線性代數(shù)應(yīng)用案例

線性代數(shù)應(yīng)用案例案例1、指派問(wèn)題某所大學(xué)打算在暑假期間對(duì)三幢教學(xué)大樓進(jìn)行維修，該校讓三個(gè)建筑公司對(duì)每幢大樓的修理費(fèi)用進(jìn)行報(bào)價(jià)承包，見(jiàn)下列表格（以1萬(wàn)元人民幣為單位）

報(bào)價(jià)數(shù)目（萬(wàn)元）

教學(xué)1樓教學(xué)2樓教學(xué)3樓建一公司

13

24

10建二公司

17

19

15建三公司

20

22

21

在暑假期間每個(gè)建筑公司只能修理一幢教學(xué)大樓，因此該大學(xué)必須把各教學(xué)大樓指派給不同的建筑公司，為了使報(bào)價(jià)的總和最小，應(yīng)指定建筑公司承包哪一幢教學(xué)大樓？解這個(gè)問(wèn)題的效率矩陣為這里有3?。?種可能指派，我們計(jì)算每種指派(方案)的費(fèi)用。下面對(duì)6種指派所對(duì)應(yīng)矩陣的元素打方框，并計(jì)算它們的和。由上面分析可見(jiàn)報(bào)價(jià)數(shù)的范圍是從最小值49萬(wàn)元到最大值62萬(wàn)元。由于從兩種指派方案（4）與（6）得到最小報(bào)價(jià)總數(shù)49萬(wàn)元，因此，該大學(xué)應(yīng)在下列兩種方案中選定一種為建筑公司承包的項(xiàng)目：或案例2、交通問(wèn)題設(shè)有A,B,C三國(guó)，它們的城市,之間的交通聯(lián)接情況（不考慮國(guó)內(nèi)交通）如圖：根據(jù)上圖，A國(guó)和B國(guó)城市之間交通聯(lián)接情況可用矩陣表示，其中同樣，B國(guó)和C國(guó)城市之間的交通情況可用矩陣用P來(lái)表示矩陣M與N的乘積，那么可算出案例3、圓錐曲線方程平面上圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的一般方程為這方程含有六個(gè)待定系數(shù)，用它們之中不為零的任意一個(gè)系數(shù)去除其它系數(shù)，實(shí)際上此方程只有五個(gè)獨(dú)立的待定系數(shù)。用與上面類似的方法，通過(guò)五個(gè)不同點(diǎn)：的一般圓錐曲線方程為：

（9）例一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道，他在軌道平面內(nèi)建立一個(gè)以太陽(yáng)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，在兩坐標(biāo)軸上取天文測(cè)量單位（1天文單位為地球到太陽(yáng)的平均距離：9300萬(wàn)里）。他五個(gè)不同時(shí)間對(duì)小行星作五次觀測(cè)，得到軌道上五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（5.764,0.648）（6.286,1.202）（6.759,1.823）（7.168,2.562）與（7.408，3.360）。由開普勒第一定律知小行星軌道為一橢圓，試建立它的方程。解將五個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)待入方程（9），得展開并化簡(jiǎn)后得

案例6、生產(chǎn)總值問(wèn)題一個(gè)城市有三個(gè)重要的企業(yè)：一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條地方鐵路。開采一元錢的煤，煤礦必須支付0.25元的運(yùn)輸費(fèi)。而生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠需需支付0.65元的煤作燃料，自己亦需支付0.05元的電費(fèi)來(lái)驅(qū)動(dòng)輔助設(shè)備及支付0.05元的運(yùn)輸費(fèi)。而提供一元錢的運(yùn)輸費(fèi)，鐵路需支付0.55元的煤作燃料，0.10元的電費(fèi)驅(qū)動(dòng)它的輔助設(shè)備。某個(gè)星期內(nèi)，煤礦從外面接到50，000元煤的定貨，發(fā)電廠從外面接到25，000元錢電力的定貨，外界對(duì)地方鐵路沒(méi)有要求。問(wèn)這三個(gè)企業(yè)在那一個(gè)星期內(nèi)總生產(chǎn)總值多少時(shí)才能精確地滿足它們本身地要求和外界的要求？解：對(duì)于一個(gè)星期的周期，

表示煤礦的總產(chǎn)值，

表示電廠的總產(chǎn)值，

表示鐵路的總產(chǎn)值。根據(jù)題意：寫成矩陣形式，得記

則上式寫為：

即因?yàn)橄禂?shù)行列式,根據(jù)克拉默法則，此方程組有唯一解，其解為所以得煤礦總產(chǎn)值為102，087元，發(fā)電廠總產(chǎn)值為56，163元，鐵路總產(chǎn)值為28，330元。案例7、基因問(wèn)題

農(nóng)場(chǎng)的植物園中，某種植物的基因型為，農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃采用型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代，已知雙親體基因型與其后代基因型的概率（見(jiàn)附表）問(wèn)：經(jīng)過(guò)若干年后三種基因型分布如何？解：用分別表示第n代植物中，基因型的植物占植物總數(shù)的百分率（，令為第n代植物基因型分布：時(shí)顯然，初始分布有由上表可得關(guān)系式：

即

其中從而，為計(jì)算將M對(duì)角化，即求可逆陣P，使

即

,D為對(duì)角陣由于所以M的特征值為：，對(duì)于特征向量分