2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市鞍鋼高級(jí)中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年遼寧省鞍山市鞍鋼高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期10月

月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知直線/的方向向量為（-1,石），則該直線的傾斜角為（）

A.30B.60

C.120D.150°

【答案】C

【分析】求出直線/的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得直線/的傾斜角.

【詳解】設(shè)直線/的傾斜角為a,則tana=正=,

—1

?.?0<a<180.故a=120，

故選：C.

2.若直線4：6x+/ny+l=O與直線4：y=3x-1平行，則兩條直線之間的距離為（）

A3M口3M「回n9

?-------D?--------Vx?----------LJ?------

2010105

【答案】A

【分析】化簡(jiǎn)直線4的方程，求出加=-2,再利用兩平行線間的距離公式求解.

【詳解】由題得直線，2：6x-2y-2=0,所以澳=一2,

_|-2-1|33710

所以兩平行線之間的距離為斤/二麗二百.

故選：A

3.已知向量。=（3,-1,2）,6=（-1,3,-2）,c=（6,2,A）,若￡,h?"三向量共面，則實(shí)

數(shù)4=（）

35

A.-B.2C.-D.3

22

【答案】B

【分析】根據(jù)共面向量定理列等式，解方程即可.

【詳解】b，"三向量共面，

...存在實(shí)數(shù)機(jī)，"，使得"=自+而，即（6,2,/1）=（3n一機(jī)2利）+（-〃,3",-2"）,

3tn-n=6

53

<3n-tn=2,解得用二一，=-,2=2.

2n2

2m-In=2

故選：B.

4.在長(zhǎng)方體—A4GA中，ZD,AD=60°,ZC,DC=30°,則異面直線AR與。G

所成角的余弦值是()

A.巨B.在C.巫D.亞

4444

【答案】B

【分析】先將兩個(gè)異面直線平移到同一平面上，畫(huà)出兩條異面直線的夾角，然后構(gòu)造三

角形，算出三角形的邊長(zhǎng)，利用余弦定理計(jì)算出其夾角的余弦值即可.

【詳解】連接8G，BO,顯然8CJ/AA，所以異面直線與。G所成角為N8CQ,

不妨設(shè)AD=5C=1,因?yàn)镹RA￡>=60。，所以A〃=2,OR=G,得8G=2,又因?yàn)?/p>

NCgC=30。，所以00=26，8=3,因?yàn)?=3,AD=BC=\,由勾股定理可

忸G『+|G。--忸可_6

知83=瓶，在ABCQ中由余弦定理得cosNBCQ=2照m一一'所以

4

異面直線AR與DC,所成角的余弦值為也.

4

故選：B

5.設(shè)O-A8C是正三棱錐，。是AABC的重心，G是。5上的一點(diǎn)，且。G=3GG-

^OG=xOA+yOB+zOC,則(x,y,z)為()

333、

B.

D.

【答案】A

【分析】如圖所示，連接AG/交BC于點(diǎn)例,則M為BC中點(diǎn)，利用空間向量的運(yùn)算法則

3111

求得礪=2西=上）+上函走，即得（x,y,z）.

4444'

【詳解】如圖所示，連接4G/交8c于點(diǎn)M,則M為8C中點(diǎn),

AM=i(AB+AC)=1(0B-20A+0C),

A^=-^f=1(OB-2OA+OC).

因?yàn)?G=3GG1

所以詬=3西=3(西―礪)，

OG=|OG^.

貝歷=灑=2+同=：(次+)_打+：元＞那+；麗+(近,

1

???_x——,_y1=一,_z1——,

4.44

故選：A.

6.圓C:f+y2=2關(guān)于直線x-2y+5=。對(duì)稱的圓的方程為()

A.(x+2)2+(y-4)2=2B.(x-2)2+(y+4)2=2

C.(x+4)2+(y-6)2=2D.(x-4『+(y+6/=2

【答案】A

h

-=—2

【解析】設(shè)對(duì)稱圓的方程為(X-4+(y-0)2=2,則，a,解出即可.

q-"5=0

12

b

一=一2,

【詳解】設(shè)對(duì)稱圓的方程為(x-4+(y-力=2,則，a

1-2-b+5=0,

a=-2

解得

h=4

故所求圓的方程為(x+2)2+(>-4)2=2,

故選：A

7.在一平面直角坐標(biāo)系中，已知4(-1,6),8(2,-6),現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60。的

二面角，則折疊后A,8兩點(diǎn)間的距離為()

A.2幣B.&C.V17D.3石

【答案】D

【分析】平面直角坐標(biāo)系中已知A(-l,6),8(2,-6),現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60。的二

面角后，通過(guò)向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解距離即可.

【詳解】解：平面直角坐標(biāo)系中己知A(-l,6),8(2,-6),沿x軸將坐標(biāo)平面折成60。

的二面角后，

作ACLx軸，交x軸于C點(diǎn)，作軸，交x軸于。點(diǎn)，

貝lj|碼=6,|CD|=3,阿卜6,AC±CD,CDLDB,AC,DB的夾角為120°

AB=AC+CD+DBy

AB=AC+CD+DB+2AC-CD+2CD-DB+2AC-而=6?+3?+6?-2x6x6xL45

2

貓=3底

即折疊后A,B兩點(diǎn)間的距離為3右.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合

思想的合理運(yùn)用.

8.已知四面體ABC。中，AB,BC,8。兩兩垂直，BC=BD=y/l>AB與平面AC￡>

所成角的正切值為g，則點(diǎn)8到平面AC。的距離為()

A.BB.漢?C.—D.偵

2355

【答案】D

【分析】首先以B為原點(diǎn)，BC,BD,W分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，BA=t,

根據(jù)A8與平面ACD所成角的正切值為g得到t=2,再求B到平面ACD的距離即可.

【詳解】以B為原點(diǎn)，BC,BD,84分別為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

所示：

設(shè)8A=f,t>0,網(wǎng)0,0,0),C(V2,0,0),D(0,72,0),A(0,0,r).

AB=(0,0,-r),CA=(-V2,0,r),CD=(-&6,6).

設(shè)平面ACO的法向量”=(x,y,z),

nCA=-\[lx+fz=0V2

令x=l,得y=i2=

n-CD=-丘x+叵y=0

故3=1,1,—.

If)

因?yàn)橹本€AB與平面ACO所成角的正切值為

所以直線A8與平面ACO所成角的正弦值為4.

力亞

即I2~-5，解得，=2.

-（內(nèi)

所以平面ACZ）的法向量〃=覃,學(xué)

\/

AB-n\V2275

故到平面。的距離為"

BAC問(wèn)

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量法求點(diǎn)到面的距離，同時(shí)考查線面成角問(wèn)題，屬于中檔題.

二、多選題

9.已知四面體4BC。中，AB,4C,AO兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，一定成立的是（）

A.\AB+AC+AD\=\AB+AC-AD\

B.|通+前+砌2=|通『+|/|2+|砌2

C.（AB+AC+AD）BC=O

D.ABCD=ACBD=ADBC

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意在一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)部作出四面體A8CQ,從圖形上把各個(gè)向量對(duì)應(yīng)的有

向線段表示出來(lái)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由題可知，可做如圖所示的長(zhǎng)方體，設(shè)|恁卜。,|而卜修福卜c.

AB+AC+AD=AE+AD=AE+EF=AF,\AF\=yla2+b2+c2,

AB+AC-AD=AE-AD=DE,[D^=yJa2+b2+c2,故A正確；

[AB+AC+AD^AF^^+b2+c2=|AB|2+|AC|2+|AD|2,故B正確;

?.?4)，平面4?！?,，4)[8(7,Ab.BC=O,

A(AB+AC+AD)BC=(A￡+AD)BC=AEBC,但無(wú)法判斷AE和8C是否垂直，故

C不一定正確；

由圖易知麗J.而，/，而，而J.南，故施.前==而.配=0,故D正確.

故選：ABD.

10.對(duì)于直線4：依+2)，+34=04：3》+(。-1)?+3-。=0.以下說(shuō)法正確的有()

A.乙〃/2的充要條件是“=3

2

B.當(dāng)〃=g時(shí)，/,-L/2

C.直線4一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,0)

D.點(diǎn)P(l,3)到直線4的距離的最大值為5

【答案】BD

2

【分析】求出4〃4的充要條件即可判斷A;驗(yàn)證時(shí)，兩直線斜率之積是否為-1,判

斷B;求出直線4經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)即可判斷C;判斷何種情況下點(diǎn)P(1,3)到直線4的距離最大，

并求出最大值，可判斷D.

【詳解】當(dāng)4時(shí)，?(?-1)-6=0解得。=3或4=—2,

當(dāng)”=-2時(shí)，兩直線為x-y+3=0,x-y+g=0,符合題意；

當(dāng)。=3時(shí)，兩直線為3x+2y+9=0,3x+2y=0,符合題意，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)a、時(shí)，兩直線為x+5y+3=0,15x-3y+13=0,勺4=工5=-1,

所以4,"，故B正確；

直線4:or+2y+3"=0即直線a(x+3)+2y=0,故直線過(guò)定點(diǎn)(一3,0),C錯(cuò)誤；

因?yàn)橹本€點(diǎn)辦+2y+3“=0過(guò)定點(diǎn)(-3,0),當(dāng)直線4：辦+2?+3a=0與點(diǎn)P(l,3)和

(-3,0)的連線垂直時(shí)，P(l,3)到直線人的距離最大，最大值為J(l+3)2+(3-O)2=5,

故D正確，

故選：BD.

11.圓C:f+y2+4x-6y-3=0,直線/:3x-4y-7=0,點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)。在直線/

上，則下列結(jié)論正確的是()

A.直線/與圓C相交

B.|PQ|的最小值是1

C.從。點(diǎn)向圓C引切線，切線長(zhǎng)的最小值是3

D.直線y=Z(x-2)+4與曲線y='有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)火的取值范圍

了53,

是鉆不

【答案】BCD

【分析】計(jì)算出圓心C到直線/的距離d,比較d與圓C的半徑的大小關(guān)系，可判斷A

選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出忙。的最小值，可判斷B選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出切線長(zhǎng)的最小值，可

判斷C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出直線y=%(x-2)+4與曲線y=i+Q巨相切時(shí)以及直線

y=Z(x-2)+4過(guò)點(diǎn)(-2,1)時(shí)的左值，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2y+(y-3)2=16,圓心為C(-2,3),半徑為廠=4.

|3x(-2)-4x3-7|

對(duì)于A選項(xiàng)，圓心C到直線/的距離為d==5>4,

M+㈠Y

所以，直線/與圓C相離，A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng)，|PQ|的最小值為d-r=l,B對(duì);

對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示：

從。點(diǎn)向圓C引切線，設(shè)切點(diǎn)分別為M、N,連接CM,則CM，/。,

P!iJ|MQ|=7|ce|2-|CM|2=7|ce|2-i6,

當(dāng)CQ1/時(shí)，|C0取得最小值，此時(shí)取得最小值，即刖,““=:52-16=3,C對(duì);

對(duì)于D選項(xiàng)，由y=l+，4-x2?1得y-1=14-d，即x?+（y—1）=4,

所以，曲線了=1+口且表示圓V+（y-l）2=4的上半圓，

而直線y=Mx-2）+4表示過(guò)點(diǎn)A（2,4）且斜率為左的直線，如下圖所示：

當(dāng)直線y=^x-2）+4與圓J+（y_i）2=4相切，且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，則§器=2,

解得A=g

a

當(dāng)直線y=Mx-2）+4過(guò)點(diǎn)E（—2,1）時(shí)，則4一4k=1,解得Z=：.

由圖可知，當(dāng)y=k（x—2）+4與曲線y=i+“T^有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，上的取值范圍

4D對(duì).

故選：BCD.

12.已知正方體A3CD-A耳的邊長(zhǎng)為2,M為CG的中點(diǎn)，P為側(cè)面8CCg上的

動(dòng)點(diǎn)，且滿足AM〃平面A8P,則下列結(jié)論正確的是（）

A.AM±B]MB.C.〃平面48P

C.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為亞D.A"與A4所成角的余弦值為亞

33

【答案】BC

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量法判斷各選項(xiàng).

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體樓長(zhǎng)為2,

則A（0,0,2）,4（0,2,2）,5（0,0,0）,M（2,l,0）,P（x,y,0）,

所以踵=(O,—2,-2),旃=(x,y,o),AM=(2,1,-2),

由AM〃平面ABP,

O+hx=2

AM-a^B+bBP,即-2a+勿=1,化簡(jiǎn)可得3x—2y=0,

-2a=-2

所以動(dòng)點(diǎn)P在直線3x-2y=0上，

A選項(xiàng)：AM=(2,1,-2),麗=(2,T,0),AMB.M=2x2+lx(-l)+(-2)x0=3^0,

所以而與麗■不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：CDJ/A.B,ABu平面ABP,CR(Z平面A,8P,所以C?！ㄆ矫?BP,B選

項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)：動(dòng)點(diǎn)P在直線3x-2y=0上，且尸為側(cè)面BCG瓦上的動(dòng)點(diǎn)，則尸在線段上,

匕(1,2,0),所以q8=/(?]+22+。2=半，C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)：4^=(0,0,-2),cos(\M,A/)=+產(chǎn)+(_2：=|,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

三、填空題

13.平面a的斜線/與平面a交于點(diǎn)A,且斜線/與平面a所成的角是]，則/與平面a

內(nèi)所有不過(guò)點(diǎn)A的直線所成角的范圍是.

【答案】離

【分析】根據(jù)線面角中最小角定理求解即可.

【詳解】斜線/與平面。所成角是jr￡,則直線/與平面內(nèi)所有直線所成角中最小角為T(mén)JT,

44

顯然最大角為所以范圍為5.

故答案為：n.

14.已知圓M過(guò)點(diǎn)A（l,l）、氏1,-2）、C（3,-2）,則圓M的方程為.

【答案】X2+/-4X+J+1=0

【分析】利用待定系數(shù)法即得.

【詳解】設(shè)圓〃的方程為/+，2+m+曰+尸=0,

\+\+D+E+F=O

則（1+4+D-2E+尸=0,

9+4+3D-2E+F=0

解得O=-4,E=1,F=1,

所以圓M的方程為丁+>2-4%+），+1=0.

故答案為：x2+y2-4x+y+]=0.

15.若直線/：x-&y+9=0被圓C：/+>2+2%-%=。截得線段的長(zhǎng)為6,則實(shí)數(shù)"?的

值為.

【答案】24

【分析】把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理進(jìn)

行求解.

【詳解】把圓C：x~++2x—，"=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程有：（x+l）~+）廣=1+機(jī)，

所以圓心C（-1,O）,半徑r=&7荷，又直線/：x-b+9=0,

jI-1—0+91

所以圓心C到直線的距離為“="+（_.2=4，

因?yàn)橹本€/：x-gy+9=0被圓C：/+丁+2入-〃7=0截得線段的長(zhǎng)為6,

根據(jù)勾股定理有：/+32=，，解得「=5,

所以r=Jl+〃？=5,解得機(jī)=24.

故答案為：24.

16.兩個(gè)非零向量向B，定義|￡xB|=|￡||B|sin位小.若2=（1,0,1）,5=（0,2,2）,則

忖x同=.

【答案】2叢

【分析】根據(jù)新定義及向量夾角公式計(jì)算即可.

［詳解］因?yàn)橥?正+/=及洶=@+22=2。,蒜=2,

ab21

所以cos(1，0-=一

同同42'

故答案為：2百

17.如圖，已知四棱錐P—4BC。的底面是平行四邊形，E為A。的中點(diǎn)，尸在以上,

AP=\AF,若尸C〃平面BEE則入的值為.

【答案】3

4r71

【分析】根據(jù)三角形相似可推得黑=再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理推出PC〃/G,

AC3

ApAC

即可得%=1=3,從而求得入的值.

AFAG

【詳解】設(shè)4C交8E于G點(diǎn)，連接FG如圖:

p

由于E為AO的中點(diǎn)，故AE=1AO=!BC,

22

因?yàn)榈酌鍭BC。是平行四邊形，故")〃BC，則AAEGSACBG,

AGAE1,AG

友=拓=5'所rri>以左3

又因?yàn)镻CW面8EF,PCu平面B4C,平面BICn平面8EF=FG

APAC

故PC//FG,所以獷益=3，即有石3'

故答案為：3

18.已知點(diǎn)4-3,4),8(2,2),直線如+y+，〃+2=0與線段轉(zhuǎn)相交，則m的范圍為

4

【答案】G,”)5-,

【解析】先求出24的斜率和PB的斜率，可得用的范圍.

【詳解】解：直線，nr+y+〃?+2=0,即，〃(x+l)+y+2=0,

它經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(-l,-2),斜率為一機(jī)，

4+22+24

率的斜率為京1r.勺斜率為有十

,直線〃a+>+機(jī)+2=0與線段48相交,

44

.一M,一3或m…一，求得機(jī).3或機(jī)，—,

33

4

故答案為：E內(nèi)）59，

19.已知點(diǎn)P（2⑵，若圓C:（x-5）2+（y-6）2=/（r>0）上存在兩點(diǎn)A,8,使得蘇=2而,

則,的取值范圍是

【答案】14廠<5

【分析】取A8的中點(diǎn)。，設(shè)CO=4,根據(jù)弦長(zhǎng)公式結(jié)合條件可得瘍彳=5護(hù)二至，

再由04/<r即得.

【詳解】由圓C:（x—5）2+（尸6）2=產(chǎn)（「>0）,可得圓心C（5,6）,

|CP|=7（5-2）2+（6-2）2=5,

取AB的中點(diǎn)O，連接PC,CD,

因?yàn)槲?2而，所以|叫=5|44,

設(shè)CD=d,在RgPCZ）中，由勾股定理可得：|PD\=^PC|2-|C￡>|2=yj25-d2,

在RtZ\AC￡>中，由勾股定理可得：\AD\=yj\AC^-|C￡>|2=yjr2-d2,

所以任二萬(wàn)=55方，整理可得：蕾=||（，-1）,

因?yàn)榘藃,所以屋=算，一1）〈/，解得：r<5,

因?yàn)?=||（/一1）20,所以止1，所以1立<5.

故答案為：l<r<5.

20.在正三棱柱ABC-A4G中，45==1,點(diǎn)P滿足麗=九沅+〃明'，其中

/l€[0,l],〃€[（）/],則下列說(shuō)法中，正確的有（請(qǐng)?zhí)钊胨姓_說(shuō)法的序號(hào)）

①當(dāng)4=1時(shí)，△AB/的周長(zhǎng)為定值

②當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐尸-ABC的體積為定值

③當(dāng)2=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AF^BP

④當(dāng)〃=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AB_L平面48f

【答案】②④

【分析】①結(jié)合丸=1得到P在線段CC,上，結(jié)合圖形可知不同位置下周長(zhǎng)不同；②由線

面平行得到點(diǎn)到平面距離不變，故體積為定值；③結(jié)合圖形得到不同位置下有

A.P1BP,判斷出③錯(cuò)誤；④結(jié)合圖形得到有唯一的點(diǎn)P,使得線面垂直.

【詳解】由題意得：麗=4就+〃甌，A€[0,1],z/e[0,lJ,所以P為正方形BCC由內(nèi)

一點(diǎn)，

①，當(dāng);1=1時(shí)，旃=配+〃西，即方=〃西，所以P在線段CG上，所以△AB/

周長(zhǎng)為AB,+4P+Bf,如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在q￡處時(shí)，8出+A[#B冏+A￡,故①

錯(cuò)誤：

AxGBl

c

圖1

②，如圖2,當(dāng)〃=1時(shí)，即即=4就+西，即即5=/1就，/le[0,l],所以尸在4G上,

匕c=1S^BC-h,因?yàn)?G〃BC,B￡<2平面ABC，8Cu平面ABC，所以點(diǎn)尸到

平面A8C距離不變，即力不變，故②正確;

G

圖2

1___1_______

③，當(dāng)2=5時(shí)，即8P=Q8C+〃BA，如圖3,M為BC中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，尸是

MN上一動(dòng)點(diǎn)，易知當(dāng)2=0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，由于AABC為等邊三角形，N為

BC中點(diǎn)，所以4N_LBC,又4A，BC,ClAN=A，所以BN上平面AMWR,因?yàn)锳尸u

平面AMWA，則82，4尸，當(dāng)〃=1時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，可證明出AM_L平面

8CC百，而B(niǎo)Mu平面BCGM，則即A,P_L8P,故③錯(cuò)誤；

1______1____

④，當(dāng)"=；時(shí)，即BPu/lBC+jBq,如圖4所示，力為B片的中點(diǎn)，E為CC的中點(diǎn),

則P為DE上一動(dòng)點(diǎn)，易知ABLAg,若48,平面A8/,只需用產(chǎn)即可，取8c

的中點(diǎn)F,連接4尸，8尸，又因?yàn)锳尸，平面8CG4,所以人尸，8/，若AB_L8/,

只需平面AEB,即B/_LB尸即可，如圖5,易知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，

用尸，BF故只有一個(gè)點(diǎn)P符合要求，使得平面AB7,故④正確.

故選：②④

【點(diǎn)睛】立體幾何的壓軸題，通常情況下要畫(huà)出圖形，利用線面平行，線面垂直及特殊

點(diǎn)，特殊值進(jìn)行排除選項(xiàng)，或者用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化等思路進(jìn)行解決.

四、解答題

21.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=90,AB=AC=AAt=2,￡是3c中

⑴求證：A8〃平面AEG；

(2)若棱44上存在一點(diǎn)〃，滿足求AM的長(zhǎng);

(3)求直線BC與平面AE￡所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵

(3)—

6

【分析】(1)連接AC,交AG于點(diǎn)N,連接EN,即可證明EM/AB,從而得證;

(2)(3)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】(1)證明：連接AC,交AG于點(diǎn)N,連接EN,如圖

在直三棱柱ABC-A4G中，N是AC的中點(diǎn)，又E是BC中點(diǎn)，

所以EN//AB,又ENu平面AE￡,A/a平面AEC-

所以AB〃平面AEG.

(2)解：如圖，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，A4為z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

則A(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),線(2,0,2),C/0,2,2),￡(1,1,0),

I■.■，

設(shè)M(0,0,m),04桃42,所以gw=(-2,0,加一2),QE=(l,-l,-2),

因?yàn)镴B]M-LCj￡,所以4〃.C1E=0,即一2xl+0x(—1)+(—2)x(m—2)=0

解得m=1,所以AM=1.

(3)解：因?yàn)檎?(1,1,0),宿=(0,2,2),

設(shè)平面AEG的法向量為)=(x,%z),

Jx+y=0

[2y+2z=0

令y=7,貝Ux=l,z=l,所以取為=(1,一1』)，又元=(—2,2,0),

則如。=底("匹卜黑[=君國(guó)邛，

設(shè)直線BC與平面AEC,所成角為巴

所以cos0=yj]-sin20=,

6

即直線BC與平面AEG所成角的余弦值為叵.

6

22.已知AMC的頂點(diǎn)8(3,4),AB邊上的高所在的直線方程為x+y-3=0,E為8c的

中點(diǎn)，且AE所在的直線方程為x+3y-7=0.

(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)8且法向量了=(1,-2)的直線方程；

(2)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(3)求過(guò)E點(diǎn)且在x軸、＞軸上的截距相等的直線/的方程.

【答案】⑴x-2y+5=0；

⑵。，2)；

⑶x-4y=0或x+y-5=0.

【分析】(1)根據(jù)法向量設(shè)直線方程，然后將點(diǎn)8的坐標(biāo)代入即可得到直線方程;

(2)根據(jù)垂直關(guān)系得到直線A8的斜率，然后得到直線AB的方程，聯(lián)立直線A8和AE

的方程，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)點(diǎn)E為A8中點(diǎn)和點(diǎn)E在直線AE上列方程，解得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后分截距為

0和不為0兩種情況求直線方程即可.

【詳解】⑴設(shè)直線方程為x-2y+/n=0,將點(diǎn)3(3,4)代入得3-8+加=0,解得m=5,

所以直線方程為x-2y+5=0.

(2)因?yàn)锳8邊上的高所在的直線為x+y-3=0,所以心=1,直線A8的方程為

y-4=x-3,整理得x-y+l=0,聯(lián)立得所以A(l,2).

[x+3y-7=0[y=2

⑶設(shè)E(XQI),貝+3%一7=0①，

因?yàn)椤隇?c中點(diǎn)，3(3,4),所以。(2百一3,2);-4),又C在A3邊上的高上，所以

2x,-3+2y,-4-3=0(2),

聯(lián)立①②得%=4,%=1,所以E(4,l),

當(dāng)橫縱截距為0時(shí)，斜率4=男=：,直線方程為y=Lx,整理得x-4y=0；

4-044

當(dāng)橫縱截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為2+2=1,將點(diǎn)E(4,1)代入得芻+[=1,解得a=5,

aaaa

所以直線方程為]+1=i,整理得x+y-5=o；

綜上所述，直線方程為x-4y=0或x+y-5=0.

23.已知x2+V-4x+2〃p+2毋-2/n+l=0(??zeR)表示圓C的方程.

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)當(dāng)圓C的面積最大時(shí)，求過(guò)點(diǎn)A(4,Y)圓的切線方程.

(3)戶為圓上任意一點(diǎn)，已知8(6,0),在⑵的條件下，求歸的最小值.

【答案】(1)(一1,3)

(2)5x+12y+28=0和x=4

⑶38-8麗

【分析】(1)根據(jù)方程表示圓，列出不等式，從而可的答案；

(2)求出圓C的面積取得最大值，加的值，即半徑最大時(shí)，團(tuán)的值，再分切線斜率存

在和不存在兩種情況討論即可得解；

(3)設(shè)P(x,y),則|幽『+歸砰=2[(*-5)2+仆+2)〔+10,設(shè)/(5,—2),則

(x-5)2+(y+2)2表示圓C上的點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的平方，求出|尸根的最小值，即可得

解.

【詳解】⑴解：由題可知：(尤一2)2+(〉+〃2)2=3+2機(jī)一加2,該方程表示圓，貝！1

34-2777-m2>0,

即nr—2m—3<0,解得-1</〃<3.則實(shí)數(shù)加的取值范圍為；

(2)解：令y=3+2/%2=-(〃?-1)?+4,(機(jī),開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為

m=lG(-1,3),

當(dāng)初=1時(shí)，圓C的面積取得最大值，此時(shí)圓的方程為(x-2『+(y+l『=4,

設(shè)切線方程為y+4=%(x-4)即云-y-4Z-4=0.圓心(2,-1)到切線的距離等于半徑

長(zhǎng)，

|2A+1—4,一4|=2,解得％=二，則另一條切線斜率不存在。

V17F12

即切線方程為丫+4=—卷(》-4),即5x+12y+28=0；另一條切線方程為x=4；

(3)解:設(shè)P(x,y),

貝|J|PA'+|「8「=(x-4/+(y+4『+(x-6/+y2=2[(x-5)2+(^+2)2]+10,

設(shè)M(5,-2),則(X-5)2+(y+2)2表示圓C上的點(diǎn)P與點(diǎn)M的距離的平方，

由(2)知C(2,—1),

X|CM|=^/（5-2）2+（-2+1）2=V10>2,則點(diǎn)例在圓C外面,

所以=|CM|-2=而—2,

則伊廠=2（^-2）2+10=28-8710+10=38-8710.

則可知|尸4「+|尸8「的最小值為38-8碗.

24.圖1是直角梯形ABC。，AB//CD,Z￡>=90.AB=2,DC=3,AD=6,CE=2ED，

以BE為折