排成如下一列：BCDEFGABCDEFGABCDEFGABCDEFGA......，顯然它的循環(huán)周期是7，棋子第n次跳到的位置是，當(dāng)n＝1，2，3，4，5，6，7時(shí)，棋子跳到的位置依次是1，3，6，10，15，21，28，對(duì)應(yīng)的字母依次是B，D，G，D，B，A，A，當(dāng)n＞7時(shí)，設(shè)n＝m+7k，其中k，m都是正整數(shù)，且m＜7，，∵和都是整數(shù)，∴也是整數(shù)，∴當(dāng)n＞7時(shí)，后面的位置都和n＜7的情況重復(fù)，∴不經(jīng)過(guò)的位置有C，E，F(xiàn)．故選：A．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是3．【解答】解：＝＝3．故答案為：3．12．（3分）在某學(xué)校開(kāi)展的藝術(shù)作品征集活動(dòng)中，五個(gè)班上交的作品數(shù)量（單位：件）分別為：42，50，45，46，50，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是46．【解答】解：將這五個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列得，42，45，46，50，50，處在中間位置的一個(gè)數(shù)是46，因此中位數(shù)是46，故答案為：46．13．（3分）計(jì)算﹣的結(jié)果是．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．故答案為：．14．（3分）在?ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，連接BD，若BD＝4，則線段CD的長(zhǎng)為4或8．【解答】解：作DE⊥AB于E，如圖所示：∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝2，∴AE＝DE＝6，BE＝＝＝2，∴AB＝AE﹣BE＝4，或AB＝AE+BE＝8，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝4或8；故答案為：4或8．15．（3分）函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，n），其中8＜n＜9．下列四個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②a＝＝﹣；③當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，≤y≤﹣；④方程ax2+bx+c+4b＝1沒(méi)有實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．【解答】根據(jù)題意，如圖①a＜0，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)，ab同號(hào)，b＜0，與y軸交于正半軸c＞0，abc＞0，正確，②對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＝﹣1，b＝2a，將點(diǎn)（2，0）代入拋物線得4a+2b+c＝0，解得c＝﹣8a，，錯(cuò)誤，③當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，x＝﹣1時(shí)有最大值y＝＝b，x＝3時(shí)有最小值y＝b+3b﹣4b＝b，正確，④當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣9a，8＜﹣9a＜9，﹣1＜a＜﹣，ax2+bx+c+4b＝1，得ax2+bx+c＝1﹣4b，將b＝2a，c＝﹣8a代入方程得，ax2+2ax﹣1＝0，Δ＝4a2+4a＝4（a+）2﹣1當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣9a，8＜﹣9a＜9，﹣1＜a＜﹣，∴Δ＜0，∴ax2+bx+c＝1﹣4無(wú)實(shí)數(shù)根．正確．故答案為①③④16．（3分）如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，AE為折痕，AB＝4．設(shè)FC的長(zhǎng)為t，用含有t的式子表示△AFE的面積是．【解答】解：設(shè)AD＝x，由折疊可知，AD＝AF＝x，DE＝FE，∵FC＝t，AB＝4，∴BF＝x﹣t，CE＝4﹣DE，在Rt△CEF中，EF2＝CF2+CE2，∴DE2＝t2+（4﹣DE）2，∴DE＝，在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，∴x2＝42+（x﹣t）2，∴x＝，∴S△AEF＝S△ADE＝×AD×DE＝××＝，故答案為．三、解答題（共8小題，共72分）17．（8分）計(jì)算：[a2?a4﹣（3a3）2]?a3．【解答】解：[a2?a4﹣（3a3）2]?a3＝（a6﹣9a6）?a3＝（﹣8a6）?a3＝﹣8a9．18．（8分）如圖，ABCD是正方形，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，作DF⊥AE，BG⊥AE，垂足分別為F，G．求證：DF﹣BG＝FG．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵DF⊥AE，BG⊥AE，∴∠AFD＝∠AGB＝∠ADF+∠DAF＝90°，∵∠DAF+∠BAG＝90°，∴∠ADF＝∠BAG，在△DAF和△ABG中，，∴△DAF≌△ABG（AAS），∴DF＝AG，AF＝BG，∴DF﹣BG＝AG﹣AF＝FG．19．（8分）麥當(dāng)勞公司為擴(kuò)大規(guī)模，占領(lǐng)市場(chǎng)，決定最新推出4種套餐，下面是該公司市場(chǎng)調(diào)研人員來(lái)到某校就A，B，C，D四種套餐在學(xué)生心中的喜愛(ài)程度進(jìn)行的調(diào)查，詢問(wèn)了一部分同學(xué)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖，請(qǐng)你結(jié)合圖中信息解答下列問(wèn)題．（1）該公司一共詢問(wèn)了多少名同學(xué)？（2）通過(guò)計(jì)算把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）已知該校有2000人，估計(jì)全校最喜愛(ài)B種套餐的人數(shù)是多少？【解答】解：（1）44÷44%＝100（名），答：該公司一共詢問(wèn)了100名同學(xué)；（2）B項(xiàng)目人數(shù)為100﹣（44+8+28）＝20（名），補(bǔ)全條形圖如下：（3）2000×＝400（名），答：估計(jì)全校最喜愛(ài)B種套餐的人數(shù)是400名．20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，5），B（﹣3，2），C（﹣1，1），僅用無(wú)刻度的直尺在給定的12×8的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖（畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線表示）．（1）將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的線段AD；（2）在x軸的正半軸上畫(huà)點(diǎn)E，使∠ADE＝135°；（3）過(guò)點(diǎn)E畫(huà)線段EF，使EF∥BC，且EF＝BC．【解答】解：（1）如圖，線段AD即為所求作．（2）如圖，點(diǎn)E即為所求作．（3）如圖，線段EF即為所求作．21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的弦，D為弧BC的中點(diǎn)．BC與AD相交于E，連接CD．（1）求證：CD2＝DE?DA；（2）若tan∠BCD＝，求sin∠CDA的值．【解答】（1）證明：連接AC，如圖，∵D為弧BC的中點(diǎn)，即＝，∴∠CAD＝∠BCD，∵∠EDC＝∠CDA，∴△DCE∽△DAC，∴＝，∴CD2＝DE?DA；（2）解：連接BD，如圖，∵＝，∴∠DCB＝∠DBC，DC＝DB，∵AB為直徑，∴∠ACE＝∠ADB＝90°，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝tan∠BCD＝＝，設(shè)DE＝x，則DB＝CD＝2x，∴BE＝＝x，∵CD2＝DE?DA，∴4x2＝x?DA，解得DA＝4x，∴AE＝AD﹣DE＝3x，∵∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，∴△ACE∽△BDE，∴＝，即＝，解得AC＝x，在Rt△ABD中，AB＝＝2x，在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，∵∠CDA＝∠ABC，∴sin∠CDA＝．22．（10分）為解決學(xué)生課桌桌面亂堆亂放現(xiàn)象，班主任王老師計(jì)劃從文具店購(gòu)進(jìn)A，B兩種不同型號(hào)的書(shū)掛袋給學(xué)生使用，每名學(xué)生1只（班級(jí)共40名學(xué)生）．已知：購(gòu)買(mǎi)3只A種書(shū)掛袋、2只B種書(shū)掛袋需要110元，購(gòu)買(mǎi)5只A種書(shū)掛袋、4只B種書(shū)掛袋需要200元．設(shè)B種書(shū)掛袋為m只．（1）求文具店A種、B種書(shū)掛袋售價(jià)各為多少元？（2）若王老師計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)兩種書(shū)掛袋的總費(fèi)用不低于850元且不超過(guò)900元，則有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？（3）已知文具店A，B兩種書(shū)掛袋的進(jìn)貨價(jià)分別為16元和18元，目前正在對(duì)B種書(shū)掛袋進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)：購(gòu)買(mǎi)B種書(shū)掛袋數(shù)量不超過(guò)10只時(shí)，不優(yōu)惠；購(gòu)買(mǎi)B種書(shū)掛袋數(shù)量超過(guò)10只時(shí)，每超過(guò)1只，購(gòu)買(mǎi)的所有B種書(shū)掛袋單價(jià)均降低0.1元（最低不低于成本），問(wèn)：王老師的班級(jí)選擇A，B兩種書(shū)掛袋各幾只時(shí)，文具店獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？【解答】解：（1）設(shè)文具店A種、B種書(shū)掛袋售價(jià)各為x元、y元，根據(jù)題意得：，解得，答：文具店A種、B種書(shū)掛袋售價(jià)各為20元、25元．（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A種書(shū)掛袋x只，則購(gòu)買(mǎi)B種書(shū)掛袋（40﹣x）只，由題意得：，解得20≤x≤30，因?yàn)閤是正整數(shù)，所以有11種購(gòu)買(mǎi)方案．（3）設(shè)B種掛書(shū)袋為m只，則A種掛書(shū)袋為（40﹣m）只，根據(jù)題意可知：①當(dāng)m≤10只時(shí)，文具店的利潤(rùn)為：（20﹣16）（40﹣m）+（25﹣18）m＝160+3m，∴當(dāng)m＝10只時(shí)，利潤(rùn)最大為190元；②當(dāng)m＞10只時(shí)，文具店的利潤(rùn)為：（20﹣16）（40﹣m）+（25﹣18）m﹣m（m﹣10）×0.1＝﹣0.1m2+4m+160＝﹣0.1（m﹣20）2+200，∵a＝﹣0.1＜0，∴當(dāng)m＝20只時(shí)，文具店的最大利潤(rùn)為200元，此時(shí)A為20只．∵200＞190，∴A、B兩種書(shū)袋均取20只．答：當(dāng)A、B兩種書(shū)掛袋都是20只時(shí)，文具店獲利最大，最大利潤(rùn)是200元．23．（10分）已知E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的BC，CD邊上的點(diǎn)，且∠AEF＝90°．（1）如圖1，若四邊形是正方形，E是BC的中點(diǎn)，求證：；（2）若四邊形ABCD是平行四邊形，①如圖2，若，∠AFE＝∠D，求cos∠EAF的值；②如圖3，若AB＝BC，cos∠AFE＝，請(qǐng)直接寫(xiě)出＝．【解答】（1）證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，∴∠AEB＝∠EFC，∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF，∴，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝CE＝2a，∵AB＝CD＝4a，∴，∴CF＝a，∴DF＝CD﹣CF＝3a，∴＝＝；（2）解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，，E是BC的中點(diǎn)，∴＝，∴DF＝BC，如圖2，在DC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H，使EH＝EC，則∠EHC＝∠ECH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠ECH，∵∠ECH＝∠EHC，∴∠EHC＝∠D＝∠H，∴∠AFE＝∠D，∴∠EFH＝∠FAD，∴△EFH∽△FAD，∴＝，∴＝＝，設(shè)EF＝4k，AF＝5k，∵∠AEF＝90°，∴AE＝＝＝3k，∴cos∠EAF＝＝；②∵AB＝BC，∠AFE＝，∴＝，如圖3中，在AD上取點(diǎn)P使得FP＝DF，∴∠D＝∠DPF，∵∠DPF＝180°﹣∠APF，∠D＝180°﹣∠C，∴∠C＝∠APF，∴△APF∽△FC