中考數(shù)學 反比例函數(shù)及綜合問題

專題08反比例函數(shù)及綜合問題【方法指導】1.反比例函數(shù)知識梳理：1．反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)k＞0圖象經(jīng)過第一、三象限（x、y同號）每個象限內(nèi)，函數(shù)y的值隨x的增大而減小.k＜0圖象經(jīng)過第二、四象限（x、y異號）每個象限內(nèi)，函數(shù)y的值隨x的增大而增大.2.反比例函數(shù)的圖象特征（1）由兩條曲線組成，叫做雙曲線；（2）圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；（3）圖象是中心對稱圖形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直角坐標系一、三象限和二、四象限的角平分線．3.系數(shù)k的幾何意義（1）意義：從反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點、一個垂足和原點為頂點的三角形的面積為1/2|k|.（2）常見的面積類型：4.與一次函數(shù)的綜合（1）確定交點坐標：【方法一】已知一個交點坐標為（a,b），則根據(jù)中心對稱性，可得另一個交點坐標為（－a,－b）.【方法二】聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，利用方程思想求解.（2）確定函數(shù)解析式：利用待定系數(shù)法，先確定交點坐標，再分別代入兩個函數(shù)解析式中求解（3）在同一坐標系中判斷函數(shù)圖象：充分利用函數(shù)圖象與各字母系數(shù)的關(guān)系，可采用假設法，分k＞0和k＜0兩種情況討論，看哪個選項符合要求即可.也可逐一選項判斷、排除.（4）比較函數(shù)值的大?。褐饕ㄟ^觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下方的值小，結(jié)合交點坐標，確定出解集的范圍.【題型剖析】【類型1】反比例函數(shù)k的幾何意義【例1】（2019?宿豫區(qū)模擬）如圖，A是反比例函數(shù)y=4x（x＞0）的圖象上的任意一點，AB∥x軸，交反比例函數(shù)y=-5x的圖象于點B，以AB為邊畫?ABCD，其中C、D在A．4 B．5 C．8 D．9【分析】連結(jié)OA、OB，AB交y軸于E，由于AB⊥y軸，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到S△OEA=12×4＝2，S△OBE=12×5=52，則四邊形ABCD為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到S平行四邊形ABCD【解析】連結(jié)OA、OB，AB交y軸于E，如圖，∵AB∥x軸，∴AB⊥y軸，∴S△OEA=12×4＝2，S△OBE=12×∴S△OAB＝2.5＋2＝4.5，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴S平行四邊形ABCD＝2S△OAB＝9．故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)y=kx（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上任意一點向x軸和【變式1－1】（2019?梁溪區(qū)一模）如圖，矩形OABC的頂點A、C都在坐標軸上，點B在第二象限，矩形OABC的面積為62．把矩形OABC沿DE翻折，使點B與點O重合．若反比例函數(shù)y=kx的圖象恰好經(jīng)過點E和DE的中點F．則A．2 B．322 C．22 【分析】連接BO與ED交于點Q，過點Q作QG⊥x軸于G，可通過三角形全等證得BO與ED的交點就是ED的中點F，由相似三角形的性質(zhì)可得S△OGF=14S△OCB，從而求出S△OAE，進而可以得到AB＝4AE，即BE＝3AE．由軸對稱的性質(zhì)可得OE＝BE，從而得到OE＝3AE，也就有AO＝22AE，根據(jù)△OAE的面積可以求出【解析】連接BO與ED交于點Q，過點Q作QN⊥x軸，垂足為N，如圖所示，∵矩形OABC沿DE翻折，點B與點O重合，∴BQ＝OQ，BE＝EO．∵四邊形OABC是矩形，∴AB∥CO，∠BCO＝∠OAB＝90°．∴∠EBQ＝∠DOQ．在△BEQ和△ODQ中，∠EBQ=∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．∴EQ＝DQ．∴點Q是ED的中點．∵∠QNO＝∠BCO＝90°，∴QN∥BC．∴△ONQ∽△OCB．∴S△ONQS△OCB=（OQOB）2＝（∴S△ONQ=14S△OC∵S矩形OABC＝62，∴S△OCB＝S△OAB＝32．∴S△ONQ=3∵點F是ED的中點，∴點F與點Q重合．∴S△ONF=3∵點E、F在反比例函數(shù)y=k∴S△OAE＝S△ONF=3∵S△OAB＝32，∴AB＝4AE．∴BE＝3AE．由軸對稱的性質(zhì)可得：OE＝BE．∴OE＝3AE．OA=OE2-A∴S△OAE=12AO?AE=12×22∴AE=3∴OA＝22AE=6故選：D．【變式1－2】（2019?惠山區(qū)一模）如圖，矩形ABCD的頂點A和對稱中心在反比例函數(shù)y=kx（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面積為8，則A．4 B．23 C．22 D．8【分析】設A點的坐標為（m，n）則根據(jù)矩形的性質(zhì)得出矩形中心的縱坐標為n2，根據(jù)中心在反比例函數(shù)y=kx上，求出中心的橫坐標為2kn，進而可得出【解析】如圖，延長DA交y軸于點E，∵四邊形ABCD是矩形，設A點的坐標為（m，n）則根據(jù)矩形的性質(zhì)得出矩形中心的縱坐標為n2∵矩形ABCD的中心都在反比例函數(shù)y=k∴x=2k∴矩形ABCD中心的坐標為（2kn，n∴BC＝2（2kn）=4kn∵S矩形ABCD＝8，∴（4kn-2m）?n＝4k﹣2mn＝8，∵點A（m，n）在y=k∴mn＝k，∴4k﹣2k＝8解得：k＝4故選：A．【類型2】反比例函數(shù)點的坐標特征【例2】（2019?錫山區(qū)一模）如圖，在反比例函數(shù)y=3x的圖象上有一動點A，連接AO并延長交圖象的另一支于點B，在第二象限內(nèi)有一點C，滿足AC＝BC，當點A運動時，點C始終在函數(shù)y=kx的圖象上運動，若tan∠CAB＝A．﹣6 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣24【分析】連接OC，作CM⊥x軸于M，AN⊥x軸于N，如圖，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得OA＝OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OC⊥AB，利用正切的定義得到COAO=2，再證明∴Rt△OCM∽Rt△OAN，利用相似的性質(zhì)得S△COMS△OAN=【解析】連接OC，作CM⊥x軸于M，AN⊥x軸于N，如圖，∵A、B兩點為反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的兩交點，∴點A、點B關(guān)于原點對稱，∴OA＝OB，∵CA＝CB，∴OC⊥AB，在Rt△AOC中，tan∠CAO=COAO∵∠COM＋∠AON＝90°，∠AON＋∠OAN＝90°，∴∠COM＝∠OAN，∴Rt△OCM∽Rt△OAN，∴S△COMS△OAN=（COOA而S△OAN=12×|3∴S△CMO＝6，∵12|k|＝6而k＜0，∴k＝﹣12．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝【變式2－1】（2019?宜興市一模）已知反比例函數(shù)y=6x的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜xA．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．y1與y2之間的大小關(guān)系不能確定【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y=6x中k的符號判斷該函數(shù)所在的象限及其單調(diào)性，然后分類討論x1與x2所在的象限，從而根據(jù)該函數(shù)在該象限內(nèi)的單調(diào)性來判斷y1與y【解析】∵k＝6，∴反比例函數(shù)y=6x的圖象經(jīng)過第一三象限，在每一個象限內(nèi)，y隨①當x1＜x2＜0時，y1＞y2；②當0＜x1＜x2時，y1＞y2；③當x1＜0＜x2時，y1＜y2；綜合①②③，y1與y2的大小關(guān)系不能確定．故選：D．【變式2－2】（2019?昆山市一模）如圖，將邊長為10的等邊三角形OAB位于平面直角坐標系第一象限中，OA落在x軸正半軸上，C是AB邊上的動點（不與端點A、B重合），作CD⊥OB于點D，若點C、D都在雙曲線y=kx（k＞0，x＞0）上，則A．93 B．18 C．253 D．9【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出D，C點坐標，進而利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得出答案．【解析】過點D作DE⊥x軸于點E，過C作CF⊥x軸于點F，如圖所示．可得：∠ODE＝30∠BCD＝30°，設OE＝a，則OD＝2a，DE=3a∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，∴AF=12AC＝2a﹣5，CF=3AF=3（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15∴點D（a，3a），點C[15﹣2a，3（2a﹣5）]．∵點C、D都在雙曲線y=kx（k＞0，x＞∴a?3a＝（15﹣2a）×3（2a﹣5解得：a＝3或a＝5．當a＝5時，DO＝OB，AC＝AB，點C、D與點B重合，不符合題意，∴a＝5舍去．∴點D（3，33），∴k＝3×33=93故選：A．【類型3】：反比例函數(shù)和一次函數(shù)相結(jié)合問題【例3】（2019?海門市二模）如圖，正比例函數(shù)y＝﹣2x與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于A（m，4），（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；（2）當﹣2x≤kx時，請直接寫出【分析】（1）將A坐標代入正比例函數(shù)y＝﹣2x求出m的值，將A（﹣2，4）代入反比例解析式求k的值，根據(jù)A、B關(guān)于O點對稱即可確定出B坐標；（2）根據(jù)圖象和交點坐標找出正比例函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象下方時x的范圍即可．【解析】（1）將A（m，4）代入正比例函數(shù)y＝﹣2x得：4＝﹣2m，解得m＝﹣2，∴A（﹣2，4），∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過A（﹣2，∴k＝﹣2×4＝﹣8，則反比例解析式為y=-∵A、B關(guān)于O點對稱∴B（2，﹣4）；（2）由圖象得：當﹣2x≤kx時，x的取值范圍為﹣2≤x＜0或x≥【點睛】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．【變式3－1】（2019?如皋市一模）定義：把函數(shù)y=m|x|（m＞0）的圖象叫做正值雙曲線．把函數(shù)y=m|x|（（1）請寫出正值雙曲線的兩條性質(zhì)；（2）如圖，直線l經(jīng)過點A（﹣1，0），與負值雙曲線y=m|x|（m＜0）交于點B（﹣2，﹣1）．P是射線AB上的一點，過點P作x軸的平行線分別交該負值雙曲線于M，N兩點（點M在點①求直線l的解析式和m的值；②是否存在點P，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（2）①運用待定系數(shù)法求出直線l的解析式；②若存在，設點P的坐標為（p，p＋1），則點M（2p+1，p＋1），點N（-2p+1，p＋1），再根據(jù)三角形的面積公式可得△AMN的面積，然后分3種情況討論：若點P在線段AB上；若點P與點B重合；若點P【解析】（1）①當x＜0時，y隨x的增大而增大；當x＞0時，y隨x的增大而減??；②無論x取何值，y＞0；③圖象與坐標軸沒有交點；④圖象分布在第一、二象限，等等；（2）①設直線l的解析式為y＝kx＋b．∵直線l過點A（﹣1，0）和點B（﹣2，﹣1），∴0=-k+b-1=-2k+b∴直線l的解析式為y＝x＋1．∵雙曲線y=m|x|（m＜0）交于點B（﹣2，﹣∴m＝2×（﹣1）＝﹣2，即：m的值為﹣2；②若存在，設點P的坐標為（p，p＋1），則點M（2p+1，p＋1），點N（-2p+1，p∴S△AMN=12|-2p+1-2p+1|×若點P在線段AB上，則S△APM=12（p-2p+1）×[﹣（p＋1）]=12（﹣P∵S△AMN＝4S△APM，∴2＝4×12（﹣P2﹣P＋2），即P2＋P﹣1＝解得p1=-1-52，p若點P與點B重合，△APM不存在；若點P在線段AB的延長線上，則S△APM=12（2p+1-p）×[﹣（p＋1）]=12（P∵S△AMN＝4S△APM，∴2＝4×12（P2＋P﹣2），即P2＋P﹣3＝解得p3=-1-132，p故存在點P（-1-52，1-52）和（-1-132，1-132），使得S【點睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點在反比例函數(shù)圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式；會計算三角形的面積．【變式3－2】（2019?濱海縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，∠ACB＝90°，點C的坐標為（﹣2，0），點A的坐標為（0，4），一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過點B、C，反比例函數(shù)y=mx（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）直接寫出當x＜0時，kx＋b-mx【分析】（1）過點B作BF⊥x軸于點F．根據(jù)AAS證明△BCF≌△CAO，從而求得點B的坐標，利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）在第二象限內(nèi)，找出一次函數(shù)值y＝kx＋b落在反比例函數(shù)y=mx圖象下方的部分對應的【解析】（1）如圖，過點B作BF⊥x軸于點F．∵∠BCA＝90°，∴∠BCF＋∠ACO＝90°，又∵∠CAO＋∠ACO＝90°，∴∠BCF＝∠CAO．在△BCF與△CAO中，∠BCF=∴△BCF≌△CAO（AAS），∴CF＝AO＝4，BF＝CO＝2，∴OF＝OC＋CF＝2＋4＝6，∴點B的坐標為（﹣6，2），將點B的坐標代入y=mx，可得：m＝﹣6×2＝﹣故可得反比例函數(shù)解析式為y=-（2）結(jié)合點B的坐標及圖象，可得當x＜0時，kx＋b-mx＜0的解集為：﹣6＜x【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，利用了數(shù)形結(jié)合思想．求得點B的坐標是解題的關(guān)鍵．【類型4】：反比例函數(shù)的應用問題【例4】（2019?河池三模）制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱達到60℃后，再進行操作．設該材料溫度為y（℃），從加熱開始計算的時間為x（分鐘）．據(jù)了解，設該材料加熱時，溫度y與時間x成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進行操作時，溫度y與時間x成反比例關(guān)系（如圖）．已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達到60℃．（1）分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)工藝要求，當材料的溫度低于15℃時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時間？（3）該種材料溫度維持在40℃以上（包括40℃）的時間有多長？【分析】（1）分成0≤x≤5和x＞5兩種情況，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）在當x＞5時的函數(shù)解析式中，求得y＝15時對應的自變量x的取值即可；（3）在兩個函數(shù)解析式中求得y＝40時對應的自變量的值，求差即可．【解析】（1）當0≤x≤5時，設函數(shù)的解析式是y＝kx＋b，則b=155k+b=60解得：b=15則函數(shù)的解析式是：y＝9x＋15；當x（2）把y＝15代入y=300x，得15=300x，經(jīng)檢驗：x＝20是原方程的解．則當材料的溫度低于15℃時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了20分鐘；（3）把y＝40代入y＝9x＋15得x=259；把y＝40代入y=300x得x＝所以材料溫度維持在40℃以上（包括40℃）的時間為7.5-25【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．【變式4－1】（2019?大洼區(qū)一模）小明家飲水機中原有水的溫度為20℃，通電開機后，飲水機自動開始加熱[此過程中水溫y（℃）與開機時間x（分）滿足一次函數(shù)關(guān)系]，當加熱到100℃時自動停止加熱，隨后水溫開始下降[此過程中水溫y（℃）與開機時間x（分）成反比例關(guān)系]，當水溫降至20℃時，飲水機又自動開始加熱…，重復上述程序（如圖所示），根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）當0≤x≤8時，求水溫y（℃）與開機時間x（分）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求圖中t的值；（3）若小明在通電開機后即外出散步，請你預測小明散步45分鐘回到家時，飲水機內(nèi)的溫度約為多少℃？【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入函數(shù)解析式求出即可；（2）首先求出反比例函數(shù)解析式進而得出t的值；（3）利用已知由x＝5代入求出飲水機內(nèi)的溫度即可．【解析】（1）當0≤x≤8時，設水溫y（℃）與開機時間x（分）的函數(shù)關(guān)系為：y＝kx＋b，依據(jù)題意，得b=208k+b=100解得：k=10b=20故此函數(shù)解析式為：y＝10x＋20；（2）在水溫下降過程中，設水溫y（℃）與開機時間x（分）的函數(shù)關(guān)系式為：y=m依據(jù)題意，得：100=m即m＝800，故y=800當y＝20時，20=800解得：t＝40；（3）∵45﹣40＝5≤8，∴當x＝5時，y＝10×5＋20＝70，答：小明散步45分鐘回到家時，飲水機內(nèi)的溫度約為70℃．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的應用，根據(jù)題意得出正確的函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．【變式4－2】（2018?東臺市一模）某農(nóng)戶共摘收草莓1920千克，為尋求合適的銷售價格，進行了6天試銷，試銷中發(fā)現(xiàn)這批草莓每天的銷售量y（千克）與售價x（元/千克）之間成反比例關(guān)系，已知第1天以20元/千克的價格銷售了45千克．現(xiàn)假定在這批草莓的銷售中，每天的銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）之間都滿足這一關(guān)系．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）在試銷期間，第6天的銷售價格比第2天低了9元/千克，但銷售量卻是第二天的2倍，求第二天的銷售價格；（3）試銷6天共銷售草莓420千克，該農(nóng)戶決定將草莓的售價定為15元/千克，并且每天都按這個價格銷售，問余下的草莓預計還需多少天可以全部售完？【分析】（1）直接利用第1天以20元/千克的價格銷售了45千克，得出函數(shù)解析式即可；（2）利用第6天的銷售價格比第2天低了9元/千克，但銷售量卻是第二天的2倍，得出等式求出答案；（3）把x＝15代入函數(shù)解析式得出y的值，進而求出答案．【解析】（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式：y=900（2）設第二天的銷售價格是x元/千克，則2×900解得x＝18，經(jīng)檢驗x＝18是原方程的解答：第二天的銷售價格為18元/千克；（3）草莓的銷售價定為15元/千克時，每天的銷售量：y=900x由題意1920-42060=所以余下的草莓預計還要銷售25天．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的應用以及分式方程的應用，正確得出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．【類型5】：反比例函數(shù)的幾何綜合問題【例5】（2019?靖江市校級一模）如圖，已知C，D是反比例函數(shù)y=mx（m＜0）圖象的兩點，直線CD分別交x軸、y軸于A，B兩點，連接OC、OD，tan∠BOC=13（1）求點C的坐標；（2）若∠BOC＝∠AOD，求直線CD的解析式．【分析】（1）過點C作CE⊥y軸于點E，通過解直角三角形可求出CE，OE的長，結(jié)合點C在第二象限即可得出點C的坐標；（2）由點C的坐標，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出反比例函數(shù)解析式，由∠BOC＝∠AOD可求出點D的坐標，再根據(jù)點C，D的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線CD的解析式．【解析】（1）過點C作CE⊥y軸于點E，如圖所示．在Rt△OCE中，tan∠BOC=13，OC∴OE＝3CE，∴CE＝1，OE＝3，∴點C的坐標為（﹣1，3）．（2）∵點C（﹣1，3）是反比例函數(shù)y=m∴m＝﹣1×3＝﹣3，∴反比例函數(shù)的解析式為y=-∵∠BOC＝∠AOD，∴設點D的坐標為（3a，﹣a）（a＞0）．又∵點D為反比例函數(shù)y=-∴3a×（﹣a）＝﹣3，解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去），∴點D的坐標為（3，﹣1）．設直線CD的解析式為y＝kx＋b（k≠0），將C（﹣1，3），D（3，﹣1）代入y＝kx＋b，得：-k+b=3解得：k=-∴當∠BOC＝∠AOD時，直線CD的解析式為y＝﹣x＋2．【點睛】本題考查了解直角三角形、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）通過解直角三角形，求出點C的坐標；（2）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，求出點D的坐標．【變式5－1】（2019?廣陵區(qū)校級二模）對于平面直角坐標系內(nèi)的點P（m，n）和點Q（km＋n，k2m＋kn），其中k為常數(shù)，我們把點Q叫做點P的k倍隨點．例如：點A（1，3）的2倍隨點B的坐標為（2×1＋3，22×1＋2×3），即點B的坐標為（5，10）．（1）C（﹣2，0）的3倍隨點D的坐標為；若點E（0，n）的k倍隨點F的坐標為（﹣2，﹣8），則k＝，n＝；（2）已知點O為平面直角坐標系的坐標原點，點G在x軸上，若點H是點G的k倍隨點，△GHO是等腰直角三角形，求k的值；（3）若反比例函數(shù)y=kx圖象上的點M的橫坐標為﹣1，且點M的k倍隨點也在反比例函數(shù)y=k【分析】（1）根據(jù)伴隨點的定義，可求出點D的坐標及k，n的值；（2）設點G的坐標為（a，0）（a＞0），則點H的坐標為（ka，k2a），分∠OGH＝90°及∠OHG＝90°兩種情況，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出k值；同理，可求出當點G在x軸負半軸時k的值，此問得解；（3）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點M的坐標，結(jié)合伴隨點的定義可求出點M的k倍隨點N的坐標，由該點在反比例函數(shù)圖象上，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出關(guān)于k的方程，解之取其非零值即可得出結(jié)論．【解析】（1）點C（﹣2，0）的3倍隨點D的坐標為（﹣2×3＋0，﹣2×32＋3×0），即點D的坐標為（﹣6，﹣18）；∵點E（0，n）的k倍隨點F的坐標為（﹣2，﹣8），∴k×0+n=-故答案為：（﹣6，﹣18）；4；﹣2．（2）設點G的坐標為（a，0）（a＞0），則點H的坐標為（ka，k2a）．∵△GHO是等腰直角三角形，∴分兩種情況考慮：①當∠OGH＝90°時，k2a＝ka，解得：k＝1；②當∠OHG＝90°時，a=2kak無解．同理，當點G在x軸負半軸時，可求出k＝1．綜上所述：k的值為1．（3）當x＝﹣1時，y=kx∴點M的坐標為（﹣1，﹣k），∴點M的k倍隨點N的坐標為（﹣2k，﹣2k2）．∵點N在反比例函數(shù)y=k∴﹣2k×（﹣2k2）＝k，解得：k1＝0（舍去），k2=12，k3∴k的值為12或-【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算、解方程組、等腰直角三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是：（1）利用伴隨點的定義，求出點D的坐標及k，n的值；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)，找出關(guān)于k的方程（或方程組）；（3）利用伴隨點的定義及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，找出關(guān)于k的方程．【變式5－2】（2019?海陵區(qū)二模）如圖所示，反比例函數(shù)y=33x在第一象限內(nèi)分支上有一動點A，連接AO并延長與另一分支交于點B，以AB為邊作一個等邊△ABC（1）當BC平行x軸時，試求出點C的坐標；（2）在點A運動過程中，直接寫出△ABC面積的最小值18；（3）在點C的運動路徑上是否存在點D，使得以A、B、C、D四個點構(gòu)成的四邊形為菱形？如果存在，請求出一個點D的坐標；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）過點A作AE⊥x軸于點E，由等邊三角形及平行線的性質(zhì)可得出∠AOE＝60°，通過解直角三角形及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A的坐標，利用中點對稱可求出點B的坐標，再利用軸對稱可求出點C的坐標；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式可得出S△ABC=34AB2，設點A的坐標為（x，33x），則點B的坐標為（﹣x，-33x（3）過點A作AF⊥x軸于點F，過點C作CM⊥x軸于點M，連接CO，易證△COM∽△OAF，利用相似三角形的性質(zhì)可得出CM?OM＝93，進而可得出點C在函數(shù)y=-93x（x＞0）的圖象上．①當BC∥x軸時，由（1）結(jié)合菱形的性質(zhì)（對角線互相垂直平分）可求出點D的坐標，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征驗證后即可得出結(jié)論；②當AC⊥x軸時，由等邊三角形的性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A的坐標，利用中心對稱可求出點B的坐標，利用軸對稱可得出點【解析】（1）過點A作AE⊥x軸于點E，如圖1所示．∵BC∥x軸，△ABC為等邊三角形，∴∠AOE＝∠ABC＝60°，∴AE=3OE又∵點A在反比例函數(shù)y=3∴AE?OE＝33，∴OE=3，AE＝3∴點A的坐標為（3，3）．∵點A，B關(guān)于原點O對稱，∴點B的坐標為（-3，﹣3∵點B，C關(guān)于直線x=3∴點C的坐標為（33，﹣3）．（2）∵△ABC為等邊三角形，∴S△ABC=12AB?32AB=設點A的坐標為（x，33x），則點B的坐標為（﹣x，∴AB2＝（﹣x﹣x）2＋（-33x-33x）2＝（2x）2＋（63x）2＝（2x-6∵（2x-63x）2∴AB2≥2?2x?63x=∴S△ABC=34AB2≥故答案為：18．（3）過點A作AF⊥x軸于點F，過點C作CM⊥x軸于點M，連接CO，如圖2所示．∵∠COM＋∠AOF＝90°，∠OAF＋∠AOF＝90°，∴∠COM＝∠OAF．又∵∠CMO＝∠OFA＝90°，∴△COM∽△OAF，∴CMOF∴CM=3OF，OM=3又∵OF?AF＝33，∴CM?OM＝93，∴點C在函數(shù)y=-93x（①當BC∥x軸時，如圖3所示．由（1）得：點A的坐標為（3，3），點B的坐標為（-3，﹣3），點C的坐標為（33，﹣3∵四邊形ABDC為菱形，∴點D的坐標為（-3+33-3，﹣3﹣3﹣3），即（3∵3×（﹣9）＝﹣93∴存在點D（3，﹣9），使得以A、B、C、D四個點構(gòu)成的四邊形為菱形；②當AC⊥x軸時，如圖4所示．∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°．同（1）可得出：點A的坐標為（3，3），∴點B的坐標為（﹣3，-3），點C的坐標為（3，﹣33∵四邊形ABCD為菱形，∴點D的坐標為（3＋3﹣（﹣3），3-33-（-3）），即（9∵9×（-3）＝﹣93∴存在點D（9，-3），使得以A、B、C、D【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、解直角三角形、三角形的面積、完全平方公式、菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征及反比例函數(shù)的對稱性，求出點A，B的坐標；（2）利用完全平方公式及偶次方的非負性，求出AB2的最小值；（3）利用相似三角形的性質(zhì)，找出點C的運動路徑的函數(shù)解析式．【達標檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2019?徐州）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函數(shù)y=2019x的圖象上，且x1＜0＜xA．y1＜y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2【答案】A．【解答】解：∵函數(shù)y=2019∴該函數(shù)圖象在第一、三象限、在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函數(shù)y=2019x的圖象上，且x1＜0＜x∴y1＜y2，故選：A．2．（2019?揚州）若反比例函數(shù)y=-2x的圖象上有兩個不同的點關(guān)于y軸的對稱點都在一次函數(shù)y＝﹣x＋mA．m＞22 B．m＜﹣22 C．m＞22或m＜﹣22 D．﹣22＜m＜2【答案】C【解答】解：∵反比例函數(shù)y=-2x的圖象上有兩個不同的點關(guān)于y軸的對稱點在反比例函數(shù)∴解方程組y=2xy=-x+m得x2﹣mx＋2∵y=2x的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x＋∴方程x2﹣mx＋2＝0有兩個不同的實數(shù)根，∴△＝m2﹣8＞0，∴m＞22或m＜﹣22，故選：C．3．（2019?無錫）如圖，已知A為反比例函數(shù)y=kx（x＜0）的圖象上一點，過點A作AB⊥y軸，垂足為B．若△OAB的面積為2，則A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【答案】D【解答】解：∵AB⊥y軸，∴S△OAB=12|∴12|k|＝2∵k＜0，∴k＝﹣4．故選：D．4．（2019?姑蘇區(qū)校級二模）設點A（x1，y1）和點B（x2，y2）是反比例函數(shù)y=kx圖象上的兩點，當x1＜x2＜0時，y1＞y2，則一次函數(shù)y＝﹣2x＋A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C．【解答】解：∵當x1＜x2＜0時，y1＞y2，∴反比例函數(shù)y=kx圖象上，y隨∴圖象在一、三象限，如圖1，∴k＞0，∴一次函數(shù)y＝﹣2x＋k的圖象經(jīng)過二、四象限，且與y軸交于正半軸，∴一次函數(shù)y＝﹣2x＋k的圖象經(jīng)過一、二、四象限，如圖2，故選C．5．（2019?宿遷）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD的頂點A與原點O重合，頂點B落在x軸的正半軸上，對角線AC、BD交于點M，點D、M恰好都在反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上，則A．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【解答】解：設D（m，km），B（t，0∵M點為菱形對角線的交點，∴BD⊥AC，AM＝CM，BM＝DM，∴M（m+t2，k把M（m+t2，k2m）代入y=kx得m+t∴t＝3m，∵四邊形ABCD為菱形，∴OD＝AB＝t，∴m2＋（km）2＝（3m）2，解得k＝22m2∴M（2m，2m），在Rt△ABM中，tan∠MAB=BM∴ACBD故選：A．6．（2019?淮安）當矩形面積一定時，下列圖象中能表示它的長y和寬x之間函數(shù)關(guān)系的是（）【答案】根據(jù)題意得到xy＝矩形面積（定值），故y與x之間的函數(shù)圖象為反比例函數(shù)，且根據(jù)x、y實際意義x、y應＞0，其圖象在第一象限；于是得到結(jié)論．【解答】解：∵根據(jù)題意xy＝矩形面積（定值），∴y是x的反比例函數(shù)，（x＞0，y＞0）．故選：B．二．填空題（共6小題）7．（2019?南通）如圖，過點C（3，4）的直線y＝2x＋b交x軸于點A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲線y=kx（x＞0）過點B，將點A沿y軸正方向平移a個單位長度恰好落在該曲線上，則a的值為【答案】4【解答】解：作CD⊥x軸于D，BF⊥x軸于F，過B作BE⊥CD于E，∵過點C（3，4）的直線y＝2x＋b交x軸于點A，∴4＝2×3＋b，解得b＝﹣2，∴直線為y＝2x﹣2，令y＝0，則求得x＝1，∴A（1，0），∵BF⊥x軸于F，過B作BE⊥CD于E，∴BE∥x軸，∴∠ABE＝∠BAF，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠EBC＝90°，∵∠BAF＋∠ABF＝90°，∴∠EBC＝∠ABF，在△EBC和△FBA中∠EBC=∴△EBC≌△FBA（AAS），∴CE＝AF，BE＝BF，設B（m，km∵4-km=m﹣1，m﹣∴4﹣（m﹣3）＝m﹣1，解得m＝4，k＝4，∴反比例函數(shù)的解析式為y=4把x＝1代入得y＝4，∴a＝4﹣0＝4，∴a的值為4．故答案為4．8．（2019?鎮(zhèn)江）已知點A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）都在反比例函數(shù)y=-2x的圖象上，則y1y2．（填“＞”或“【答案】＜【解答】解：∵反比例函數(shù)y=-2x的圖象在二、四象限，而A（﹣2，y1）、B（﹣1，∴在第二象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1∴y1＜y2．故答案為：＜9．（2019?無錫）某個函數(shù)具有性質(zhì)：當x＞0時，y隨x的增大而增大，這個函數(shù)的表達式可以是y＝x2（答案不唯一）（只要寫出一個符合題意的答案即可）．【答案】Y=-1X,y＝x【解答】解：y＝x2中開口向上，對稱軸為x＝0，當x＞0時y隨著x的增大而增大，故答案為：y＝x2（答案不唯一）．10．（2018?無錫）已知點A、B都在反比例函數(shù)y=6x（x＞0）的圖象上，其橫坐標分別是m、n（m＜n）．過點A分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別是C、D；過點B分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別是E、F，AC與BF交于點P．當點P在線段DE上、且m（n﹣2）＝3時，m的值等于【答案】1+7【解答】解：如圖，A（m，6m），B（n，6n），則P（m，∵點P在線段DE上，AD∥CE，∴△ADP∽△CEP，∴ADCE=AP∴m2＝（n﹣m）2，而n＞m＞0，∴m＝n﹣m，即n＝2m，把n＝2m代入m（n﹣2）＝2得m（2m﹣2）＝3，整理得2m2﹣2m﹣3＝0，解得m1=1+72，m即m的值為1+7故答案為1+711．（2018?南通）在平面直角坐標系xOy中，已知A（2t，0），B（0，﹣2t），C（2t，4t）三點，其中t＞0，函數(shù)y=t2x的圖象分別與線段BC，AC交于點P，Q．若S△PAB﹣S△PQB＝t，則t【答案】4【解答】解：如圖所示，∵A（2t，0），C（2t，4t），∴AC⊥x軸，當x＝2t時，y=t∴Q（2t，t2∵B（0，﹣2t），C（2t，4t），易得直線BC的解析式為：y＝3x﹣2t，則3x﹣2t=t解得：x1＝t，x2=-1∴P（t，t），∵S△PAB＝S△BAC﹣S△APC，S△PQB＝S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC，∵S△PAB﹣S△PQB＝t，∴（S△BAC﹣S△APC）﹣（S△BAC﹣S△ABQ﹣S△PQC）＝t，S△ABQ＋S△PQC﹣S△APC=12t＝4，故答案為：4．12．（2018?宿遷）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=2x（x＞0）的圖象與正比例函數(shù)y＝kx、y=1kx（k＞1）的圖象分別交于點A、B．若∠AOB＝45°，則△AOB的面積是【答案】2．【解答】解：如圖，過B作BD⊥x軸于點D，過A作AC⊥y軸于點C設點A橫坐標為a，則A（a，2a∵A在正比例函數(shù)y＝kx圖象上∴2a∴k=同理，設點B橫坐標為b，則B（b，2b∴2∴k=∴2∴ab＝2當點A坐標為（a，2a）時，點B坐標為（2a，∴OC＝OD將△AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ODA′∵BD⊥x軸∴B、D、A′共線∵∠AOB＝45°，∠AOA′＝90°∴∠BOA′＝45°∵OA＝OA′，OB＝OB∴△AOB≌△A′OB∵S△BOD＝S△AOC＝2×1∴S△AOB＝2故答案為：2三．解答題（共7小題）13．（2019?常州）如圖，在?OABC中，OA＝22，∠AOC＝45°，點C在y軸上，點D是BC的中點，反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（1）求k的值；（2）求點D的坐標．【分析】（1）根據(jù)已知條件求出A點坐標即可；（2）四邊形OABC是平行四邊形OABC，則有AB⊥x軸，可知B的橫坐標為2，D點的橫坐標為1，結(jié)合解析式即可求解；【解答】解：（1）∵OA＝22，∠AOC＝45°，∴A（2，2），∴k＝4，∴y=4（2）四邊形OABC是平行四邊形OABC，∴AB⊥x軸，∴B的橫縱標為2，∵點D是BC的中點，∴D點的橫坐標為1，∴D（1，4）；14．（2019?蘇州）如圖，A為反比例函數(shù)y=kx（其中x＞0）圖象上的一點，在x軸正半軸上有一點B，OB＝4．連接OA，AB，且OA＝AB＝2（1）求k的值；（2）過點B作BC⊥OB，交反比例函數(shù)y=kx（其中x＞0）的圖象于點C，連接OC交AB于點D，求【分析】（1）過點A作AH⊥x軸，垂足為點H，AH交OC于點M，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出DH的長，利用勾股定理可得出AH的長，進而可得出點A的坐標，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出k值；（2）由OB的長，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出BC的長，利用三角形中位線定理可求出MH的長，進而可得出AM的長，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出ADDB【解答】解：（1）過點A作AH⊥x軸，垂足為點H，AH交OC于點M，如圖所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH=12OB＝∴AH=OA∴點A的坐標為（2，6）．∵A為反比例函數(shù)y=k∴k＝2×6＝12．（2）∵BC⊥x軸，OB＝4，點C在反比例函數(shù)y=12∴BC=kOB∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH=12BC∴AM＝AH﹣MH=9∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴ADDB15．（2019?宿遷）如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y=-5x的圖象相交于點A（﹣1，m）、B（n，（1）求一次函數(shù)表達式；（2）求△AOB的面積．【分析】（1）先利用反比例函數(shù)解析式確定A點和B點坐標，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；（2）先求OD的長，根據(jù)面積和可得結(jié)論．【解答】解：（1）把A（﹣1．m），B（n，﹣1）代入y=-5x，得m＝5，n∴A（﹣1，5），B（5，﹣1），把A（﹣1，5），B（5，﹣1）代入y＝kx＋b得-k+b=55k+b=-1，解得∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x＋4；（2）x＝0時，y＝4，∴OD＝4，∴△AOB的面積＝S△AOD＋S△BOD=12×4×11