機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波光電磁波機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波的綜合問題講義

機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波的綜合問題編審教師：高級(jí)教師白英彬本專題在高考中主要考查簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、波動(dòng)圖像和振動(dòng)圖像以及波的多解等問題。其中對(duì)于波動(dòng)圖像和振動(dòng)圖像的考查較多，常以兩圖像的相互轉(zhuǎn)化、波的傳播方向和質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向的相互判斷、結(jié)合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)考查波的疊加等形式出題。近年來的命題形式常常結(jié)合情境出題、出題形式變化新穎，主要考查學(xué)生的理解能力和模型建構(gòu)能力，考頻較高。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（2022·浙江歷年真題）如圖所示，一根固定在墻上的水平光滑桿，兩端分別固定著相同的輕彈簧，兩彈簧自由端相距x。套在桿上的小球從中點(diǎn)以初速度v向右運(yùn)動(dòng)，小球?qū)⒆鲋芷跒門的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，則（）A．小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)B．小球動(dòng)能的變化周期為C．兩根彈簧的總彈性勢(shì)能的變化周期為TD．小球的初速度為時(shí)，其運(yùn)動(dòng)周期為2T關(guān)鍵信息：水平光滑桿→未與彈簧接觸時(shí)小球做勻速直線運(yùn)行，與彈簧接觸時(shí)小球只受彈簧的彈力小球?qū)⒆鲋芷跒門的往復(fù)運(yùn)動(dòng)→從出發(fā)到壓縮右側(cè)彈簧，然后回到出發(fā)點(diǎn)，再向左壓縮左邊彈簧，最后又回到出發(fā)點(diǎn)所用時(shí)間為T解題思路：由于水平桿光滑，小球未接觸彈簧或是與彈簧分離后均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，接觸彈簧后由于只受彈簧彈力，做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，所以接觸彈簧前的速度和離開彈簧的速度都為v。設(shè)桿中點(diǎn)位置記為O點(diǎn)，小球運(yùn)動(dòng)到最左、右端的位置為分別記為A點(diǎn)和B點(diǎn)，如圖，A．小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件是所受回復(fù)力與位移成正比，且方向始終指向平衡位置。由于桿光滑，所以小球在桿中點(diǎn)到接觸彈簧的過程中，所受合力為零，故小球不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，A錯(cuò)誤；BC．小球做周期T內(nèi)的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)過程為：O—B—O—A—O，由對(duì)稱性可知O—B—O和O—A—O，這兩過程的動(dòng)能變化完全一致，兩根彈簧的總彈性勢(shì)能的變化完全一致，故小球動(dòng)能的變化周期為，兩根彈簧的總彈性勢(shì)能的變化周期為，B正確、C錯(cuò)誤；D．當(dāng)小球的初速度變?yōu)闀r(shí)，勻速運(yùn)動(dòng)階段的時(shí)間變?yōu)樵瓉淼膬杀?；但是小球與彈簧接觸后做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T0＝2π（m為小球質(zhì)量，k為彈簧的勁度系數(shù)）卻是不變的，這樣小球做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期小于2T，D錯(cuò)誤；故選B。（智學(xué)精選）下端附著重物的粗細(xì)均勻木棒，豎直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿豎直方向做頻率為1Hz的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：與此同時(shí)，木棒在水平方向上隨河水做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖（a）所示。以木棒所受浮力F為縱軸，木棒水平位移x為橫軸建立直角坐標(biāo)系，浮力F隨水平位移x的變化如圖（b）所示。已知河水密度為ρ，木棒橫截面積為S，重力加速度大小為g。下列說法錯(cuò)誤的是（）A．x從0.05m到0.15m的過程中，木棒的動(dòng)能先增大后減小B．x從0.21m到0.25m的過程中，木棒加速度方向豎直向下，大小逐漸變小C．木棒在豎直方向做簡(jiǎn)譜運(yùn)動(dòng)的振幅為D．木棒的運(yùn)動(dòng)為向xA．由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，0.1m、0.3m、0.5m時(shí)木棒處于平衡位置；則x從0.05m到0.15m的過程中，木棒從平衡位置下方向上移動(dòng)，經(jīng)平衡位置后到達(dá)平衡位置上方，速度先增大后減小，所以動(dòng)能先增大后減小，A正確；B．x從0.21m到0.25m的過程中，木棒從平衡位置上方靠近最大位移處向下運(yùn)動(dòng)（未到平衡位置），加速度豎直向下，大小減小，B正確；C．設(shè)木棒在平衡位置處浸沒的深度為h，振幅為A，浮力最大時(shí)，有：F1＝ρgS(A＋h)，浮力最小時(shí)，有：F2＝ρgS(h－A)，聯(lián)立解得：A＝，故C正確；D．木棒上各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)靜止隨木棒一起運(yùn)動(dòng)，不能看成向x軸正方向傳播的機(jī)械橫波，D錯(cuò)誤。選擇錯(cuò)誤的選項(xiàng)，故選D。①簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件：F＝－kx；②簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱條件：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩位置時(shí)，物體的位移、回復(fù)力、加速度、動(dòng)能、勢(shì)能、速度、動(dòng)量等均是大小相等的（位移、回復(fù)力、加速度的方向相反，速度、動(dòng)量的方向不確定）；③彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式：T＝；④簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中動(dòng)能和勢(shì)能在發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但系統(tǒng)機(jī)械能的總量保持不變，即系統(tǒng)機(jī)械能守恒；簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量由勁度系數(shù)和振幅決定，勁度系數(shù)越大，振幅越大，振動(dòng)的能量越大。波動(dòng)圖像與振動(dòng)圖像（2020·北京歷年真題）一列簡(jiǎn)諧橫波t＝0時(shí)刻的波動(dòng)圖像如圖1所示，介質(zhì)中x＝2m處的P質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像如圖2表示。以下說法正確的是（）B．該波沿x軸的正方向傳播C．t＝0.2s時(shí)，P點(diǎn)的位移為－5cmD．t＝0.4s時(shí)，P點(diǎn)在平衡位置沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)關(guān)鍵信息：圖1為t＝0時(shí)刻的波動(dòng)圖像→波長λ＝4m圖2為x＝2m處的P質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像→eq\o\ac(○,1)振動(dòng)周期T＝0.8s（注意：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期與波的傳播周期相同）eq\o\ac(○,2)t＝0時(shí)刻，振動(dòng)方向向上解題思路：從波的圖像與振動(dòng)圖像分別讀出波長λ和周期T，利用v＝即可得到波速；通過振動(dòng)圖像得到P質(zhì)點(diǎn)在t＝0時(shí)刻的振動(dòng)情況，然后在波動(dòng)圖中的P質(zhì)點(diǎn)用“同側(cè)法”即可判斷波的傳播方向，靈活應(yīng)用波的傳播方向與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)關(guān)系是解題的核心。A、由圖1可知波長λ＝4m，由圖2可知周期T＝0.8s，則波速為v＝＝m/s＝5m/s，故A錯(cuò)誤；B、由圖2可知，質(zhì)點(diǎn)P在t＝0時(shí)刻沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，根據(jù)“同側(cè)法”可得該波沿x軸的正方向傳播，故B正確；C、由圖2可知t＝0.2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P在正的最大位移處，位移為5cm，故C錯(cuò)誤；D、由圖2知t＝0.4s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P的位移為零，正通過平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，故D錯(cuò)誤。故選：B。（2022山東模擬）一列沿x軸傳播的簡(jiǎn)諧橫波在t＝0時(shí)刻的波形如圖甲所示，圖乙是位于x＝1m的質(zhì)點(diǎn)N此后的a－t圖像，Q是位于x＝10m處的質(zhì)點(diǎn)。則下列說法正確的是（）A．波沿x軸正方向傳播，波源的起振方向向下B．在5～5.5s時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)M的速度在增大，加速度在減小C．在t＝12s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)Q的位置坐標(biāo)為（10m，－8cm）D．在t＝7s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)Q開始向下振動(dòng)由圖乙可知0時(shí)刻之后質(zhì)點(diǎn)N的加速度先為正方向，所以質(zhì)點(diǎn)N先向下振動(dòng)，則由a－t圖像即可畫出質(zhì)點(diǎn)N的振動(dòng)圖像，如下A．由振動(dòng)圖像可知t＝0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)N向下振動(dòng)，在波形圖中的質(zhì)點(diǎn)N處使用“同側(cè)法”即可得到波沿x軸正方向傳播。由圖甲可知t＝0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)M開始起振，由“同側(cè)法”可知其向上的振動(dòng)，即波源的起振方向向上。故A錯(cuò)誤；B．t＝0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)M開始向上起振，由圖乙可知T＝4s，5～T，小于T，故此時(shí)質(zhì)點(diǎn)M正處于x軸上方且正向平衡位置運(yùn)動(dòng)，所以其速度在增大，加速度在減小，故B正確；CD．波的傳播速度為v＝＝m/s＝1m/s，波從質(zhì)點(diǎn)M處傳播到質(zhì)點(diǎn)Q處所需要的的時(shí)間t＝＝7s，故質(zhì)點(diǎn)Q在t＝7s時(shí)剛開始向上起振，故D錯(cuò)誤。在t＝12s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)時(shí)間t＝(12－7)s＝5s＝，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)Q處于x軸上方最大位移處，即位置坐標(biāo)為（10m，8cm），故C錯(cuò)誤；故選B。波動(dòng)圖像與振動(dòng)圖像的解題方法：1、首先根據(jù)橫縱坐標(biāo)識(shí)別哪個(gè)是波形圖，哪個(gè)是振動(dòng)圖；2、波形圖一般能夠得到波長λ、振幅A，而振動(dòng)圖一般能夠得到周期T、振幅A；3、若求波速可以使用v＝（或v＝）；4、同一質(zhì)點(diǎn)在同一個(gè)時(shí)刻，可根據(jù)振動(dòng)圖像的斜率得到其振動(dòng)方向，與其在波形圖中的波傳播方向位于波形的同一側(cè)。故可用“同側(cè)法”由質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向來判斷波的傳播方向，也可由波的傳播方向來判斷質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向。注意事項(xiàng)：1、振動(dòng)圖像隨著時(shí)間的推移是把波形往后延伸即可，而波形圖像隨著時(shí)間的推移是把波沿傳播方向平移；2、振動(dòng)圖形反映某一個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡位置的位移隨時(shí)間的變化規(guī)律，而波形圖反映的是某一時(shí)刻介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡位置的位移。波的多解問題（2022江蘇模擬）一列簡(jiǎn)諧橫波沿x軸傳播，已知x軸上x1＝1m和x2＝4m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像如圖甲、圖乙所示，則此列波的傳播速度不可能是（）A．0.6m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s關(guān)鍵信息：簡(jiǎn)諧橫波沿x軸傳播→傳播方向未知圖甲、圖乙→t＝0時(shí)刻圖甲在平衡位置、圖乙在波峰解題思路：傳播方向未知，則可能是水平向左傳播，也可能是水平向右傳播，故波在傳播方向上的不確定導(dǎo)致多解；波形周期性的重復(fù)也導(dǎo)致多解。由圖甲可知t＝0時(shí)刻x1＝1m的質(zhì)點(diǎn)在平衡位置，且振動(dòng)方向向上，圖乙在波峰，故當(dāng)該列波向左傳播時(shí)波形圖如下，由于波形周期性的重復(fù)可知1m和4m之間的距離滿足的關(guān)系為3m＝(n＋)λ，則由v＝可得波速為v＝m/s，當(dāng)n＝0時(shí)，可得v＝3m/s；當(dāng)n＝1時(shí)，可得v＝0.6m/s；同理，當(dāng)波向右傳播時(shí)波形圖如下，由于波形周期性的重復(fù)可知1m和4m之間的距離關(guān)系滿足3m＝(n＋)λ，則v＝m/s，當(dāng)n＝0時(shí)，可得v＝1m/s；當(dāng)n＝1時(shí)，可得v＝m/s≈0.4m/s。故ABD正確，C錯(cuò)誤。本題選不可能的，故選C。（2022安徽模擬）甲、乙兩列簡(jiǎn)諧橫波分別沿x軸負(fù)方向和正方向傳播，兩波源分別位于x處和x＝－0.6m處，兩列波的波速大小相等，波源的振幅均為2cm，兩列波在t＝0時(shí)刻的波形如圖所示，此時(shí)平衡位置在x＝－0.2m和x＝0m處的M、N兩質(zhì)點(diǎn)剛要開始振動(dòng)。已知甲波的周期為0.8s，求：（1）乙波傳播到N質(zhì)點(diǎn)所需要的時(shí)間；（2）在0～2.5s時(shí)間內(nèi)，N質(zhì)點(diǎn)沿y軸正方向速度最大的時(shí)刻。（1）甲波的波長為λ甲＝0.8m，甲波的周期為T甲＝0.8s，則波速為：v＝＝1m/s兩波波速大小相等，則乙波傳播到N質(zhì)點(diǎn)所需要的時(shí)間為：Δt＝＝0.2s（2）由題圖可知乙波的波長為λ乙＝0.4m，則乙波的周期為：T乙＝＝0.4s甲波使N質(zhì)點(diǎn)沿y軸正方向速度最大，應(yīng)有：t甲＝(a＋)T甲（a＝0，1，2……）①乙波使N質(zhì)點(diǎn)沿y軸正方向速度最大，應(yīng)有：t乙＝Δt＋(b＋)T乙（b＝0，1，2……）②在0～2.5s時(shí)間內(nèi)，欲使兩列波相遇后N質(zhì)點(diǎn)沿y軸正方向速度最大，則必有t＝t甲＝＝t乙③由①②③可得：b＝2aa、b只能取整數(shù)，可得：a＝0、b＝0時(shí)，t＝0.4s；a＝1、b＝2時(shí)，t＝1.2s；a＝2、b＝4時(shí)，t故在0～2.5s時(shí)間內(nèi)，N質(zhì)點(diǎn)沿y軸正方向速度最大時(shí)刻分別為0.4s、1.2s和2.0s。一、造成波的多解的主要因素：①時(shí)間周期性：相隔周期整數(shù)倍時(shí)間的兩個(gè)時(shí)刻的波形完全相同，時(shí)間間隔Δt與周期T的關(guān)系不明確造成多解；②空間周期性：沿傳播方向上，相隔波長整數(shù)倍距離的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況完全相同，質(zhì)點(diǎn)間距離Δx與波長λ的關(guān)系不明確造成多解；③傳播方向雙向性：在一維情況下，波可以沿x