曲線積分與曲面積分總結(jié)

第十一章：曲線積分與曲面積分x二x(t)y二y(t)則原式」卩f(x(t),y(t加x'2(t)+y'2(t)dta對(duì)弧長的曲線積分Jf(x,y,z)ds=Jf(x(t),y(t),z(t))Jd2x+d2y+d2zL Lx=x(t)若L:<y=y(t)a<t<卩z=z(t)則原式二嚴(yán)f(x(t),y(t),z(t))、：'(x'(t))2x+(y'(t))2+(z'(t))2dta常見的參數(shù)方程為：Ix=x

y=y(x)1y=y(x)特別的：Jex2+y2ds=Je2ds=e2Jds=e2.2兀L為上半圓周x2+y2=2(y>0)二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分Jp(x,y)dx+q(x,y)dyL\x=x(t) c計(jì)算方法一：若L:< 起點(diǎn)處t=Q，終點(diǎn)處t=P則Iy=y(t)原式二卩p(x(t),y(t))x'(t)dt+q(x(t),y(t))y'(t)dta對(duì)坐標(biāo)的曲線積分JP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dzLx=x(t)L:<y=y(t)起點(diǎn)處t=a，終點(diǎn)處t=P貝ijz=z(t)二JPP(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)dt+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)dta計(jì)算方法二：在計(jì)算曲線積分時(shí)，通過適當(dāng)?shù)奶砑泳€段或曲線，是之變成一個(gè)封閉曲線上的曲線積分與所添加線段或曲線上的曲線積分之差，從而對(duì)前者利用格林公式，后者利用參數(shù)方程。JP(參數(shù)方程。JP(x,y)dx+q(x,yP(x,y)dx+q(x,y)dyL1=±JJ=±JJ(翌-生)dxdy」dxdy 」DP(x,y)dx+q(x,y)dy如圖：三、格林公式 xdy—Jp(x,y)dx+q(x,y)dy其中L為D的正向邊界TOC\o"1-5"\h\zox oy LD特別地：當(dāng)單—時(shí)，積分與路徑無關(guān),ox oy且J(y2)p(x,y)dx+q(x,y)dy=Jx2p(x,y)dx+Jy2q(x,y)dy(x1,y1) x1 1 y1 2dQdPP(x,y)dx+Q(x,y)dy=dU(x,y)是某個(gè)函數(shù)的全微分o =—dxoy注：在計(jì)算曲線積分時(shí)，通過適當(dāng)?shù)奶砑泳€段或曲線，是之變成一個(gè)封閉曲線上的曲線積分與所添加線段或曲線上的曲線積分之差，從而對(duì)前者利用格林公式。四、對(duì)面積的曲面積分TOC\o"1-5"\h\z1、當(dāng) 曲 面z—f(x,y)JJ卩(x,y,z)ds—JJ卩(x,y,f(x,y)\.;1+f2+f2dxdyx y為 Dxy2、 當(dāng) 曲y—f(x,z)JL(x,y,z)ds—JJ卩(x,f(x,z),z\：'1+f2+f2dxdzx z工 Dxz3、3、x—f(y,z)JJ卩(x,y,z)ds—JJP(f(y,z),y,z)J1+f2+f2dydzyzDyzDyz特別的：JJds-工面積。JJe、x2+y2+z2ds—JJe2ds—e2JJds—e22兀r2工為上半球面x2+y2+z2=2(z>0)五、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1、xy，且IJR(x,y,z)dxdy中，工只能為z=f(x,y)，它在xoy1、xy，且外法向量與Z軸正向的夾角為銳角，則原式=JJR(x,y,f(x,y))dxdy，否則為負(fù)；2、JJQ(x,y,z)dzdx中，工只能為y=f(x,z)，它在xoz面的投影為D，且xz外法向量與Y軸正向的夾角為銳角，則原式=JJR(x,f(x,z),z)dxdz，否則為負(fù)；艮JJP(x,y,z)dydz中，工只能為x=f(y,z)，它在yoz面的投影為D，且外法向yz量與久軸正向的夾角為銳角，則原式=JJR(f(y,z),y,z)dydz，否則為負(fù);D計(jì)算方法：JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,y,z)dzdx+R(x,y,z)dx=JJ,y,z)dzdx+R(x,y,z)dx工+工］)dv-JJp(y,z))dv-JJp(y,z)dydz+q(xy,z)dzdx+r(x,y,z)dxdyoxdydzTOC\o"1-5"\h\zO 工1注：在計(jì)算曲面積分時(shí)，通過適當(dāng)?shù)奶砑悠矫婊蚯?，是之變成一個(gè)封閉曲面上的曲面積分與所添加平面或曲面上的曲面積分之差，從而對(duì)前者利用高斯公式。六、高斯公式UPdydz+