江西省萍鄉(xiāng)市2023-2024學年高一上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

萍鄉(xiāng)市2023—2024學年度第一學期期末考試高一數(shù)學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁．滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡上考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人的準考證號、姓名是否一致．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答．若在試題卷上作答，答題無效．3．考試結束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回．第Ⅰ卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，若，則a的值可能為（）A.，3 B. C.，3，8 D.，8【答案】D【解析】【分析】由集合與元素的關系分類討論即可求解.【詳解】由題意若，解得或，若，解得，當時，滿足題意，當時，違背了集合中元素間的互異性，當時，滿足題意，綜上所述，a的值可能為，8.故選：D.2.下列說法正確的是（）A.若是奇函數(shù)，則B.若（m為常數(shù)）是冪函數(shù)，則不等式的解集為C.函數(shù)在上是減函數(shù)D.與為同一函數(shù)【答案】B【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)判斷A；利用冪函數(shù)的定義確定的值，從而利用單調(diào)性解不等式，可判斷B；利用反比例函數(shù)的單調(diào)性判定C；利用函數(shù)的對應關系判斷D.【詳解】對于A，若是奇函數(shù)，且定義域中包含0，才有，A錯誤；對于B，若（m為常數(shù)）是冪函數(shù)，則，得，所以，其在上為減函數(shù)，若，則，解得，B正確；對于C，函數(shù)在和上是減函數(shù)，C錯誤；對于D，函數(shù)，與不是同一函數(shù)，D錯誤.故選：B.3.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)證明正確選項，舉反例排除錯誤選項即可.【詳解】對于A，當時，無意義，故A錯誤，對于B，當時，無意義，故B錯誤，對于C，若且，則，，故C正確，對于D，令，則，，顯然，故D錯誤，故選：C4.太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水，回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來經(jīng)過特殊凈水器處理成飲用水循環(huán)使用．凈化過程中，每過濾一次可減少水中雜質(zhì)10%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的1%以下，至少需要過濾的次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.42次 B.43次 C.44次 D.45次【答案】C【解析】【分析】由條件列不等式，結合指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.【詳解】設經(jīng)過次過濾達到要求，原來水中雜質(zhì)為1，由題意，即，所以，所以，所以至少需要過濾的次數(shù)為44次.故選：C.5.已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先比較出，由已知可得函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可解.【詳解】因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，由于，又，，則，所以，函數(shù)是定義域為R偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則在上為增函數(shù)，所以，即.故選：A6.甲、乙兩選手進行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制，則乙最終獲勝的概率為（）A.0.36 B.0.352 C.0.288 D.0.648【答案】B【解析】【分析】由題意可得乙最終獲勝有兩種情況：一是前兩局乙獲勝，二是前兩局乙勝一局，第三局乙獲勝，然后由獨立事件和互斥事件的概率公式求解即可.【詳解】由題意可得乙最終獲勝有兩種情況：一是前兩局乙獲勝，則獲勝的概率為，二是前兩局乙勝一局，第三局乙獲勝，則獲勝的概率為，而這兩種情況是互斥的，所以乙最終獲勝的概率為.故選：B.7.若把函數(shù)的圖象平移，可以使圖象上的點變換成點，則函數(shù)的圖象經(jīng)此平移變換后所得的圖象大致形狀為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由平移法則得函數(shù)表達式，結合指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)即可判斷.【詳解】由題意可知圖象上點變換成點，意味著函數(shù)的圖象向右平移一個單位且向下平移2個單位，此時對應的函數(shù)解析式為，若，則時，且單調(diào)遞減，時，且單調(diào)遞增，對比選項可知D選項符合題意.故選：D.8.已知，且滿足，則的值為（）A.0 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】構造函數(shù)，判斷出的單調(diào)性、奇偶性，利用性質(zhì)可得答案.【詳解】因為，所以，令，因為在上都為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上都為單調(diào)遞增函數(shù)，又時，，所以為奇函數(shù)，所以，所以，又，所以，可得，即.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解題.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法錯誤的是（）A.命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“有一個奇數(shù)能被3整除”B.“菱形是正方形”是全稱命題C.式子化簡后為D.“”是“，有為真命題”的充分不必要條件【答案】AD【解析】【分析】對于A，由命題否定的定義即可判斷；對于B，由全稱量詞命題的定義即可判斷；對于C，首先，由此即可進一步化簡驗算；對于D，首先得“，有為真命題”的充要條件，由此即可求解.【詳解】對于A，命題“有一個奇數(shù)不能被3整除”的否定是“所有的奇數(shù)能被3整除”，故A符合題意；對于B，“菱形是正方形”即“所有的菱形是正方形”是全稱命題，故B不符合題意；對于C，若式子有意義，則，即，所以，故C不符合題意；對于D，，有，等價于，有，等價于，所以“”是“，有為真命題”的必要不充分條件，故D符合題意.故選：AD.10.已知定義在上的函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（）A. B.圖象的對稱中心為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.滿足的x的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】選項A，只需將代入等式，求解即可；選項B，將等式變形為，可得出其對稱性；選項C，結合對稱性和函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；選項D，先討論函數(shù)在上的符號，結合的符號，解不等式即可.【詳解】對于選項A，將代入等式，可得，選項A錯誤；對于選項B，若函數(shù)滿足，即，則函數(shù)的圖象關于點對稱，選項B正確；對于選項C，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象關于點對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞減，選項C正確；對于選項D，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，由，可得：當時，，解得，則；當時，，解得，則；所以不等式的解集為，選項D不正確.故選：BC.11.已知樣本甲：與樣本乙：滿足關系，則下列結論錯誤的是（）A.樣本乙的極差等于樣本甲的極差B.若某個為樣本甲的中位數(shù)，則是樣本乙的中位數(shù)C.樣本乙的眾數(shù)小于樣本甲的眾數(shù)D.若某個為樣本甲的平均數(shù)，則是樣本乙的平均數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】利用極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解．【詳解】由樣本甲：，，，…，與樣本乙：，，，…，滿足，知：樣本乙的極差不等于樣本甲的極差，例如樣本甲：0，1，2與樣本乙：，故A中結論不正確；不妨令，因為在上單調(diào)遞減，則，所以若某個為樣本甲中位數(shù)，則是樣本乙的中位數(shù)，故B中結論正確；因為在上單調(diào)遞減，則樣本乙的眾數(shù)等于樣本甲的眾數(shù)，故C中結論不正確；若某個為樣本甲的平均數(shù)，則不一定是樣本乙的平均數(shù)，例如樣本甲：0，1，2與樣本乙：，故D中結論不正確．故選：ABD．12.已知函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的零點相同，則的取值可能是（）A.2 B. C.0 D.4【答案】AC【解析】【分析】通過零點相同可確定，解得，，進而確定函數(shù)與函數(shù)的解析式，利用零點相同將問題轉化成方程無解或與方程的解相同，進而求解.【詳解】設的零點為，則，又，故，解得，則．，因為函數(shù)與函數(shù)的零點相同，所以方程無解或與方程的解相同，所以或，解得，所以．故選：AC第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.某班擬從2名男學生和1名女學生中隨機選派2名學生去參加一項活動，則恰有一名女學生和一名男學生去參加活動的概率是______．【答案】【解析】【分析】由列舉法求古典概型概率即可.【詳解】設2名男學生分別為,1名女學生為，所以選派2名學生去參加一項活動共有：三種情況，符合題意的情況有兩種，所以恰有一名女學生和一名男學生去參加活動的概率是.故答案為：.14.在一次籃球比賽中，某球隊共進行了9場比賽，得分分別26，37，23，45，32，36，40，42，51，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為______．【答案】40【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】將得分從小到大排列有又，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第6個數(shù)，即40.故答案為：4015.已知關于x的一元二次不等式的解集為，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】由題可得a，b是關于的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，由根與系數(shù)的關系可求出的值，進而可得，再由不等式“1”的代換即可求出答案.【詳解】因為區(qū)間是關于的一元二次不等式的解集，則a，b是關于的一元二次方程的兩個不同的實數(shù)根，則有，，，，所以，且a，b是兩個不同的正數(shù)，則有，當且僅當時即，等號成立，滿足，故的最小值是.故答案為：.16.記表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】通過數(shù)形結合首先得，進一步若要滿足題目條件，只需，由此即可得解.【詳解】如圖所示：若，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有1個交點，即函數(shù)恰有1個零點，不符合題意；如圖所示：若函數(shù)恰有2個零點，且，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點，顯然當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有1個交點，只需保證當時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有1個交點，則，解不等式組得，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：首先得到，進一步通過畫圖，列出滿足題意的不等式組即可順利得解.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知求得集合，，由交集運算即可得出結果.（2）根據(jù)已知條件得集合A是集合B的真子集，討論，兩種情況，求解即可.【小問1詳解】當時，集合，可得或，所以；【小問2詳解】由題知，集合A是集合B的真子集，當時，，即，符合題意，當時，則，即，且滿足，兩式不能同時取等號，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍為．18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）用二分法求方程在區(qū)間上的一個近似解（精確度為0.1）．【答案】18.單調(diào)遞增，證明見解析19.2.6（內(nèi)任意一個實數(shù)都是對應方程符合精確度要求的一個近似解）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結合單調(diào)性的定義分析證明；（2）根據(jù)單調(diào)性以及零點存在性定理可知在內(nèi)有且僅有一個零點，結合二分法分析求解.【小問1詳解】在單調(diào)遞增；證明如下：任取，不妨設，，因為，則，，，可得，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)且單調(diào)的，可知其在區(qū)間上的零點即為方程在區(qū)間上的解，且，，可得在內(nèi)有且僅有一個零點，在區(qū)間上利用二分法列表如下：區(qū)間中點中點函數(shù)值區(qū)間長度1此時解在區(qū)間，此區(qū)間長度為，，滿足精確度為0.1，故區(qū)間，即內(nèi)任意一個實數(shù)都是對應方程符合精確度要求的一個近似解，比如2.6是方程在上的一個近似解．19.已知函數(shù)（，且），從下面兩個條件中選擇一個進行解答．①的反函數(shù)經(jīng)過點；②的解集為．（1）求實數(shù)a的值；（2）若，，求的最值及對應x的值．【答案】（1）（2）當時，；當時，【解析】【分析】（1）根據(jù)所選的條件，利用對數(shù)的性質(zhì)解方程求參數(shù)a即可；（2）由（1）得，換元法有，則，結合二次函數(shù)性質(zhì)求最值，并確定對應x的值.【小問1詳解】若選①：由題知，函數(shù)的反函數(shù)為，則，即；若選②：由題知，的解集為，因為，所以，即；【小問2詳解】由（1）知，，則，令，則，當，即時，；當，即時，，綜上：當時，；當時，．20.從某學校800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第六組的人數(shù)為4．（1）求第七組的頻率；（2）估計該校800名男生身高的中位數(shù)；（3）從樣本身高屬于第六組和第八組的男生中隨機抽取兩名，若他們的身高分別為x，y，記為事件E，求．【答案】（1）0.06（2）174.5cm（3）【解析】【分析】（1）由頻率和（即小矩形的面積和）為，求得結果即可；（2）頻率分布直方圖中的中位數(shù)兩側矩形的面積和（頻率）各占；（3）由古典概型計算公式分別計算基本事件總數(shù)和事件E包含的基本事件個數(shù)，求解即可.【小問1詳解】第六組的頻率為，則第七組的頻率為；【小問2詳解】由圖知，身高在的頻率為，在的頻率為，在的頻率為，在的頻率為，由于，，設這所學校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，由，得，所以這所學校800名男生身高的中位數(shù)為174.5cm；【小問3詳解】樣本身高在第六組的人數(shù)為4，設為a，b，c，d，在第八組的人數(shù)為，設為A，B，則從中隨機抽取兩名男生有：，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，當且僅當隨機抽取的兩名男生在同一組時，事件E發(fā)生，所以事件E包含的基本事件為，，，，，，共7種情況，所以．21.已知，函數(shù)，．（1）若，求不等式的解集；（2）求不等式的解集；（3），不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）運用換元法求解不等式即可.（2）討論參數(shù)范圍，求解不等式即可.（3）運用分離參數(shù)法結合基本不等式求解參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】令，，即，解得或，所以或，解得；【小問2詳解】依題意得，，即