2022年數(shù)學(xué)(百色專(zhuān)用)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案-教材知識(shí)特訓(xùn)8幾何最值模型

教材知識(shí)特訓(xùn)八幾何最值模型垂線段最短模型模型點(diǎn)撥：直線l外有一定點(diǎn)A，點(diǎn)B是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在直線l上求一點(diǎn)B，使得AB最?。?dāng)AB′⊥l時(shí)，線段AB′即為所求．【例1】如圖，△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是線段AD和AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，EF，則CE＋EF的最小值為3eq\r(3)．【解析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E，則此時(shí)CE＋EF的值最小，且最小值為CF的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BF＝eq\f(1,2)AB，再根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果．【例2】如圖，在?ABCD中，AD＝7，AB＝2eq\r(3)，∠B＝60°.點(diǎn)E是邊BC上任意一點(diǎn)，沿AE剪開(kāi)，將△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四邊形AEFD，則四邊形AEFD周長(zhǎng)的最小值為20．【解析】當(dāng)AE⊥BC時(shí)，四邊形AEFD的周長(zhǎng)最小．∵AE⊥BC，AB＝2eq\r(3)，∠B＝60°，∴AE＝3，BE＝eq\r(3).∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF＝BC＝AD＝7.再根據(jù)周長(zhǎng)公式即可求解．兩點(diǎn)之間線段最短模型（一）“兩定一動(dòng)”求距離和最小模型點(diǎn)撥：（1）如圖1，在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到直線l外兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小，即PA＋PB最?。B接AB，與直線l交于點(diǎn)Q即可；（2）如圖2，在定直線l上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使動(dòng)點(diǎn)P到直線l外兩個(gè)定點(diǎn)A與B的距離之和最小，即PA＋PB最?。鞫c(diǎn)B關(guān)于定直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接AC，與直線l交于點(diǎn)Q即可．【例3】“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳上的點(diǎn)A出發(fā)，奔向小河旁邊的點(diǎn)P飲馬，飲馬后再到點(diǎn)B宿營(yíng)，若點(diǎn)A，B到水平直線l（l表示小河）的距離分別是2，1，A，B兩點(diǎn)之間水平距離是4，則AP＋PB的最小值為5．【解析】首先作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)AP＋PB最小；然后可得AP＋PB的最小值為A′B的長(zhǎng)．【例4】（2021·畢節(jié)中考）如圖，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q為AB的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的任意一點(diǎn)，則AP＋PQ的最小值為eq\r(3)．【解析】連接PC，AC，CQ.證明△ABP≌△CBP，可得PA＝PC，則PA＋PQ＝PC＋PQ≥CQ，通過(guò)解Rt△CQB求出CQ，即可得出答案．（二）“兩定一動(dòng)”求距離差最大模型點(diǎn)撥：（1）如圖1，在直線l上取一點(diǎn)P，使得|PA－PB|最大．連接AB并與直線l交于點(diǎn)P即可；（2）如圖2，在直線l上取一點(diǎn)P，使得|PA－PB|最大．作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′并與直線l交于點(diǎn)P即可．【例5】如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，點(diǎn)P為CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA－PB|的最大值為4．【解析】作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B并延長(zhǎng)，交CD于P，則點(diǎn)P就是使|PA－PB|的值最大的點(diǎn)，此時(shí)|PA－PB|＝A′B.（三）“一定兩動(dòng)”求距離和最小模型點(diǎn)撥：點(diǎn)A在角的內(nèi)部，在角的兩邊上分別取兩個(gè)點(diǎn)M，N使得△AMN的周長(zhǎng)最小．分別作點(diǎn)A關(guān)于角兩邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，并與角的兩邊分別交于點(diǎn)M，N即可．【例6】（2021·百色模擬）如圖，已知正比例函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象與x軸相交所成的銳角為70°，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M，N為函數(shù)y＝kx（k＞0）的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM＋MP＋PN的最小值為（C）A．2B．4sin40°C．2eq\r(3)D．4sin20°（1＋cos20°＋sin20°cos20°）【解析】作y軸關(guān)于直線y＝kx對(duì)稱(chēng)的直線OC，直線y＝kx關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的直線OD，點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于直線y＝kx的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作A′E⊥OD，垂足為點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)P，交直線y＝kx于M，作PN⊥直線y＝kx，垂足為點(diǎn)N，此時(shí)AM＋MP＋PN＝A′M＋MP＋PE＝A′E最小（垂線段最短），在Rt△A′EO中利用勾股定理即可得出結(jié)果．（四）圖形繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)求最值模型點(diǎn)撥：將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到△A′B′C，點(diǎn)E是BC上的點(diǎn)，點(diǎn)F為AB上的點(diǎn)，△ABC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)F對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F′，可求線段EF′長(zhǎng)度的最大值為CF′＋CE，最小值為|CF′－CE|.【例7】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是A′B′的中點(diǎn)，連接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，則線段PM的最大值是3．【解析】連接PC.首先根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求出PC＝2，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得到PM≤PC＋CM（當(dāng)點(diǎn)P，C，M在同一條直線上時(shí)取“＝”），故此可得到PM的最大值為PC＋CM的值．過(guò)圓心的最值模型（點(diǎn)或線段繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）模型點(diǎn)撥：已知⊙O半徑為r，AO＝d，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，AP取得最小值為AB的長(zhǎng)；點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，AP取得最大值為AC的長(zhǎng)．【例8】（2021·涼山州中考）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，⊙C的半徑為eq\r(3)，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙C的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為3．【解析】連接CP，CQ，作CH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝CB＝4，∠BCH＝eq\f(1,2)∠ACB＝eq\f(1,2)×60°＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BH＝eq\f(1,2)AB＝2，CH＝eq\f(\r(3),2)BC＝eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，由切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理得到PQ＝eq\r(CP2－CQ2)＝eq\r(CP2－3)，推出當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H時(shí)，CP最小，于是得到結(jié)論．【例9】如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA，PB與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，則AB的最小值為6．【解析】連接OP.∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°.∵OA＝OB，∴AB＝2OP.若要使AB