北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題4.1 與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（壓軸題專項(xiàng)講練）（教師版）

專題4.1與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【典例1】已知，線段AB上有三個(gè)點(diǎn)C、D、E，AB=18，AC=2BC，D、E為動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)），并且始終保持DE=8．（1）如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，AF=3AD，求AE的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)D從A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)立即停止），運(yùn)動(dòng)的速度為每秒2個(gè)單位，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，使AD，BE兩條線段中，一條的長(zhǎng)度恰好是另一條的兩倍．【思路點(diǎn)撥】（1）由AB=18，AC=2BC，求解AC,BC，再利用E為BC中點(diǎn)，求解EC,再求解DC，最后利用AD=AC?CD，從而可得答案；（2）由點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，求解CF,BF，再求解AF,AD，DF,EF,BE，再利用AE=AB?BE，即可得到答案；（3）如圖3，以A為原點(diǎn)建立數(shù)軸，則C,B分別表示12,18，先確定DE的最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再在運(yùn)動(dòng)后，表示D對(duì)應(yīng)的數(shù)為2t,E對(duì)應(yīng)的數(shù)為8+2t,求解AD,BE，再分兩種情況列方程即可得到答案．【解題過(guò)程】解：（1）如圖1，∵AB=18，AC=2BC，∴AC=2∵E為BC中點(diǎn)時(shí)，∴CE=BE=1∵DE=8,∴DC=DE?CE=8?3=5，∴AD=AC?CD=12?5=7.（2）如圖2，∵點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，∴CF=BF=1∵AB=AF+FB=18，∴AF=18?3=15，∵AF=3AD，∴AD=5，∴DF=AF?AD=15?5=10，∵DE=8，∴EF=DF?DE=10?8=2，∴BE=EF+BF=2+3=5，∴AE=AB?BE=18?5=13.（3）如圖3，以A為原點(diǎn)建立數(shù)軸，則C,B分別表示12,18，由運(yùn)動(dòng)開(kāi)始前：BE=AB?DE=18?8=10，∴DE的最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：102運(yùn)動(dòng)后，由題意可得：D對(duì)應(yīng)的數(shù)為2t,E對(duì)應(yīng)的數(shù)為8+2t,∴AD=2t,BE=18?(8+2t)=10?2t,當(dāng)AD=2BE時(shí)，∴2t=2(10?2t),∴6t=20,∴t=10經(jīng)檢驗(yàn)：t=10當(dāng)2AD=BE時(shí)，∴4t=10?2t,∴6t=10,∴t=5經(jīng)檢驗(yàn)：t=5綜上：當(dāng)t=103s或t=531．（2022·貴州黔西·七年級(jí)期末）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)O和點(diǎn)A分別表示0和10，點(diǎn)P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)P沿O→A→O以每秒2個(gè)單位的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，B是線段OA的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t不超過(guò)10秒）.若點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)PB=2時(shí)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為（

）A．32秒或72秒 B．32秒或72秒或C．3秒或7秒 D．3秒或132或7秒或17【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)P的位置分類討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，利用路程÷速度=時(shí)間即可得出結(jié)論．【解題過(guò)程】解：∵數(shù)軸上的點(diǎn)O和點(diǎn)A分別表示0和10∴OA=10∵B是線段OA的中點(diǎn)，∴OB=AB=1①當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，且未到點(diǎn)B時(shí)，如下圖所示，PB=2此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程O(píng)P=OB－PB=3∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3÷2=32②當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，且已過(guò)點(diǎn)B時(shí)，如下圖所示，PB=2此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程O(píng)P=OB+PB=7∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為7÷2=72③當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，且未到點(diǎn)B時(shí)，如下圖所示，PB=2此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為OA＋AP=OA＋AB－PB=13∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為13÷2=132④當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，且已過(guò)點(diǎn)B時(shí)，如下圖所示，PB=2此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為OA＋AP=OA＋AB＋PB=17∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為17÷2=172綜上所述：當(dāng)PB=2時(shí)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為32秒或72秒或132故選B．2．（2023·河北·平山縣外國(guó)語(yǔ)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，C為射線AB上一點(diǎn)，AB＝30，AC比BC的14多5，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③當(dāng)PB＝12BQ時(shí)，A．0 B．1 C．2 D．3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)AC比BC的14【解題過(guò)程】解：設(shè)BC＝x，∴AC＝14x∵AC+BC＝AB∴x+14x解得：x＝20，∴BC＝20，AC＝10，∴BC＝2AC，故①成立，∵AP＝2t，BQ＝t，當(dāng)0≤t≤15時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB上，∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)∴MB＝12BP＝15﹣∵QM＝MB+BQ，∴QM＝15，∵N為QM的中點(diǎn)，∴NQ＝12QM＝15∴AB＝4NQ，當(dāng)15＜t≤30時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB外，且點(diǎn)P在Q的左側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)∴BM＝12BP＝t∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N為QM的中點(diǎn)，∴NQ＝12QM＝15∴AB＝4NQ，當(dāng)t＞30時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在Q的右側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)∴BM＝12BP＝t∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N為QM的中點(diǎn)，∴NQ＝12QM＝15∴AB＝4NQ，綜上所述，AB＝4NQ，故②正確，當(dāng)0＜t≤15，PB＝12BQ時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB∴AP＝2t，BQ＝t∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，∴30﹣2t＝12t∴t＝12，當(dāng)15＜t≤30，PB＝12BQ時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB外，且點(diǎn)P在Q∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝12tt＝20，當(dāng)t＞30時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在Q的右側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝12tt＝20，不符合t＞30，綜上所述，當(dāng)PB＝12BQ時(shí)，t故選：C．3．（2022·廣東·南聯(lián)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）線段AB=15，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始向點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AP=2PQ時(shí)，t的值為_(kāi)_______．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)時(shí)間與速度可以分別表示出AP、BQ，結(jié)合AP=2PQ分別從相遇前和相遇后，利用線段的和差關(guān)系計(jì)算出t的值．【解題過(guò)程】解：此題可分為兩種情況進(jìn)行討論：①如圖1，點(diǎn)P、Q相遇前，由題意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AB－AP－BQ，當(dāng)AP=2PQ時(shí)，t＝2(15－t－2t)，解得t＝307②如圖2，點(diǎn)P、Q相遇后，由題意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AP＋BQ－AB，當(dāng)AP=2PQ時(shí)，t＝2(t＋2t－15)，解得t＝6．綜上所述：t的值為307故答案為：3074．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖直線l上有AB兩點(diǎn)，AB=12cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA=2OB，若點(diǎn)C是射線AB上一點(diǎn)，且滿足AC=CO+CB，則OC【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可求出OA=8cm，OB=4cm．設(shè)OC=xcm，分類討論①當(dāng)點(diǎn)C在AO之間時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)C在OB之間時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，利用x可分別表示出AC，CB的長(zhǎng)，根據(jù)AC=CO+CB，即得出關(guān)于x的等式，解出x即可．【解題過(guò)程】解：∵AB=12cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA=2OB，∴OA=23AB=8cm設(shè)OC=xcm，分類討論：①當(dāng)點(diǎn)C在AO之間時(shí)，如圖，由圖可知，AC=OA?OC=(8?x)cm，CB=OC+OB=(x+4)cm，∵AC=CO+CB，∴8?x=x+x+4，解得：x=4故此時(shí)OC=4②當(dāng)點(diǎn)C在OB之間時(shí)，如圖，由圖可知，CO+CB=OB=4cm，AC=AO+OC=(8+x)cm>8cm．∴此時(shí)不成立；③當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，如圖，由圖可知，AC=OA+OC=(8+x)cm，CB=OC?OB=(x?4)cm，∵AC=CO+CB，∴8+x=x+x?4，解得：x=12．故此時(shí)OC=12cm；綜上可知OC的長(zhǎng)為43cm或故答案為：43或125．（2022·遼寧·遼陽(yáng)市第一中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB＝18cm，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線BA向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動(dòng)．(1)若點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，2cm/s．①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s，且點(diǎn)D仍在線段PB上時(shí)，AC＋PD＝_________cm；②若點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，則AP∶PB＝_________；(2)若動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PD＝3AC，求AP的長(zhǎng)度．【思路點(diǎn)撥】（1）①先計(jì)算BD，PC的長(zhǎng)度，再計(jì)算AC+PD；②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t秒，則PC=t,BD=2t，利用中點(diǎn)的性質(zhì)表達(dá)出：AP=2PC=2t,BP=2BD=4t，即可得出答案；（2）依題意得出BD＝3PC，PD＝3AC，再由PB=BD+PD=3AP和【解題過(guò)程】解：（1）①依題意得：PC=1×2=2,BD=2×2=4，∴AC＋故答案為：12；②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則PC=t,BD=2t∵當(dāng)點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，∴AP=2PC=2t,BP=2BD=4t∴AP:BP=2t:4t=1:2故答案為：1:2；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則PC=t,BD=3t，∴BD＝∵PD＝∴PB=BD+PD=3PC+3AC=3PC+AC∵PB+AP=AB∴3AP+AP=AB∴AP=16．（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，線段AB長(zhǎng)為24個(gè)單位長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．(1)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PB=2AM時(shí)，求x的值．(2)當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求2BM?BP的值．(3)如圖2，當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長(zhǎng)度．如變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)PB=2AM建立關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）將BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；（3）利用PA=2x，AM=PM=x，PB=2x?24，PN=1【解題過(guò)程】解：（1）∵M(jìn)是線段AP的中點(diǎn)，∴AM=1PB=AB?AP=24?2x，∵PB=2AM，∴24?2x=2x，解得x=6．（2）解：∵AM=x，BM=24?x，PB=24?2x，∴2BM?BP=224?x即2BM?BP為定值24．（3）解：當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在B點(diǎn)的右側(cè)．∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x?24，PN=1∴MN=PM?PN=x?x?12所以MN的長(zhǎng)度無(wú)變化是定值．7．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖①，已知線段AB=12，點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)．（1）若AC=4，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)____________；（2）若BC=m，求DE的長(zhǎng)；（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AB向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以點(diǎn)P速度的兩倍沿線段AB向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問(wèn)當(dāng)t為多少時(shí)，P，Q之間的距離為6？【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)圖形，由AB=12，AC=4得出BC=8再根據(jù)點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)，得出DC，EC，再根據(jù)線段的和求出DE，(2)根據(jù)圖形，由AB=12，BC=m得出AC=12-m再根據(jù)點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)，得出DC，EC，再根據(jù)線段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再畫(huà)出兩種圖形，根據(jù)線段的和等于AB，得到兩個(gè)一元一次方程，即可求出．【解題過(guò)程】解：如圖(1)∵AB=12，AC=4∴BC=8∵點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)，∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6(2)∵AB=12，BC=m∴AC=12-m∵點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)∴DC=6-12m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6(3)由題意得，如圖所示，或AP=3t，BQ=6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+BQ-PQ=12∴3t+6+6t=12或3t+6t-6=12解得t=23故當(dāng)t=238．（2023·上海市民辦新北郊初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，P是定長(zhǎng)線段AB上一點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)（C在線段AP上，D在線段BP上）（1）若C、D運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有PD＝2AC，請(qǐng)說(shuō)明P點(diǎn)在線段AB上的位置：（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點(diǎn)，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQAB（3）在（1）的條件下，若C、D運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有CD=12AB，此時(shí)C點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（D點(diǎn)在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①PM﹣【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)C、D的運(yùn)動(dòng)速度知BD=2PC，再由已知條件PD=2AC求得PB=2AP，所以點(diǎn)P在線段AB上的13（2）由題設(shè)畫(huà)出圖示，根據(jù)AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，從而求得PQ與AB的關(guān)系；（3）當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，有CD＝12AB，從而求得CM與AB的數(shù)量關(guān)系；然后求得以AB表示的PM與PN的值，所以MN＝PN?PM＝1【解題過(guò)程】解：（1）由題意：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.∴點(diǎn)P在線段AB上的13（2）如圖：∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=13∴PQAB（3）②MNAB理由：如圖，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，有CD=12∴CM=14∴PM=CM-CP=14∵PD=23∴PN=12（2∴MN=PN-PM=112當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，D點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以MNAB9．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)C在線段AB上，AC=2BC，點(diǎn)D、E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．若AB=18，DE=8，線段DE在線段AB上移動(dòng)．(1)如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)AC=2BC，AB=18，可求得BC=6，AC=12，根據(jù)中點(diǎn)的定義求出BE，由線段的和差即可得到AD的長(zhǎng)．（2）點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，確定點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，即可求出AD的長(zhǎng)．【解題過(guò)程】解：（1）AC=2BC，AB=18，∴BC=6，AC=12，如圖1，∵E為BC中點(diǎn)，∴CE=BE=3，∵DE=8，∴BD=DE+BE=8+3=11，∴AD=AB?DB=18?11=7，（2）Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)，如圖2，或∵CE+EF=3，BC=6，∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴CF=BF=3，∴AF=AB?BF=18?3=15，∴AD=1∵CE+EF=3，故圖2（b）這種情況求不出；Ⅱ、如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)，或∵AC=12，CE+EF=CF=3，∴AF=AC?CF=9，∴AF=3AD=9，∴AD=3．∵CE+EF=3，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：AD的長(zhǎng)為3或5．10．（2022·江蘇·南通田家炳中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）（1）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度；（2）在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，C、P、Q三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義、線段的和差，可得答案；（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義、線段的和差，列出關(guān)于t的方程，問(wèn)題可解．【解題過(guò)程】解：（1）∵線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴CM＝12AC＝5厘米，CN＝12∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，由題意得0<t≤8，下面分別討論之．①當(dāng)0＜t≤5時(shí)，C是線段PQ的中點(diǎn)，如圖1由圖得PC=AC-AP=10-2t，CQ=CB-QB=6-t由PC=CQ得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②當(dāng)5＜t≤163時(shí)，P為線段CQ由圖得PC=AP-AC=2t-10，PQ=PB-QB=(16-2t)﹣t，由PC=PQ得2t﹣10＝(16-2t)﹣t，解得t＝265③當(dāng)163＜t≤6時(shí)，Q為線段PC由圖得，CQ=BC-BQ=6-t，PQ=AP-CQ=2t-10-(6-t)，由CQ=PQ得6﹣t＝2t-10-(6-t)，解得t＝112④當(dāng)6＜t≤8時(shí)，C為線段PQ的中點(diǎn)，如圖4由圖得，PC=AP-AC=2t-10，CQ=BQ-BC=t-6，由QC=PC得2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4＜6（舍去），綜上所述：t＝4或265或1111．（2022·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，若BC=πAC，則稱點(diǎn)C是線段的圓周率點(diǎn)，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．（1）若AC=2，求AB的長(zhǎng)；（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)D也是圖①中線段AB的圓周率點(diǎn)（不同于點(diǎn)C），試求出線段BD的長(zhǎng)，并判斷AC與BD的數(shù)量關(guān)系；【解決問(wèn)題】（3）如圖②，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無(wú)滑動(dòng)性的滾動(dòng)1周，該點(diǎn)到達(dá)C的位置，求點(diǎn)C所表示的數(shù)；若點(diǎn)M、N是線段OC的圓周率點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)；（4）圖②中，若點(diǎn)D在射線OC上，且線段CD與O、C、D中某兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段互為圓周率伴侶線段，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D所表示的數(shù)（答案保留π）．【思路點(diǎn)撥】（1）利用BC=πAC求出BC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)．（2）設(shè)AC的長(zhǎng)為x，BD的長(zhǎng)為y，利用圓周率點(diǎn)的定義，得到關(guān)于x與y的關(guān)系式，進(jìn)而得到x=y，故此時(shí)有AC=BD．（3）利用旋轉(zhuǎn)一周即為圓的周長(zhǎng)，得到C點(diǎn)表示的數(shù)，假設(shè)M點(diǎn)離O點(diǎn)最近，設(shè)OM=z，利用圓周率點(diǎn)及題（2）的結(jié)論，求出OM=CN=1，最后求出MN的長(zhǎng)度即可．（4）設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為m，根據(jù)條件分四類情況：CD=πOD，OD=πCD，OC=πCD，CD=πOC，進(jìn)行分類討論，設(shè)出對(duì)應(yīng)的方程進(jìn)行求解m的值．【解題過(guò)程】解：（1）∵AC=2,BC=πAC，∴BC=2π，∴AB=AC+BC=2+2π．（2）∵點(diǎn)D、C都是線段AB的圓周率點(diǎn)且不重合，∴AD=πBD，BC=πAC．∴設(shè)AC=x，BD=y，則有BC=πx，AD=πy，∵AB=AC+BC=AD+BD，∴x+πx=y+πy，∴x=y，∴AC=BD=2．（3）由題意可知：C點(diǎn)表示的數(shù)是π+1∵M(jìn)、N均為線段OC的圓周率點(diǎn)，∴不妨設(shè)M點(diǎn)里O點(diǎn)近，且OM=z，CM=πz，∴z+πz=π+1，解得z=1，∴OM=1，CM=π，OC=π+1，由（2）可知：OM=CN=1∴MN=OC?OM?CN=π?1．（4）解：設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為m，根據(jù)題意可知，共分為四種情況．①若CD=πOD，則有π+1?m=πm，解得m=1．②若OD=πCD，則有m=π(π+1?m)，解得m=π．③若OC=πCD，則有π+1=π(m?π?1)，解得m=π+1④若CD=πOC，則有m?(π+1)=π(π+1)，解得m=π綜上所述，點(diǎn)D表示的數(shù)是1或π或π+1π+212．（2023·安徽蚌埠·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A,B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b，且a,b滿足|a+2|+(b?5)（1）點(diǎn)A表示的數(shù)是___________，點(diǎn)B表示的數(shù)是____________．（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度向右運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且Q點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，P,Q第一次相距3個(gè)單位長(zhǎng)度？（3）在（2）的條件下整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，若AP的中點(diǎn)為M,BQ的中點(diǎn)為N，當(dāng)t為何值時(shí)，BM+AN=3PB？【思路點(diǎn)撥】（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5；（2）求出AB＝7，設(shè)經(jīng)過(guò)x秒時(shí)，P、Q第一次相距3個(gè)單位長(zhǎng)度，則AP＝3x，BQ＝x，可列方程7﹣3x﹣x＝3，解方程即可；（3）由題意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中點(diǎn)的定義得AM＝12AP＝32t，BN＝12BQ＝12t，對(duì)P、M、B三點(diǎn)的位置分類討論，用含t的式子表示【解題過(guò)程】解：（1）∵a,b滿足|a+2|+(b?5)∴a+2＝0，b﹣5＝0，∴a＝﹣2，b＝5，即點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣2，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)是5；故答案為：﹣2，5；（2）AB＝5﹣（﹣2）＝7，設(shè)經(jīng)過(guò)x秒時(shí)，P、Q第一次相距3個(gè)單位長(zhǎng)度，則AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ，列方程得，7﹣3x﹣x＝3，解得：x＝1，答：經(jīng)過(guò)1秒時(shí)，P、Q第一次相距3個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）由題意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t，∵AP的中點(diǎn)為M，BQ的中點(diǎn)為N，∴AM＝12AP＝32t，BN＝12BQ＝如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、M都在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，BM＝AB﹣AM＝7﹣32t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣12∵BM+AN＝3PB，∴7﹣32t+7﹣12t＝3（7﹣3解得：t＝1；如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，BM＝AB﹣AM＝7﹣32t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣12∵BM+AN＝3PB，∴7﹣32t+7﹣12t＝3（3解得：t＝3511③如圖3，當(dāng)點(diǎn)P、M都在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，BM＝AM﹣AB＝32t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣12∵BM+AN＝3PB，∴32t﹣7+7﹣12t＝3（3解得：t＝218綜上所述，當(dāng)t為1秒或3511秒時(shí)，BM+AN＝3PB13．（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知線段AB，延長(zhǎng)線段BA至C，使CB＝43AB（1）請(qǐng)根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整．直接寫(xiě)出ACAB（2）設(shè)AB＝9cm，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)．①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，求ADCE②在點(diǎn)D，E沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，M，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C恰好為線段BD的三等分點(diǎn)時(shí)，求MN的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)線段的和差倍分關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，表示出線段長(zhǎng)即可得到結(jié)論；②分BD=3CD和BD=3CB兩種情況，根據(jù)三等分點(diǎn)求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求出MD、NB的長(zhǎng)即可．【解題過(guò)程】解：（1）圖形補(bǔ)充完整如圖，∵CB＝43AB∴CA＝BC?AB=1ACAB故答案為：13（2）①AB＝9cm，由（1）得，CA=13AB=3DA=(9?3t)cm，CE=(3?t)cm，ADCE②當(dāng)BD=3CD時(shí)，∵AB＝9cm，CA=3cm，∴CB=2CD=12cm，∴CD=6cm，BD=3CD=18cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：18÷3=6（秒），則AE=6cm，BE=BA+AE=15cm，ED=BD?BE=3cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．∴DM=1.5cm，BN=4.5cm，MN=BD?DM?BN=12cm，當(dāng)BD=3CB時(shí)，∵AB＝9cm，CA=3cm，∴CB=12cm，∴BD=3CB=36cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：36÷3=12（秒），則AE=12cm，BE=BA+AE=21cm，ED=BD?BE=15cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．∴DM=7.5cm，BN=4.5cm，MN=BD?DM?BN=24cm，綜上，MN的長(zhǎng)是12cm或24cm．14．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是?12、b、c，且b、c滿足(b?9)2+c?20=0，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1個(gè)單位/秒速度向左運(yùn)動(dòng)，O、B兩點(diǎn)之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，之后立刻恢復(fù)原速，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的（1）b=____，c=____，A、C兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)___個(gè)單位；（2）①若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，求t的值；②當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，求相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）當(dāng)t=___時(shí)，P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)b?92（2）①點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C可得當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，點(diǎn)P在OB上時(shí)及點(diǎn)P在BC上時(shí)，然后分別求出時(shí)間，進(jìn)而問(wèn)題可求解；②由題意易得當(dāng)點(diǎn)C到達(dá)變速點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P所運(yùn)動(dòng)到的位置可求，然后再根據(jù)相遇問(wèn)題進(jìn)行求解，最后在利用數(shù)軸求解即可；（3）由（1）（2）及題意可分：①當(dāng)0<t≤6時(shí)，②當(dāng)6<t≤11時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)Q的速度變?yōu)?單位/秒時(shí)，即11<t≤14，④當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)P都過(guò)了“變速區(qū)”，即t>15，然后根據(jù)數(shù)軸兩點(diǎn)距離及線段的和差關(guān)系進(jìn)行列方程求解即可．【解題過(guò)程】解：（1）∵b?92∴b?9=0,c?20=0，∴b=9,c=20，∴A、C兩點(diǎn)距離為：20??12故答案為9，20，32；（2）①由題意可分：當(dāng)點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到O和從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，所需時(shí)間為：12+11÷2=點(diǎn)P從點(diǎn)O到點(diǎn)B屬于變速區(qū)，所以速度為2÷2=1單位/秒，此時(shí)所需時(shí)間為9÷1=9s，∴點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)C的時(shí)間為：232②當(dāng)點(diǎn)C到達(dá)變速點(diǎn)B時(shí)，所需時(shí)間為11÷1=11s，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為：12+11?6∴4÷1+3∴5+1×1=6，∴相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為6；（3）由（1）（2）及題意可分：①當(dāng)0<t≤6時(shí)，如圖所示：則有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t，∵BP=BQ，∴21?2t=11?t，解得：t=10（不符合題意，舍去）；②當(dāng)6<t≤11時(shí)，如圖所示：∵點(diǎn)P的速度為1單位/秒，Q速度不變，∴PB=21?12+∵PB=BQ，∴15?t=11?t，方程無(wú)解；③當(dāng)點(diǎn)Q的速度變?yōu)?單位/秒時(shí)，即11<t≤14，如圖所示：∴PB=15-t，BQ=CQ?CB=BQ=3t?11∵PB=BQ，∴15?t=3t?33，解得t=12，④當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)P都過(guò)了“變速區(qū)”，即t>15，如圖所示：∴PB=2t?15=2t?30，∵PB=BQ，∴2t?30=t?5，解得：t=25；綜上所述：當(dāng)t=12或25時(shí)，點(diǎn)P、Q到點(diǎn)B的距離相等；故答案為12或25．15．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線l上有A，B兩點(diǎn)，AB＝12cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA＝2OB．（1）則OA＝cm，OB＝cm；（2）若點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、B重合），且滿足AC＝CO+CB，求CO的長(zhǎng)；（3）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為2cm/s．點(diǎn)Q的速度為1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（其中t≥0）．①若把直線l看作以O(shè)為原點(diǎn)，向右為正方向的一條數(shù)軸，則t（s）后，P點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為；此時(shí)，Q點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為．（用含t的代數(shù)式表示）②求當(dāng)t為何值時(shí)，2OP﹣OQ＝4（cm）．【思路點(diǎn)撥】（1）由于AB＝12cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA＝2OB，則OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；（2）根據(jù)圖形可知，點(diǎn)C是線段AO上的一點(diǎn)，可設(shè)C點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為x，分兩種情況：①點(diǎn)C在線段OA上時(shí)；②點(diǎn)C在線段OB上時(shí)，根據(jù)AC＝CO+CB，列出方程求解即可；（3）①根據(jù)路程＝速度×?xí)r間即可求解；②分兩種情況：0＜t＜4（P在O的左側(cè)）；4≤t≤12（P在O的右側(cè)）；進(jìn)行討論求解即可．【解題過(guò)程】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，∴OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），解得OB＝4，OA＝2OB＝8（cm）．故答案為：8，4；（2）設(shè)C點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為x，分兩種情況：①點(diǎn)C在線段OA上時(shí)，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝﹣x+4﹣x，3x＝﹣4，解得x＝﹣43②點(diǎn)C在線段OB上時(shí)，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝4，解得x＝﹣4（不符合題意，舍）．故CO的長(zhǎng)是43cm（3）①t（s）后，P點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為﹣8+2t；此時(shí)，Q點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為4+t．故答案為：﹣8+2t，4+t；②0＜t＜4（P在O的左側(cè)），OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，則2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，解得t＝1.6；4≤t≤12（P在O的右側(cè)），OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，則2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，解得t＝8．綜上所述，t＝1.6或8時(shí)，2OP﹣OQ＝4cm．16．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（理解新知）如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“奇妙點(diǎn)”，（1）線段的中點(diǎn)這條線段的“奇妙點(diǎn)”（填“是”或“不是”）（2）（初步應(yīng)用）如圖②，若CD=24cm，點(diǎn)N是線段CD的“奇妙點(diǎn)”，則CN=cm（3）（解決問(wèn)題）如圖③，已知AB=24cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以3cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t，請(qǐng)求出為何值時(shí)，A、P、【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)平分線段長(zhǎng)的性質(zhì)，以及題目中所給的“奇妙點(diǎn)”的定義，進(jìn)行判斷即可．（2）由“奇妙點(diǎn)”定義，此題分為三種情況，情況1：CN=CD2，即N為CD的中點(diǎn)；情況2：CN=DN2，即N為靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)；情況3：DN=CN2，即（3）由題意可知，A不可能是“奇妙點(diǎn)”，故此題分兩大類情況，情況1：當(dāng)P、Q未相遇之前，P是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，根據(jù)第（2）題的思路，又可以分為3種情況，根據(jù)每種情況，利用線段長(zhǎng)度關(guān)系列方程，分別求出對(duì)應(yīng)時(shí)間；情況2：當(dāng)P、Q相遇之后，Q是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，同樣根據(jù)第（2）題的思路，又分成3種情況討論，利用線段長(zhǎng)度關(guān)系列方程，求出每種情況對(duì)應(yīng)的時(shí)間．【解題過(guò)程】解：（1）由線段中點(diǎn)的性質(zhì)可知：被中點(diǎn)平分的兩條線段長(zhǎng)度是線段總長(zhǎng)的一半，根據(jù)“奇妙點(diǎn)”定義可知：線段的中點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”．故答案是：是；（2）∵N是線段CD的“奇妙點(diǎn)”∴根據(jù)定義，此題共分為三種情況．當(dāng)CN=CD2，即N為CD的中點(diǎn)時(shí)，有CN當(dāng)CN=DN2，即N為靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，有CN當(dāng)DN=CN2，即N為靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，有CN故答案為：8或12或16．（3）解：由題意可知，A點(diǎn)不可能是“奇妙點(diǎn)”，故P或Q點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”．∵AB=24cm∴t秒后，AP=2t，AQ=24?3t．當(dāng)P點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，PQ=AQ?AP=24?5t．由“奇妙點(diǎn)”定義可分三種情況．當(dāng)AP=AQ2時(shí)，有2t=24?3t當(dāng)AP=PQ2時(shí)，有2t=24?5t當(dāng)PQ=AP2時(shí)，有24?5t=2t當(dāng)Q點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，PQ=AP?AQ=5t?24．當(dāng)AQ=AP2時(shí)，有24?3t=2t當(dāng)AQ=PQ2時(shí)，有24?3t=5t?24當(dāng)PQ=AQ2時(shí)，有5t?24=24?3t綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P為AQ的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，t=83或4或當(dāng)點(diǎn)Q為AP的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，t=7213或6或17．（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）已知：如圖1，M是定長(zhǎng)線段AB上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）(1)若AB＝11cm，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了1s，求AC+MD的值．(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點(diǎn)，且AN﹣BN＝MN，求2MN3【思路點(diǎn)撥】（1）計(jì)算出CM和BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出答案；（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC結(jié)合（1）問(wèn)便可解答；（3）由AN＞BN，分兩種情況討論：①點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，②點(diǎn)N在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)；結(jié)合圖形計(jì)算出線段的長(zhǎng)度關(guān)系即可求解；【解題過(guò)程】解：（1）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了1s時(shí)，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=13故答案為：13（3）解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝14AB①當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝14AB∴MN＝12AB，即2MN3AB②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB，∴MNAB=1,即2MN3AB綜上所述2MN3AB＝118．（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，線段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，點(diǎn)P以0.5cm/s的速度從點(diǎn)A沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q以1cm/s從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上做來(lái)回往返運(yùn)動(dòng)（即沿C→B→C→B→…運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P、Q都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t＝1時(shí)，PQ＝cm；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)C為線段PQ的中點(diǎn)？(3)若點(diǎn)M是線段CQ的中點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)間段，使PM的長(zhǎng)度保持不變？如果存在，求出PM的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意可求出AC的長(zhǎng)，AP和CQ的長(zhǎng)，再由PQ=AC+CQ?AP即可求出PQ的長(zhǎng)；（2）由題意可得出t的取值范圍，再根據(jù)點(diǎn)C在線段CB上做來(lái)回往返運(yùn)動(dòng)，可分類討論①當(dāng)Q由C往B第一次運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤2時(shí)，分別用t表示出CP和CQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，列出等式，求出t的值即可；②當(dāng)Q由B往C點(diǎn)第一次返回時(shí)，即2<t≤4時(shí)，同理求出t的值即可；③當(dāng)Q由C往B第二次運(yùn)動(dòng)時(shí)，即4<t≤6時(shí)，同理求出t的值即可．最后舍去不合題意的t的值即可．（3）同理（2）可分類討論①當(dāng)Q由C往B第一次運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤2時(shí)，分別用t表示出CP和CM的長(zhǎng)度，再根據(jù)PM=CP+CM，求出PM即可；②當(dāng)Q由B往C點(diǎn)第一次返回時(shí)，即2<t≤4時(shí)，同理求出PM即可；③當(dāng)Q由C往B第二次運(yùn)動(dòng)時(shí)，即4<t≤6時(shí)，同理求出PM即可．最后根據(jù)判斷所求PM的代數(shù)式中是否含t即可判斷．【解題過(guò)程】解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，AP=0.5×1=0.5cm，∵AB=5cm，∴AC=3∴PQ=AC+CQ?AP=3+1?0.5=2.5cm故答案為：2.5．（2）∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P、Q都停止運(yùn)動(dòng)，∴0≤t≤3∵AB=5cm，∴BC=2①當(dāng)Q由C往B第一次運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤2此時(shí)AP=0.5tcm，CQ=t∴CP=AC?AP=(3?0.5t)cm∵點(diǎn)C為線段PQ的中點(diǎn)，∴CP=CQ，即3?0.5t=t，解得：t=2；②當(dāng)Q由B往C點(diǎn)第一次返回時(shí)，即2<t≤4此時(shí)CP=(3?0.5t)cm，CQ=(4?t)∴3?0.5t=4?t，解得：t=2，不符合題意舍；③當(dāng)Q由C往B第二次運(yùn)動(dòng)時(shí)，即4<t≤6時(shí)，此時(shí)CP=(3?0.5t)cm，CQ=(t?4)∴3?0.5t=t?4，解得：t=14綜上可知，t為2或143時(shí)，點(diǎn)C為線段PQ（3）根據(jù)（2）可知0≤t≤6．∵點(diǎn)M是線段CQ的中點(diǎn)，∴CM=QM．①當(dāng)Q由C往B第一次運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤2時(shí)，此時(shí)CP=(3?0.5t)cm，CM=∵PM=CP+CM，∴PM=3?0.5t+1∴此時(shí)PM為定值，長(zhǎng)度為3cm，符合題意．②當(dāng)Q由B往C點(diǎn)第一次返回時(shí)，即2<t≤4時(shí)，此時(shí)CP=(3?0.5t)cm，CM=∴PM=3?0.5t+2?1∴此時(shí)PM的長(zhǎng)度，隨時(shí)間的變化而變化，不符合題意；③當(dāng)Q由C往B第二次運(yùn)動(dòng)時(shí)，即4<t≤6時(shí)，此時(shí)CP=(3?0.5t)cm，CM=∴PM=3?0.5t+1∴此時(shí)PM為定值，長(zhǎng)度為1cm，符合題意．綜上可知PM的長(zhǎng)度為3cm或1cm．19．（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)C在線段AB上，BC＝2AC．(1)如圖1，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)從C，B出發(fā)，分別以1cm/s，2cm/s的速度沿直線AB①在P還未到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，APCQ的值為②當(dāng)Q在P右側(cè)時(shí)(點(diǎn)Q與C不重合)，取PQ中點(diǎn)M，CQ的中點(diǎn)是N，求MNQB(2)若D是直線AB上一點(diǎn)，且AD?BD=12CD．則【思路點(diǎn)撥】（1）由線段的和差關(guān)系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；（2）設(shè)AC=x，則BC=2x，∴AB=3x，D點(diǎn)分四種位置進(jìn)行討論，①當(dāng)D在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，②當(dāng)D在AC之間時(shí)，③當(dāng)D在BC之間時(shí)