2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)-二次函數(shù)的綜合附答案

2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)——二次函數(shù)的綜合附答案一、二次函數(shù)1．如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線的解析式；（2）若動點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】分析：（1）利用對稱性可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；（2）設(shè)P（m，m2-4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，表示PG的長，根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；（3）存在四種情況：如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)OM=PN列方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo)．詳解：（1）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D，由對稱性得：D（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3；（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG?AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴當(dāng)m=時，S有最大值是；（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），則-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）；如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐標(biāo)為（，）或（，）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時需要運(yùn)用配方法，解第（3）問時需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題．2．（10分）（2015?佛山）如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫．（1）請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）連接拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得△POA，求△POA的面積；（4）在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn)M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】試題分析：（1）利用配方法拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）聯(lián)立兩解析式，可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．根據(jù)S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入數(shù)值計算即可求解；（4）過P作OA的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，由于兩平行線之間的距離相等，根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等，可得△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，將P（2，4）代入，求出直線PM的解析式為y=x+3．再與拋物線的解析式聯(lián)立，得到方程組，解方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．試題解析：（1）由題意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；（2）聯(lián)立兩解析式可得：，解得：，或．故可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）；（3）如圖，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）過P作OA的平行線，交拋物線于點(diǎn)M，連結(jié)OM、AM，則△MOA的面積等于△POA的面積．設(shè)直線PM的解析式為y=x+b，∵P的坐標(biāo)為（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直線PM的解析式為y=x+3．由，解得，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題3．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是該拋物線對稱軸l上的一個動點(diǎn)，求△PBC周長的最小值；（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個動點(diǎn)（E與A、D不重合），過E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S．①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）.（2）.（3）①.②當(dāng)m=﹣2時，S最大，最大值為1，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點(diǎn)，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可.（2）根據(jù)BC是定值，得到當(dāng)PB+PC最小時，△PBC的周長最小，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長即可.（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，表示出E（m，2m+6），F(xiàn)（m，），最后表示出EF的長，從而表示出S于m的函數(shù)關(guān)系，然后求二次函數(shù)的最值即可.【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（－3，0），B（1，0），∴可設(shè)拋物線交點(diǎn)式為.又∵拋物線經(jīng)過C（0，3），∴.∴拋物線的解析式為：，即.（2）∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，且BC是定值.∴當(dāng)PB+PC最小時，△PBC的周長最小.∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對稱軸I對稱，∴連接AC交l于點(diǎn)P，即點(diǎn)P為所求的點(diǎn).∵AP=BP，∴△PBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=.∴△PBC的周長最小是：.（3）①∵拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4），A（﹣3，0），∴直線AD的解析式為y=2x+6∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，∴E（m，2m+6），F(xiàn)（m，）∴.∴.∴S與m的函數(shù)關(guān)系式為.②，∴當(dāng)m=﹣2時，S最大，最大值為1，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，2）.4．（12分）如圖所示是隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長是12m，寬是4m．按照圖中所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=x2+bx+c表示，且拋物線上的點(diǎn)C到OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為m.（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并計算出拱頂D到地面OA的距離；（2）一輛貨運(yùn)汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向車道，那么這輛貨車能否安全通過？（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？【答案】（1）拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=x2+2x+4，拱頂D到地面OA的距離為10m；(2)兩排燈的水平距離最小是4m．【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)點(diǎn)B和點(diǎn)C在函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法求出b和c的值，從而得出函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出最大值；根據(jù)題意得出車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2,0）（或（10,0）），然后求出當(dāng)x=2或x=10時y的值，與6進(jìn)行比較大小，比6大就可以通過，比6小就不能通過；將y=8代入函數(shù)，得出x的值，然后進(jìn)行做差得出最小值．試題解析：（1）由題知點(diǎn)在拋物線上所以，解得，所以所以，當(dāng)時，答：，拱頂D到地面OA的距離為10米（2）由題知車最外側(cè)與地面OA的交點(diǎn)為（2,0）（或（10,0））當(dāng)x=2或x=10時，，所以可以通過（3）令，即，可得，解得答：兩排燈的水平距離最小是考點(diǎn)：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個動點(diǎn)，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請說明理由.【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時，的面積取得最大值；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.【解析】分析：（1）把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出方程組求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)解析式設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DG⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，表示△ADE的面積，運(yùn)用二次函數(shù)分析最值即可；（3）設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三種情況討論分析即可．詳解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：y=；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，過點(diǎn)D作DN⊥x軸，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，如圖，設(shè)D（m，），則點(diǎn)F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH=×DF×AG+×DF×EH=×4×DF=2×（）=，∴當(dāng)m=時，△ADE的面積取得最大值為．（3）y=的對稱軸為x=﹣1，設(shè)P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：當(dāng)PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）；當(dāng)PA=AE時，=，解得：n=，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，）；當(dāng)PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2）．綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求拋物線解析式，會運(yùn)用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會分類討論解決等腰三角形的頂點(diǎn)的存在問題時解決此題的關(guān)鍵．6．如圖，拋物線y=ax2+6x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y=x﹣5經(jīng)過點(diǎn)B，C．（1）求拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M．①當(dāng)AM⊥BC時，過拋物線上一動點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；②連接AC，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或或；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．【解析】分析：（1）利用一次函數(shù)解析式確定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，則△AMB為等腰直角三角形，所以AM=2，接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，設(shè)P（m，-m2+6m-5），則D（m，m-5），討論：當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分別解方程即可得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)得到∠AM1B=2∠ACB，再確定N（3，-2），AC的解析式為y=5x-5，E點(diǎn)坐標(biāo)為（，-），利用兩直線垂直的問題可設(shè)直線EM1的解析式為y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直線EM1的解析式為y=-x-，則解方程組得M1點(diǎn)的坐標(biāo)；作直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對稱點(diǎn)M2，如圖2，利用對稱性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，設(shè)M2（x，x-5），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐標(biāo)，從而得到滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．詳解：（1）當(dāng)x=0時，y=x﹣5=﹣5，則C（0，﹣5），當(dāng)y=0時，x﹣5=0，解得x=5，則B（5，0），把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5；（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，則A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），∴△OCB為等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM⊥BC，∴△AMB為等腰直角三角形，∴AM=AB=×4=2，∵以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，AM∥PQ，∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x軸交直線BC于D，如圖1，則∠PDQ=45°，∴PD=PQ=×2=4，設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），則D（m，m﹣5），當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，綜上所述，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或或；②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，∵M(jìn)1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB為等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式為y=5x﹣5，E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣，設(shè)直線EM1的解析式為y=﹣x+b，把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，∴直線EM1的解析式為y=﹣x﹣解方程組得，則M1（，﹣）；作直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對稱點(diǎn)M2，如圖2，則∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，設(shè)M2（x，x﹣5），∵3=∴x=，∴M2（，﹣）.綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．7．如圖甲，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P．（1）求該拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C，P，M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)0＜x＜3時，在拋物線上求一點(diǎn)E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時，△CBE的面積最大．【解析】試題分析：（1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸，可設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，表示出MC、MP和PC的長，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，可分別得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過E作EF⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D，可設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出EF的長，進(jìn)一步可表示出△CBE的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最大值時E點(diǎn)的坐標(biāo)．試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線對稱軸為x=2，P（2，﹣1），設(shè)M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM為等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，①當(dāng)MC=MP時，則有=|t+1|，解得t=，此時M（2，）；②當(dāng)MC=PC時，則有=2，解得t=﹣1（與P點(diǎn)重合，舍去）或t=7，此時M（2，7）；③當(dāng)MP=PC時，則有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此時M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如圖，過E作EF⊥x軸，交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D，設(shè)E（x，x2﹣4x+3），則F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時，△CBE的面積最大，此時E點(diǎn)坐標(biāo)為（，），即當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時，△CBE的面積最大．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2﹣2x+a﹣3，當(dāng)a＝0時，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，將點(diǎn)A向右平移4個單位長度，得到點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）將拋物線在直線y＝a上方的部分沿直線y＝a翻折，圖象的其他部分保持不變，得到一個新的圖象，記為圖形M，若圖形M與線段AB恰有兩個公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；【解析】【分析】（1）由題意直接可求A，根據(jù)平移點(diǎn)的特點(diǎn)求B；（2）圖形M與線段AB恰有兩個公共點(diǎn)，y＝a要在AB線段的上方，當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A時，AB與函數(shù)兩個交點(diǎn)的臨界點(diǎn)；【詳解】解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）當(dāng)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A時，a＝0，∵圖形M與線段AB恰有兩個公共點(diǎn)，∴y＝a要在AB線段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a≤0；【點(diǎn)睛】本題二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)，函數(shù)與線段相交的交點(diǎn)情況是解題的關(guān)鍵．9．如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線的解析式；（2）若動點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】分析：（1）利用對稱性可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可得拋物線的解析式；（2）設(shè)P（m，m2-4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，表示PG的長，根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；（3）存在四種情況：如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)OM=PN列方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo)．詳解：（1）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D，由對稱性得：D（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3；（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG?AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴當(dāng)m=時，S有最大值是；（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），則-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐標(biāo)為（，）或（，）；如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐標(biāo)為（，）或（，）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）．點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時需要運(yùn)用配方法，解第（3）問時需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題．10．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）有一個點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動，另一個點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)M、N同時停止運(yùn)動，問點(diǎn)M、N運(yùn)動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求得BC的長，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分別根據(jù)這三種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得△MNB最大面積；此時點(diǎn)M在D點(diǎn)，點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【詳解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論：如圖1，①當(dāng)CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當(dāng)PB=PC時，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③當(dāng)BP=BC時，∵OC=OB=3∴此時P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設(shè)AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點(diǎn)N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點(diǎn)N在對稱軸上x軸下方2個單位處．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動，其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動，當(dāng)△PBQ存在時，求運(yùn)動多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？（3）當(dāng)△PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）y=x2﹣x﹣3（2）運(yùn)動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是（3）K1（1，﹣），K2（3，﹣）【解析】【詳解】試題分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數(shù)關(guān)系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=x﹣3．由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣3）．如圖2，過點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．結(jié)合已知條件和（2）中的結(jié)果求得S△CBK=．則根據(jù)圖形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m），把相關(guān)線段的長度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．解：（1）把點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以該拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣3；（2）設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC==5．如圖1，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H．∴QH∥CO，∴△BHQ∽△BOC，∴，即，∴HQ=t．∴S△PBQ=PB?HQ=（6﹣3t）?t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．當(dāng)△PBQ存在時，0＜t＜2∴當(dāng)t=1時，S△PBQ最大=．答：運(yùn)動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是；（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直線BC的解析式為y=x﹣3．∵點(diǎn)K在拋物線上．∴設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m2﹣m﹣3）．如圖2，過點(diǎn)K作KE∥y軸，交BC于點(diǎn)E．則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m﹣3）．∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．當(dāng)△PBQ的面積最大時，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．∴S△CBK=．S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m）=×4?EK=2（﹣m2+m）=﹣m2+3m．即：﹣m2+3m=．解得m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點(diǎn)問題時要注意該點(diǎn)的運(yùn)動范圍，即自變量的取值范圍．12．如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，對稱軸是直線，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且與直線關(guān)于的對稱直線交于點(diǎn)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是______；（2）直線與直線交于點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．過點(diǎn)作直線與線段、分別交于點(diǎn)，，使得與相似．①當(dāng)時，求的長；②若對于每一個確定的的值，有且只有一個與相似，請直接寫出的取值范圍______．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）直接用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求即可；（2）由對稱軸可知點(diǎn)C（2，），A（-，0），點(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)（，0），借助AD的直線解析式求得B（5，3）；①當(dāng)n=時，N（2，），可求DA=，DN=，CD=，當(dāng)PQ∥AB時，△DPQ∽△DAB，DP=9；當(dāng)PQ與AB不平行時，DP=9；②當(dāng)PQ∥AB，DB=DP時，DB=3，DN=，所以N（2，），則有且只有一個△DPQ與△DAB相似時，＜n＜.【詳解】（1）頂點(diǎn)為；故答案為；（2）對稱軸，，由已知可求，點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)為，則關(guān)于對稱的直線為，，①當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，；當(dāng)與不平行時，，，，；綜上所述；②當(dāng)，時，，，，，∴有且只有一個與相似時，；故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形的相似；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(-1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點(diǎn)D，連接DP、DQ.①若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，求△DPQ面積的最大值，并求此時點(diǎn)D的坐標(biāo)；②直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由.【答案】（1）拋物線y=-x2+2x+3；（2）①點(diǎn)D（）；②△PQD面積的最大值為8【解析】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；（2）（I）由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達(dá)式，過點(diǎn)D作DE∥y軸交直線PQ于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+），進(jìn)而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（II）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4+t，進(jìn)而可得出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），進(jìn)而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．詳解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3．（2）（I）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-時，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，-）．設(shè)直線PQ的表達(dá)式為y=mx+n，將P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直線PQ的表達(dá)式為y=-x+．如圖②，過點(diǎn)D作DE∥y軸交直線PQ于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+），∴DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，∴S△DPQ=DE?（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．∵-2＜0，∴當(dāng)x=時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8，此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．（II）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4+t，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-t2+2t+3），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系數(shù)法易知，直線PQ的表達(dá)式為y=-2（t+1）x+t2+4t+3．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，∴S△DPQ=DE?（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．∵-2＜0，∴當(dāng)x=t+2時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8．∴假設(shè)成立，即直尺在平移過程中，△DPQ面積有最大值，面積的最大值為8．點(diǎn)睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）（I）利用三角形的面積公式找出S△DPQ=-2x2+6x+；（II）利用三角形的面積公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．14．拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（OA＜OB），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)E也從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜2）．①過點(diǎn)E作x軸的平行線，與BC相交于點(diǎn)D（如圖所示），當(dāng)t為何值時，的值最小，求出這個最小值并寫出此時點(diǎn)E，P的坐標(biāo)；②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1時，有最小值1，此時OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】試題分析：（1）在拋物線的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到結(jié)果；（2）①由題意得：OP=2t，OE=t，通過△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值