能量與動量機械能守恒定律的應用講義

機械能守恒定律的應用編審教師：市級骨干教師繆祥禹本專題主要考查機械能守恒定律的理解以及應用，高考中常以利用機械能守恒定律解決單體和多體系統(tǒng)問題為主，同時結合輕彈簧、輕繩、輕桿進行綜合性考查，有時也會涉及到非質點模型的機械能守恒的應用，主要考查學生的分析推理能力以及綜合應用能力。單個物體機械能守恒的應用（2021.黑龍江.月考）如圖所示，粗細均勻、兩端開口的U形管內裝有同種液體，開始時兩邊液柱高度差為h，管中液柱總長度為4h，后來打開閥門讓液體自由流動，不計液體產生的摩擦阻力，當兩邊液柱高度相等時，右側液柱下降的速度為（）A． B． C． D．關鍵信息：不計液體產生的摩擦阻力→滿足機械能守恒兩邊液柱高度差為h，管中液柱總長度為4h→確定重力勢能的改變量解題思路：利用等效的方法確定液體減小的重力勢能，然后利用機械能守恒，即系統(tǒng)減小的重力勢能與系統(tǒng)增加的動能相等進行解答。設管的橫截面積為S，液體的密度為ρ，打開閥門后，液體開始運動，不計液體產生的摩擦阻力，液體機械能守恒。兩邊液柱相平時，相當于右管高的液柱移到左管中，重心下降的高度為，即右管高的液柱下降減少的重力勢能轉化為全部液體的動能，由機械能守恒定律得：＝，解得v＝，故A正確。（2022·浙江·月考）如圖所示，MN為光滑的水平面，NO是一長度S＝1.25m、傾角為θ＝37°的光滑斜面（斜面體固定不動），OP為一粗糙的水平面。MN、NO間及NO、OP間用一小段光滑圓弧軌道相連。一條質量為m＝2kg，總長L＝0.8m的均勻柔軟鏈條開始時靜止的放在MNO面上，其AB段長度為L1＝0.4m，鏈條與OP面的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），現(xiàn)自由釋放鏈條，求：（1）鏈條的A端滑到O點時，鏈條的速率為多大？（2）鏈條在水平面OP停下時，其C端離O點的距離為多大？（1）鏈條的A端滑到O點的過程中，因為只有重力做功，所以機械能守恒。設水平面為重力勢能的零點。鏈條開始運動時的機械能為E1，AB段鏈條質量為m1＝1.0kg，BC段鏈條質量為m2＝1.0kg。E1＝m2gSsinθ＋m1g(Ssinθ?sinθ)因為S＞L，鏈條的A端滑到O點時，C點已在斜面上，設此時的機械能為E2，E2＝mgsinθ＋mv2由機械能守恒定律E1＝E2，代入數(shù)據(jù)得：v＝3m/s（2）根據(jù)題意，鏈條開始進入水平面階段，摩擦力是變力。但摩擦力隨距離均勻增大，可以用平均摩擦力求摩擦力做功，從鏈條的A端滑到O點到最終鏈條停下的過程，設鏈條在水平面OP停下時，其C端離O點的距離x，由動能定理得：mgsinθ?μmgL?μmgx＝0?mv2解得：x＝0.98m。1．應用機械能守恒定律的注意事項：（1）應用機械能守恒定律時，需要先對研究對象在所研究的過程中機械能是否守恒做出判斷。（2）列方程時，選取的角度不同，表達式也會不同，對參考平面的選取要求也不一定相同。（3）在處理單個物體機械能守恒問題時通常應用守恒觀點和轉化觀點，轉化觀點不用選取零勢能面。2．非質點模型機械能守恒的處理：（1）像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中往往將發(fā)生形變，其重心位置相對物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再看成質點來處理。（2）即使不能看成質點來處理，但若只有重力做功，則物體整體機械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定形狀規(guī)則、質量分布均勻的物體各部分的重心位置，根據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢能的變化列式求解。一般情況下物體各部分速度大小相同，動能可以用表示。多物體系統(tǒng)機械能守恒的應用（2022·福建·月考）如圖所示，滑塊2套在光滑的豎直桿上并通過細繩繞過光滑定滑輪連接物塊1，物塊1又與一輕質彈簧連接在一起，輕質彈簧另一端固定在地面上。開始時用手托住滑塊2，使繩子剛好伸直處于水平位置但無張力，此時彈簧的壓縮量為d?，F(xiàn)將滑塊2從A處由靜止釋放，經過B處的速度最大，到達C處的速度為零，此時物塊1還沒有到達滑輪位置。已知滑輪與桿的水平距離為3d，AC間距離為4d，不計滑輪質量、大小及摩擦。下列說法中正確的是（）A．滑塊2下滑過程中，機械能先增大后減小B．滑塊2經過B處時的加速度不等于零C．物塊1和滑塊2的質量之比為2∶1D．若滑塊2質量增加一倍，其它條件不變，仍讓滑塊2由A處從靜止滑到C處，滑塊2到達C處時，物塊1和滑塊2的速度之比為5∶4關鍵信息：光滑的豎直桿、不計滑輪質量、大小及摩擦→整個系統(tǒng)滿足機械能守恒已知滑輪與桿的水平距離為3d，AC間距離為4d→確定物塊1上升的高度以及彈簧對物塊1和系統(tǒng)的做功情況滑塊2經過B處的速度最大→加速度為零滑塊2套在光滑的豎直桿上并通過細繩繞過光滑定滑輪連接物塊1→存在速度關聯(lián)，物塊1與滑塊2沿繩子方向上的速度相等解題思路：根據(jù)功能關系對滑塊2進行做功分析，確定滑塊2的機械能變化情況；再根據(jù)牛頓運動定律分析滑塊2的受力情況，確定滑塊2的加速度變化情況；利用系統(tǒng)機械能守恒定律處理物塊1、滑塊2以及彈簧構成的系統(tǒng)，確定物塊1和滑塊2的質量關系；利用速度關聯(lián)問題中的速度關系，分析物塊1和滑塊2的速度關系。AB．對滑塊2下滑過程中進行分析，繩子拉力一直對滑塊2做負功，所以滑塊2的機械能一直減??；滑塊2下滑過程中經過B處時速度最大，根據(jù)牛頓第二定律可得加速度為0，所以A、B錯誤。C．對物塊1靜止時分析，彈簧壓縮量為x1＝d；當2下滑到C點時，根據(jù)幾何關系，物塊1上升的高度為：?＝?3d＝2d，則當物體2到達C時彈簧伸長的長度為d，此時彈簧的彈性勢能等于物體1靜止時的彈性勢能，對于物塊1、滑塊2及彈簧組成的系統(tǒng)，由機械能守恒定律應有：m1g?2d＝m2g?4d，得m1∶m2＝2∶1，故C正確。D．設繩子與豎直桿之間的夾角為θ，根據(jù)物塊1和2沿繩子方向的分速度大小相等，則得v2cosθ＝v1，其中cosθ＝，則得滑塊2到達C處時，物塊1和滑塊2的速度之比v1∶v2＝4∶5，故D錯誤。故選：C。（2022·遼寧·月考）質量不計的直角形支架兩端分別連接質量為2m的小球A和質量為3m的小球B。支架的兩直角邊長度分別為2L和L，支架可繞固定軸O在豎直平面內無摩擦轉動，如圖所示。開始時OA邊處于水平位置，取此時OA所在水平面為零勢能面，現(xiàn)將小球A由靜止釋放，求：（1）小球A到達最低點時，整個系統(tǒng)的總機械能E；（2）小球A到達最低點時的速度大小vA；（3）當OA直角邊與水平方向的夾角θ為多大時，小球A的速度達到最大？并求出小球A的最大速度v。（1）由題意得，小球A從靜止至到達最低點的過程中，兩球組成的系統(tǒng)機械能守恒，則小球A到達最低點時，整個系統(tǒng)的總機械能為：E＝Ep初＝?3mgL（2）小球A從靜止至到達最低點的過程中，根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒可得：?3mgL＝?2mg·2L＋＋由題意得兩球的角速度相同，由v＝ωr知A、B兩球的線速度之比為vA∶vB＝2L∶L＝2∶1聯(lián)立解得：vA＝（3）當OA直角邊與水平方向的夾角為θ時，由系統(tǒng)機械能守恒可得：?3mgL＝?2mg·2Lsinθ?3mg·Lcosθ＋＋結合vA∶vB＝2∶1解得：＝gL(4sinθ＋3cosθ)?gL＝gLsin(θ＋α)?gL其中tanα＝，α＝37°，根據(jù)數(shù)學知識可知，當θ＝53°時，有最大值，解得小球A的速度最大值為：v＝1．輕繩連接：（1）分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。（2）用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。（3）對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統(tǒng)，機械能則可能守恒。2．輕桿連接（1）用桿連接的兩個物體，其線速度大小一般有以下兩種情況：a．若兩物體繞某一固定點做圓周運動，根據(jù)角速度ω相等確定線速度v的大小。b．“關聯(lián)速度法”：兩物體沿桿方向速度大小相等。（2）桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。（3）對于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻