2022年數(shù)學(xué)(百色專用)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案-第22課時(shí)解直角三角形

第22課時(shí)解直角三角形近五年中考考情2022年中考預(yù)測(cè)年份考查點(diǎn)題型題號(hào)分值預(yù)計(jì)將很可能在選擇題中考查解直角三角形的應(yīng)用，常用到仰角、俯角、方向角等概念，并穿插在解答題——實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算中考查30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，也可能與平行四邊形、特殊平行四邊形、函數(shù)等知識(shí)綜合考查．2021解直角三角形的應(yīng)用：仰俯角填空題176分尺規(guī)作圖背景下的求銳角三角函數(shù)選擇題92020解直角三角形選擇題123分2019解直角三角形、銳角三角函數(shù)的定義解答題26（3）3分2018解直角三角形、銳角三角函數(shù)的定義解答題22（2）4分2017解直角三角形的應(yīng)用：方向角選擇題103分,解直角三角形的應(yīng)用1.（2017年，10，3分）如圖，在距離鐵軌200m的B處，觀察由南寧開(kāi)往百色的“和諧號(hào)”動(dòng)車，當(dāng)動(dòng)車車頭在A處時(shí)，恰好位于B處的北偏東60°方向上；10s后，動(dòng)車車頭到達(dá)C處，恰好位于B處的西北方向上，則這時(shí)段動(dòng)車的平均速度是m/s.（A）A．20（eq\r(3)＋1）B．20（eq\r(3)－1）C．200D．3002.（2021年，17，3分）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為測(cè)量山頂電視塔的高度，在塔的橢圓平臺(tái)遙控?zé)o人機(jī)．當(dāng)無(wú)人機(jī)飛到點(diǎn)P處時(shí)，與平臺(tái)中心O點(diǎn)的水平距離為15m，測(cè)得塔頂A點(diǎn)的仰角為30°，塔底B點(diǎn)的俯角為60°，則電視塔的高度為20eq\r(3)m.銳角三角函數(shù)（滬科九上P112）正弦sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)＝eq\f(a,c)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b余弦cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq\f(b,c)正切tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(a,b)特殊角的三角函數(shù)值（滬科九上P117）銳角α三角函數(shù)30°45°60°圖示sinαeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)__eq\f(\r(3),2)cosαeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)_tanαeq\f(\r(3),3)___1eq\r(3)解直角三角形（滬科九上P124）1.解直角三角形常用的關(guān)系三邊關(guān)系a2＋b2＝c2在Rt△ABC中，∠C＝90°兩銳角關(guān)系∠A＋∠B＝90°邊角關(guān)系sinA＝cosB＝eq\f(a,c)cosA＝sinB＝eq\f(b,c)tanA＝eq\f(a,b)解直角三角形的應(yīng)用（滬科九上P126）2.解直角三角形應(yīng)用中的相關(guān)概念仰角、俯角由視線與水平線所夾的銳角中，當(dāng)視線在水平線上方時(shí)叫做仰角；當(dāng)視線在水平線下方時(shí)叫做俯角（如圖①）坡度（坡比）、坡角坡面的鉛直高度h和水平長(zhǎng)度l的比叫坡度（坡比），記作i；坡面與水平面的夾角α叫坡角，有i＝tanα＝eq\f(h,l)（如圖②）方向角平面測(cè)量時(shí)，通常以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，這種表示方向的角叫做方向角．點(diǎn)A位于點(diǎn)O的北偏東30°方向；點(diǎn)B位于點(diǎn)O的南偏東60°方向；點(diǎn)C位于點(diǎn)O的北偏西45°方向或西北方向（如圖③）1.（2021·桂林中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（3，4），連接OP，則OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值是（D）A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)【鏈接考點(diǎn)1】（第1題圖）（第2題圖）2.（2021·畢節(jié)中考）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB長(zhǎng)8m，則斜坡CD的長(zhǎng)為（B）A．6eq\r(2)mB．8eq\r(2)mC．4eq\r(6)mD．8eq\r(3)m【鏈接考點(diǎn)2，4】3.（2020·百色二模）如圖，在A處的正東方向有一港口B.某巡邏艇從A處沿著北偏東60°方向巡邏，到達(dá)C處時(shí)接到命令，立刻在C處沿東南方向以20nmile/h的速度行駛3h到達(dá)港口B.若取eq\r(2)≈1.41，eq\r(6)≈2.45，結(jié)果保留一位小數(shù)，則A，B兩處間的距離約為（C）A．42.3nmileB．73.5nmileC．115.8nmileD．119.9nmile（第3題圖）（第4題圖）4.（2020·百色一模）某無(wú)人機(jī)興趣小組在操場(chǎng)上開(kāi)展活動(dòng)（如圖），此時(shí)無(wú)人機(jī)在離地面30m的D處，無(wú)人機(jī)測(cè)得操控者A的俯角為37°，測(cè)得點(diǎn)C處的俯角為45°.又經(jīng)過(guò)人工測(cè)量操控者A和教學(xué)樓BC距離為57m，則教學(xué)樓BC的高度約為13m.（注：點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面上．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【鏈接考點(diǎn)4】5.（2018·百色中考）如圖，平行四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2AD，BD的中垂線分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，垂足為點(diǎn)O.（1）求證：OE＝OF；（2）若AD＝6，求tan∠ABD的值．【鏈接考點(diǎn)3】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB.∴∠FDO＝∠EBO.∵EF為BD的中垂線，∴DO＝BO.又∵∠DOF＝∠BOE，∴△DOF≌△BOE（ASA）.∴OE＝OF；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G.∵∠A＝60°，AD＝9，∴AG＝AD·cos60°＝3，DG＝AD·sin60°＝3eq\r(3).∵AB＝2AD，∴AB＝12.∴BG＝AB－AG＝9.∴tan∠GBD＝eq\f(DG,BG)＝eq\f(3\r(3),9)＝eq\f(\r(3),3).即tan∠ABD的值為eq\f(\r(3),3).銳角三角函數(shù)的定義及計(jì)算（重點(diǎn)）【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，則∠A的正切值為（A）A．3B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(10),10)D．eq\f(3\r(10),10)【解析】根據(jù)正切函數(shù)的定義求解即可．1.（2021·宜昌中考）如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則cos∠ABC的值為（B）A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(4,3)D．eq\f(2\r(2),3)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))2.如圖，在△ABC中，sinB＝eq\f(1,3)，tanC＝eq\f(\r(2),2)，AB＝3，則AC的長(zhǎng)為eq\r(3)．解直角三角形的應(yīng)用（重難點(diǎn)）【例2】（2020·北部灣中考）如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島40nmile的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15°的方向航行．（1）漁船航行多遠(yuǎn)距離小島B最近（結(jié)果保留根號(hào)）？（2）漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行20eq\r(6)nmile到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊(duì)求救，問(wèn)救援隊(duì)從B處出發(fā)沿著哪個(gè)方向航行到達(dá)事故地點(diǎn)航程最短，最短航程是多少（結(jié)果保留根號(hào)）？【解析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，解直角三角形即可得到結(jié)果；（2）在Rt△BCD中，解直角三角形求得∠CBD的度數(shù)，即可求得BC的長(zhǎng)和∠GBC的度數(shù)，從而得到結(jié)果．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，則AD即為所求．由題意，得∠BAF＝30°，∠DAF＝15°，AB＝40nmile.∴∠BAD＝∠ABD＝45°.∴AD＝BD＝AB·sin45°＝40×eq\f(\r(2),2)＝20eq\r(2)（nmile）.∴漁船航行20eq\r(2)nmile時(shí)距離小島B最近；（2）在Rt△BCD中，tanC＝eq\f(BD,CD)＝eq\f(20\r(2),20\r(6))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠C＝30°.∴∠DBC＝60°.∴BC＝2BD＝40eq\r(2)（nmile），∠GBC＝180°－30°－45°－60°＝45°.∴救援隊(duì)從B處沿南偏東45°的方向出發(fā)，最短航程是40eq\r(2)nmile.3.如圖是某商場(chǎng)營(yíng)業(yè)大廳自動(dòng)扶梯示意圖．自動(dòng)扶梯AB的傾斜角為30°，在自動(dòng)扶梯下方地面C處測(cè)得扶梯頂端B的仰角為60°，A，C之間的距離為4m.則自動(dòng)扶梯的垂直高度BD＝2eq\r(3)m.（結(jié)果保留根號(hào)）4.如圖，某測(cè)量小組為了測(cè)量山BC的高度，在地面A處測(cè)得山頂B的仰角為45°，然后沿著坡度為i＝1∶eq\r(,3)的坡面AD走了200m到達(dá)D處，此時(shí)在D處測(cè)得山頂B的仰角為60°，則山高BC為100（eq\r(3)＋1）m.eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\d