北京市通州區(qū)20232024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

通州區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷2023年11月學(xué)校______班級(jí)______姓名______考生須知1.本試卷共8頁(yè)，共三道大題，28個(gè)小題，滿分為100分，考試時(shí)間為120分鐘.2.請(qǐng)?jiān)谠嚲砗痛痤}卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級(jí)、姓名.3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.5.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）每題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1.下列長(zhǎng)度的四條線段中，是成比例線段的是（）A.3cm，5cm，6cm，9cm B.3cm，5cm，8cm，9cmC.3cm，9cm，10cm，30cm D.3cm，6cm，7cm，9cm2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.如圖所示，點(diǎn)D、E分別在的AB，AC邊上，且，如果，那么等于（）第3題A. B. C. D.4.將拋物線向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線為（）A. B. C. D.5.如圖，圖1是可折疊的熨衣架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，AD與CB相交于點(diǎn)O，，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為（）圖1圖2第5題A.0.4 B.0.8 C.1 D.1.66.如圖，已知D是的邊AC上一點(diǎn)，根據(jù)下列條件，不能判定的是（）第6題A. B. C. D.7.若二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，那么m的取值范圍是（）A. B. C. D.8.函數(shù)的自變量x的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，其中部分的圖象如圖所示，對(duì)于此函數(shù)有下列結(jié)論：①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱②函數(shù)既有最大值，也有最小值③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?、墚?dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）9.已知，則______.10.請(qǐng)寫出一個(gè)開口向下，圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)表達(dá)式______.11.兩個(gè)相似三角形的相似比為，則它們的面積之比為______.12.20世紀(jì)70年代初，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法，所做EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點(diǎn)，.已知AB為2米，則線段BE的長(zhǎng)為______米.第12題13.如圖，拋物線的對(duì)稱軸為，點(diǎn)P，點(diǎn)Q是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為______.第13題14.點(diǎn)，為拋物線上兩點(diǎn)，則______.（用“＜”或“＞”號(hào)連接）15.如圖，中，，，，，則CD的長(zhǎng)為______.第15題16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊OB，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在矩形ABOC的內(nèi)部，點(diǎn)E在BO邊上，且滿足，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.第16題三、解答題（本題共68分，第17-18題每題4分；第19-21題每題5分；第22-27題每題6分；第28題9分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.17.已知一條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式.18.如圖，的高AD，BE相交于點(diǎn)O.（1）寫出一個(gè)與相似的三角形（不添加其他線段），這個(gè)三角形是______；（2）證明：19.已知拋物線.（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出函數(shù)圖象.20.小華同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊，，測(cè)得邊DF離地面的高度，，求樹的高度.21.如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F.（1）求證：；（2）若，，求CF的長(zhǎng).22.已知二次函數(shù)在和時(shí)的函數(shù)值相等.（1）求二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；（2）過(guò)作x軸的平行線與二次函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)M、N.當(dāng)時(shí)，求b的值.23.已知：如圖，中，AD平分，E是AD上一點(diǎn)，且.判斷BE與BD的數(shù)量關(guān)系并證明.24.跳繩是大家喜愛的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩子甩到最高處時(shí)，其形狀視為拋物線.如圖是甲，乙兩人將繩子甩到最高處時(shí)的示意圖，已知兩人拿繩子的手離地面的高度都為1m，并且相距4m，現(xiàn)以兩人的站立點(diǎn)所在的直線為x軸，過(guò)甲拿繩子的手作x軸的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，且繩子所對(duì)應(yīng)的拋物線表達(dá)式為.（1）求繩子所對(duì)應(yīng)的拋物線表達(dá)式；（2）身高1.70m的小明，能否站在繩子的正下方，讓繩子通過(guò)他的頭頂？25.如圖，在等腰三角形ABC中，，，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使.（1）求證：；（2）設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍.26.某水果經(jīng)銷商以每公斤8元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批葡萄，若按每公斤20元的價(jià)格銷售，平均每天可售出60公斤.結(jié)合銷售記錄發(fā)現(xiàn)，若售價(jià)每降低1元，平均每天的銷售量增加10公斤，為了盡快減少庫(kù)存，該水果商決定降價(jià)銷售.（1）若每公斤降價(jià)2元，則每天的銷售利潤(rùn)為______元；（2）銷售單價(jià)定為每公斤多少元時(shí)，每天銷售該品種葡萄獲得的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少元？27.已知拋物線.（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（2）點(diǎn)，在該拋物線上，若，求a的取值范圍.28.定義：兩個(gè)相似三角形共邊且位于一個(gè)角的平分線兩側(cè)，則稱這樣的兩個(gè)相似三角形為疊似三角形.圖1圖2圖3（1）如圖1，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分，，求證：和為疊似三角形；（2）如圖2，和為疊似三角形，若，，，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；（3）如圖3，在中，D是BC上一點(diǎn)，連結(jié)AD，點(diǎn)E在AD上，且，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，且，若，，求的值.通州區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案2023年11月一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）題號(hào)12345678答案CBDBADAC二、填空題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）9.10.（答案不唯一）11.12.13.14.＜15.16.或三、解答題（本題共68分，第17—18題每題4分；第19—21題每題5分；第22—27題每題6分；第28題9分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.17.解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)拋物線表達(dá)式為……1分∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴將代入得：……2分∴……3分∴.……4分18.（1）解：，，（寫出一個(gè)即可）……1分（2）證明：∵的高AD，BE相交于點(diǎn)O，∴……2分∵……3分∴……4分19.（1）解：∵，∴，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為……1分令，則，拋物線與y軸交點(diǎn)為……2分令，則，，拋物線與x軸交點(diǎn)為和.……4分（2）……5分20.解：∵，又∵，∴……2分∴……3分∵，，，∴，∴……4分∴.答：樹的高度是5.5米.……5分21.（1）證明：∵矩形ABCD，∴，∴……1分又∵，∴……2分（2）∵矩形ABCD，∴，，在中，，，∴……3分∵E是邊AB的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴……4分∴，∴，∴.……5分22.解：（1）∵二次函數(shù)在和時(shí)函數(shù)值相等，∴對(duì)稱軸為直線.……2分（2）∵過(guò)作x軸的平行線與二次函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)M、N，設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，∵對(duì)稱軸為直線，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為……4分∴，，∴，.……6分23.猜想：……1分證明：∵AD平分，∴……2分∵，∴……3分∴，……4分∴……5分∴……6分24.解：（1）根據(jù)題意，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.∴……1分解得……2分∴繩子所對(duì)應(yīng)的拋物線表達(dá)式為：……3分（2）身高1.70m的小明，不能站在繩子的正下方讓繩子通過(guò)他的頭頂.理由如下：∵，當(dāng)時(shí)，……5分∵，∴繩子能碰到小明，小明不能站在繩子的正下方讓繩子通過(guò)他的頭頂.……6分25.（1）證明：∵等腰三角形ABC中，，，∴，，∵，∴……1分∵，又∵，∴……2分∴……3分（2）解：∵，∴……4分∵，，∴……5分∴……6分26.（1）800元；……1分（2）解：設(shè)銷售單價(jià)定為每公斤x元，據(jù)題意可得，……3分當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)w最大，此時(shí)，……5分答：銷售單價(jià)定為每公斤17元時(shí)，每天銷售該品種葡萄獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是810元.……6分27.解：（1）∵拋物線，∴，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.……2分（2）當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，①若點(diǎn)P、Q在對(duì)稱軸異側(cè)∵，∴點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離，∴，∴，又∵，∴此情況不成立……3分②若點(diǎn)P、Q在對(duì)稱軸同側(cè)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大∵，∴……4分當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，①若點(diǎn)P、Q在對(duì)稱軸異側(cè)∵，∴點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離∴，∴，∴……5分②若點(diǎn)P、Q在對(duì)稱軸同側(cè)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，∵，∴與矛盾，∵此情況不成立……