北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院《432統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)碩士歷年考研真題匯編（含部分答案）

目錄

2014年北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院432統(tǒng)計(jì)

學(xué)[專業(yè)碩士]考研真題（回憶版，含部

分答案）

2015年北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院432統(tǒng)計(jì)

學(xué)[專業(yè)碩士]考研真題（回憶版，含部

分答案）

2014年北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院432統(tǒng)計(jì)學(xué)[專業(yè)碩士]考研真題（回憶版，

含部分答案）

參考答案

一、解：從中不放回地抽取兩張，總的取法有種。

（1）52張撲克牌中共有四種花色，每種花色有13張牌，因此兩張牌花

色相同的情況有種。記A為事件“兩張牌花色相同”，則有：

（2）“花色相同的條件下，兩張牌數(shù)字不是次序相鄰”的對立事件為“花

色相同的情況下，兩張牌數(shù)字次序相鄰”，假設(shè)兩張牌來自其中的某一

種花色，則相鄰的情況共有12種。記B為事件“兩張牌數(shù)字次序相鄰”，

則在花色相同的條件下，兩張牌數(shù)字次序相鄰的概率為：

因此在花色相同的條件下，兩張牌數(shù)字不是次序相鄰的概率為：

二、解：設(shè)A表示事件“第二天下雨”，B表示事件“預(yù)報(bào)下雨”，則根據(jù)題

意可知

則“預(yù)報(bào)下雨，真的下雨”的概率為：

三、解：由于，因此當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)，有

對分布函數(shù)求導(dǎo)，得Y的概率密度函數(shù)為：

四、解：（1）因，故X的概率密度為

則當(dāng)0<y<1時(shí)，

因此Y的密度函數(shù)為

（2）

又

所以

五、解：由于第i分鐘所放射的粒子數(shù)與i-1分鐘放射的粒子數(shù)互不影

響，因此X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立。

（1）物理放射性試驗(yàn)中，每分鐘放射的粒子數(shù)服從泊松分布，設(shè)

,那么每分鐘放出粒子的概率為：

解得，所以

由于第i分鐘所放射的粒子數(shù)與i-1分鐘放射的粒子數(shù)互不影響，因此

相互獨(dú)立。所以

（2）由中心極限定理

所以有：

六、題目不完整

七、答：（1）假設(shè)檢驗(yàn)就是對問題進(jìn)行分析后，提出原假設(shè)和備擇假

設(shè)，然后根據(jù)樣本信息作出接受或拒絕原假設(shè)的決策，由于決策的依據(jù)

是樣本提供的信息，因此判斷有可能正確，也可能不正確，就是說，我

們面臨犯錯(cuò)誤的可能，所犯的錯(cuò)誤有兩種類型：

①第Ⅰ類錯(cuò)誤是原假設(shè)H0為真卻被拒絕了，犯這種錯(cuò)誤的概率用α表

示，所以也稱α錯(cuò)誤或棄真錯(cuò)誤；

②第Ⅱ類錯(cuò)誤是原假設(shè)為偽卻沒有被拒絕，犯這種錯(cuò)誤的概率用β表

示，所以也稱β錯(cuò)誤或取偽錯(cuò)誤。

對于一定的樣本量n，犯兩類錯(cuò)誤的概率是此消彼長的關(guān)系，因此不可

能做到使犯這兩類錯(cuò)誤的概率都很小。在假設(shè)檢驗(yàn)中，通常先控制α錯(cuò)

誤，再盡可能減小β錯(cuò)誤。若要同時(shí)減小犯兩類錯(cuò)誤的概率，只能增大

樣本量。

（2）在假設(shè)檢驗(yàn)中，通常拒絕H0的結(jié)論會(huì)更可靠，理由如下：

假設(shè)檢驗(yàn)依據(jù)的是小概率原理，即在原假設(shè)成立的前提下，小概率事件

一般是不會(huì)發(fā)生的，而如果發(fā)生了，說明原假設(shè)是值得懷疑的，此時(shí)拒

絕原假設(shè)。作出這個(gè)決策犯錯(cuò)誤的概率最大不超過給定的顯著性水平

α，是被控制的。

“接受原假設(shè)的結(jié)論”的含義是：我們所構(gòu)造的與原假設(shè)相矛盾的小概率

事件沒有發(fā)生，但可能還有許多其他的與原假設(shè)矛盾的小概率事件，我

們沒有也無法證實(shí)所有的這些小概率事件不會(huì)發(fā)生，所以無法拒絕原假

設(shè)。但是我們無法證明原假設(shè)是真的，故接受原假設(shè)的結(jié)論不可靠。

（3）設(shè)有參數(shù)分布族其中Θ是參數(shù)空間，F(xiàn)θ的分布形式已

知，但其分布與未知參數(shù)θ有關(guān)．是從總體Fθ中抽出的簡單隨機(jī)

樣本。

設(shè)對每個(gè)自然數(shù)n，是g（θ）一個(gè)估計(jì)量。

若依概率收斂到g（θ），即對任何及ε＞0有：

則稱為g（θ）的弱相合估計(jì)。

若對任何有：

則稱為g（θ）的強(qiáng)相合估計(jì)。

八、題目不完整。

九、解：設(shè)回歸直線的擬合值為，則根據(jù)最小二乘法，要使

達(dá)到最小。令

在給定樣本數(shù)據(jù)后，Q是的函數(shù)，且最小值總是存在。根據(jù)微積分

的極值定理，對Q分別求關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，即可求出

和，因此有

解上述方程組得：

在本題中。根據(jù)最小二乘估計(jì)可得：當(dāng)時(shí)，，故回

歸曲線過。當(dāng)時(shí)

因此估計(jì)曲線過。

十、解：方差分析的原假設(shè)與備擇假設(shè)分別為：

不全相等

總的離差平方和為

組間離差平方和為

誤差平方和為

設(shè)各總體方差為，s個(gè)水平共有N個(gè)樣本，則有

原假設(shè)成立時(shí)有

且SSA與SSE相互獨(dú)立，因此可構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

其否定域?yàn)?/p>

其中為檢驗(yàn)的顯著性水平。

2015年北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院432統(tǒng)計(jì)學(xué)[專業(yè)碩士]考研真題（回憶版，

含部分答案）

參考答案

一、解：由題意，“進(jìn)行了3次摸球游戲”等價(jià)于“第一次摸到紅球，第二

次摸到紅球，第三次摸到黑球”。第一次摸到紅球的概率為3/5，第二次

摸到紅球的概率為4/6，第三次摸到黑球的概率為2/7，根據(jù)概率的乘法

公式可知，進(jìn)行三次摸球游戲的概率為：

二、解：設(shè)表示使用第i種方式傳達(dá)，i=1，2，3分別表示“短信”，“郵

件”和“電話”；事件表示通知傳達(dá)成功。則根據(jù)題意有

，，

，，。

（1）根據(jù)全概率公式，被通知者準(zhǔn)時(shí)赴會(huì)的概率為：

（2）被通知者準(zhǔn)時(shí)赴會(huì)是使用短信通知的概率為：

三、題目不完整

四、解：（1）設(shè)X表示燈泡的壽命，則

因此5個(gè)燈泡的壽命都大于500的概率為：

（2）設(shè)機(jī)器的壽命為Y，依題意

其中是五個(gè)燈泡的壽命。由五個(gè)燈泡相互獨(dú)立得：

所以Y的密度函數(shù)為：

所以Y的期望為：

五、題目不完整。

六、解：根據(jù)矩估計(jì)的思想可知

故的矩估計(jì)為：

七、八、九題目不完整。

十、解：（1）采用最小二乘估計(jì)

設(shè)回歸直線的擬合值為，則根據(jù)最小二乘法，要使

達(dá)到最小。令

在給定樣本數(shù)據(jù)后，Q是的函數(shù)，且最小值總是存在。根據(jù)微積分

的極值定理，對Q分別求關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，即可求出

，因此有

解上述方程組得：

在本題中，。

（2）采用極大似然估計(jì)

各相互獨(dú)立。于是有

由Y1，Y2，…，Yn的獨(dú)立性，可得Y1，Y2，…，Yn的聯(lián)合密度為：

現(xiàn)用最大似然估計(jì)法來估計(jì)未知參數(shù)a，b。對于任意一組觀察值y1，

y2，…，yn