彈塑性力學(xué)-物理方程

物理方程

應(yīng)力只取決于應(yīng)變狀態(tài)，與達(dá)到該狀態(tài)的過(guò)程無(wú)關(guān)

x=

x(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

y=

y

(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)

…….

zx=

zx

(

x，

y，

z，

xy，

yz，

zx)一般表示對(duì)于線性彈性材料，應(yīng)力與應(yīng)變是線性關(guān)系

x

=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy+c15

yz+c16

zx

y

=c21

x+c22

y+c23

z+c24

xy+c25

yz+c26

zx

z

=c31

x+c32

y+c33

z+c34

xy+c35

yz+c36

zx

xy

=c41

x+c42

y+c43

z+c44

xy+c45

yz+c46

zx

yz

=c51

x+c52

y+c53

z+c54

xy+c55

yz+c56

zx

zx

=c61

x+c62

y+c63

z+c64

xy+c65

yz+c66

zx

系數(shù)cmn共36個(gè)取決于材料彈性性質(zhì)，與坐標(biāo)系選取有關(guān)張量形式表示

ij

=Cijkl

kl

其中Cijkl稱為四階彈性張量，共81個(gè)分量。同樣也取決于坐標(biāo)系，服從四階張量的坐標(biāo)變換定律彈性張量的對(duì)稱性（1）根據(jù)應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的對(duì)稱性

Cijkl=

Cjikl

（2）根據(jù)應(yīng)力張量和應(yīng)變張量的對(duì)稱性

Cijkl=

Cijlk

獨(dú)立的分量也是36個(gè)。

（3）應(yīng)變能存在，則彈性張量關(guān)于ij和kl也應(yīng)對(duì)稱

Cijkl=

Cklij

獨(dú)立的彈性常數(shù)共有21個(gè)兩種表示方式之間的關(guān)系

彈性系數(shù)c的下標(biāo)1、2、3、4、5、6

對(duì)應(yīng)于張量C的指標(biāo)11、22、33、12、23、31

例如：c11＝C1111

c12＝C1122

c13＝C1133

c14＝C1112

彈性系數(shù)cmn也應(yīng)具有對(duì)稱性

cmn＝cnm

材料對(duì)稱性彈性對(duì)稱面該面對(duì)稱的兩個(gè)方向具有相同的彈性關(guān)系

以最后一個(gè)方程為例

zx

反號(hào)，而

x，

y，

z和

xy不變，

c61＝c62＝c63＝c64＝0

x

=c11

x+c12

y+c13

z+c14

xy

y

=c12

x+c22

y+c23

z+c24

xy

z

=c13

x+c23

y+c33

z+c34

xy

xy

=c14

x+c24

y+c34

z+c44

xy

yz

=c55

yz+c56

zx

zx

=c56

yz+c66

zx正交各向異性材料具有三個(gè)相互正交的彈性對(duì)稱面。獨(dú)立彈性常數(shù)減少到9個(gè)

x

=c11

x+c12

y+c13

z

y

=c12

x+c22

y+c23

z

z

=c13

x+c23

y+c33

z

xy

=c44

xy

yz

=c55

yz

zx

=c66

zx

各種增強(qiáng)纖維復(fù)合材料和木材等屬于這類材料橫觀各向同性材料存在一個(gè)彈性對(duì)稱軸，在垂直該軸的平面內(nèi)材料各向同性將x，y軸互換時(shí)，材料彈性關(guān)系不變

c11=c22，c13=c23，c55=c66

將坐標(biāo)系繞z軸旋轉(zhuǎn)450，剪切應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變，c44=(c11

c12)

x=c11

x+c12

y+c13

z

y

=c12

x+c11

y+c13

z

z

=c13

x+c13

y+c33

z

xy

=(c11

c12)

xy

yz

=c55

yz

zx

=c55

zx

獨(dú)立的彈性常數(shù)減少到5個(gè)。例如：層狀結(jié)構(gòu)的巖體。各向同性彈性體廣義Hooke定律將x軸與z軸互換，或?qū)軸與z軸互換時(shí)，材料彈性關(guān)系不變，

c11=c33，c12=c13，c55=c66=(c11

c12)

于是，獨(dú)立的彈性常數(shù)減少到2個(gè)

x

=c11

x+c12

y+c12

z

y

=c12

x+c11

y+c12

z

z

=c12

x+c12

y+c11

z

xy

=(c11

c12)

xy

yz

=(c11

c12)

yz

zx

=(c11

c12)

zx令

c12=

，c11

c12=2G

、G稱為L(zhǎng)ame彈性常數(shù)

x=2G

x

+

xy=G

xy

y=2G

y

+

yz=G

yz

z=2G

z

+

zx=G

zx

=

x

+

y

+

z

是體積應(yīng)變廣義Hooke定律的張量形式

ij=

kk

ij+2G

ij

ij

=Cijkl

kl

Cijkl=

ij

kl+G(

ik

jl+

il

jk)

式中

ij是二階單位張量某個(gè)面上的剪切應(yīng)力為零時(shí)，剪應(yīng)變也為零應(yīng)力的主方向與應(yīng)變的主方向重合體積應(yīng)力與體積應(yīng)變關(guān)系將等式對(duì)應(yīng)相加，可得平均應(yīng)力與體積應(yīng)變的關(guān)系：

3

0=(2G+3

)

式中

0=(

x+

y+

z)/3是平均應(yīng)力。

0=K

式中 K=(3

+2G)/3

是體積變形模量。偏應(yīng)力與偏應(yīng)變關(guān)系

x=2G

x

+

sx+

0=2G(ex

+

)+

將體應(yīng)力與體應(yīng)變關(guān)系代入：

sx=2Gex

同理可得：

sy=2Gey

sz=2Gez

張量形式表示為

sij

=2Geij

在線彈性范圍內(nèi)，偏應(yīng)力只產(chǎn)生偏應(yīng)變，即只產(chǎn)生形狀改變，體積應(yīng)力只產(chǎn)生體應(yīng)變，即只產(chǎn)生體積改變。彈性常數(shù)之間的關(guān)系單軸拉伸使用物理關(guān)系，有：

x

=2G

x+

(

x+

y+

z)0=2G

y+

(

x+

y+

z)

y=

z

純剪實(shí)驗(yàn)使用物理方程，

xy

=2G

xy，

G是剪切模量。G、

、K、E和

共5個(gè)彈性常數(shù)，但只有2個(gè)獨(dú)立由應(yīng)力表示應(yīng)變正應(yīng)力只產(chǎn)生正應(yīng)變；剪應(yīng)力只產(chǎn)生剪應(yīng)變。每個(gè)應(yīng)變等于各個(gè)應(yīng)力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變之和。

彈性應(yīng)變能一維情況一細(xì)長(zhǎng)桿，長(zhǎng)度L，橫截面積S，兩端受拉力P作用，伸長(zhǎng)量為

L，外力功為 由于應(yīng)力

x=P/S，

x=

L/L，上式可寫(xiě)成

單位體積的應(yīng)變能W為求應(yīng)變能相對(duì)應(yīng)變的偏導(dǎo)三維情況考察微小六面體，作用的應(yīng)力分量

ij，由此產(chǎn)生的應(yīng)變分量

ij

各應(yīng)力分量

ij都只在指標(biāo)與它相同的應(yīng)變分量

ij上做功，根據(jù)能量平衡，單位體積的應(yīng)變能應(yīng)是

所以

dW=

ijd

ij

對(duì)于彈性體，應(yīng)變能只取決于狀態(tài)，而與達(dá)到該狀態(tài)的路徑無(wú)關(guān)是應(yīng)變狀態(tài)的單值函數(shù)W=W(

ij)，應(yīng)變能增量dW必須是全微分

=

ijd

ij

上式對(duì)于任意的應(yīng)變?cè)隽縟

ij都應(yīng)成立，可導(dǎo)出如下對(duì)稱性

Cijkl=

Cklij將物理方程

ij

=Cijkl

kl代入dW=

ijd

ij，考慮對(duì)稱性，則

W=Cijkl

ij

kl=

ij

ij

應(yīng)變能分解應(yīng)變能可分解為體積改變能和形狀改變能。

W=

ij

ij=(sij

+

0

ij)(eij

+

kk

ij)=

0

kk+sije