第三課微分方程模型

數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課（三）——微分方程模型1.

傳染病模型2.

藥物在體內(nèi)的分布與排除動(dòng)態(tài)模型

描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過(guò)程

分析對(duì)象特征的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài)

研究控制對(duì)象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類(lèi)比法建立微分方程5.1傳染病模型不同類(lèi)型傳染病的傳播過(guò)程有其各自不同的特點(diǎn)，弄清楚這些特點(diǎn)需要相當(dāng)多的病理知識(shí)，這里不可能從醫(yī)學(xué)的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播機(jī)理建立幾種模型。問(wèn)題

描述傳染病的傳播過(guò)程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過(guò)程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型

在最簡(jiǎn)單的模型中，假設(shè)病人數(shù)(已感染人數(shù))i(t)是連續(xù)、可微函數(shù)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為

模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人Infective)和未感染者(健康人susceptible)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為

2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為

,且使接觸的健康人致病建模

~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻

(日接觸率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt

最大模型3傳染病無(wú)免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為

~日治愈率建模

~日接觸率1/

~感染期

~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱(chēng)為接觸數(shù)。模型3i0i0接觸數(shù)

=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過(guò)病人數(shù)1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01

>10ti

>11-1/

i0t

1di/dt

<0模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱(chēng)移出者removedSIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率

,

接觸數(shù)

=/建模需建立的兩個(gè)方程模型4SIR模型無(wú)法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)模型4消去dtSIR模型相軌線(xiàn)的定義域相軌線(xiàn)11si0D在D內(nèi)作相軌線(xiàn)的圖形，進(jìn)行分析si101D模型4SIR模型相軌線(xiàn)及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減

相軌線(xiàn)的方向P1s0imP3P4P2S0P1:

i(t)先升后降至0P2:

i(t)單調(diào)降至0閾值模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段

(日接觸率)衛(wèi)生水平

(日治愈率)

醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/

的估計(jì)降低s0提高r0提高閾值1/

降低

(=

/

)

,

群體免疫模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提高閾值1/

降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/

=

2.

藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計(jì)

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過(guò)程——藥物動(dòng)力學(xué)

建立房室模型——藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移

本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)

中心室周邊室給藥排除模型假設(shè)中心室(1)和周邊室(2),容積不變藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外模型建立線(xiàn)性常系數(shù)非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解模型建立幾種常見(jiàn)的給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時(shí)注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進(jìn)入中心室0Tt￡￡吸收室中心室3.口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物(劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室吸收室藥量x0(t)參數(shù)估計(jì)各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1