2022-2023學年上海市寶山區(qū)九年級上學期數(shù)學期中考試卷含詳解

2022學年第一學期混合式教學適應性練習九年級數(shù)學卷

考生注意：

1.本試卷共25題.

2.試卷滿分150分.考試時間100分鐘.

3.答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一

律無效.

4.除第一、二大題外，其余各題如無特殊說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或

計算的主要步驟.

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有只

有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】

1.下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.兩個矩形B.兩個菱形C.兩個正方形D.兩個等腰梯形

2.在平面直角坐標系工作中，已知點3）與原點。的連線與x軸的正半軸的夾角為

二（0。<0<900）,那么cosa的值是（）

A.3B.-C.D.也

31010

3.在RtAABC中，NC=90；如果NA=a,AB=m,那么線段AC的長可表示為（）.

A.m-sina；B.mcosa；C.m-tancr；D.mcotcr.

4.已知a、B、乙都是非零向量，下列條件中，不能判斷的是（）

A.同=卜|B.a^3bc.a//c,bileD.a=2c,b=-2c

5.已知三邊長分別為6cm,7.5cm,9cm,無尸的一邊長為5cm,如果這兩個三角形相

似，那么尸的另兩邊長可能是（）

A.2cm,3cmB.4cm,6cmC.6cm,7cmD.6cm,8cm

6.如圖，在YA5CD中，點E是邊AO的中點，EC交對角線3。于點尸，如果SVQ^=3,那么

YABCD的面積為（）

B

A.6B.12C.24D.36

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.如果x:y=5:2,那么（x+y）:y的值為

8.已知線段a=2厘米，c=6厘米，那么線段。和。的比例中項b是______厘米.

9.已知點P是線段AB的黃金分割點，AB=4厘米，則較短線段AP的長是___厘米.

10.已知與無產相似，且點A與點。是對應點，點3與點E是對應點，如果NA=50°,

/B=60。，那么NF=.

11.在Rt4ABC中，如果NC=90°,NA=60°,BC=6,那么AB=.

12.已知△ABC:頂點A、B、C分別與A、B］、G對應，AB:44=3:5,E、鳥分別

是邊AC、AG的中點，如果5￡=1，那么用片的長為.

13.在梯形A8CO中，AD//BC,AD=2，BC=5,點、E、尸分別在邊AB、C。上，且

EF//BC,如果AE:EB=2:1,那么所的長為.

14.如圖，矩形。EFG的邊OE在AASC的邊8C上，頂點G、尸分別在邊AB、AC上.已知

BC=6cm,DE=3cm,EF-2cm,那么AABC的面積是cm2.

=（用M、h表不）.

16.A4BC中，點。、E分別在直線A3、AC上，如果。石〃BC,AB=1,AC=2,AT>=3,

那么CE=.

17.如圖，圖中提供了一種求cotl5°方法，作RSABC,使NC=90°,ZABC=30°,再延長CB

到點力，使9=84,聯(lián)結A。，即可得"=15°,如果設AC=f,則可得C0=（2+@f,那么

的15。=3。=坐=2+6,運用以上方法，可求得cot22.5。的值是______.

AC

18.如圖，矩形ABC。中，M、N分別是邊A6、BC上的點，將矩

￡

Z)B

形A8CD沿直線MN翻折后，點8落在邊上的點E處，如果AB=4，AD=6,AE=2&M，

那么CN的長為

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.計算:痂"-2(—)

20.如圖，已知兩個不平行的向量公和石，先化簡，再求作：（7M-25）--（不要求寫作法，但

要指出圖中表示結論的向量）

21.如圖，在四邊形ABC。中，平分/ABC,/BDC=NA=90°,

4

cosZABD=-.

5

（2）如果BC=25,求四邊形ABC。面積.22.如圖，在A4BC中，AB=AC=?BC=2,過點

B作30,AC,垂足為點。

A

（2）點E是延長線上一點，聯(lián)結CE，當NE=NA時，求線段CE的長.

23.已知：如圖，在直角梯形ABC。中，AB//CD,AB1BC,AD=CD,E為AC的中點，連結

班并延長，交線段A。于點

（1）求證：/\AEF~^BAF；

(2)若CD=3,AB=5,求。尸的長.

24.學習了相似三角形知識后，小麗同學準備用自制直角三角形紙板測量校園內一顆古樹的高度.已知

三角形紙板的斜邊長為0.5米，較短的直角邊長為0.3米.

整自己的位置至點尸，將直角三角形紙板的三個頂點位置記為A、B、C（如圖①），斜邊A3平行于地

面MN（點M、P、E、N在一直線上），且點。在邊AC（較長直角邊）的延長線上，此時測得邊

A8距離地面的高度EP為1.5米，小麗與古樹的距離"為16米，求古樹的高度

（2）為了嘗試不同的思路，小麗又向前移動自己的位置至點Q,將直角三角形紙板的三個頂點的新位置

記為A'、B'、C'（如圖②），使直角邊8'?！ㄝ^短直角邊）平行于地面MV（點M、Q、E、N在一

直線上），點O在斜邊30的延長線上，且測得此時邊8'?！嚯x地面的高度依然是1.5米，那么小麗向前

移動了多少米?

25.如圖，正方形A8C0中，AB=6,￡是邊上一點（點、E不與點B、C重合），點F在C。的延

長線上，且/，聯(lián)結石尸，分別交A。、AC于點M、N.

求應:的長:

（備用圖）

(2)求證：EF?=2EM-FN;

（3）當AAMN是等腰三角形時，求S.MMN的值.

2022學年第一學期混合式教學適應性練習九年級數(shù)學卷

考生注意：

1.本試卷共25題.

2.試卷滿分150分.考試時間100分鐘.

3.答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一

律無效.

4.除第一、二大題外，其余各題如無特殊說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或

計算的主要步驟.

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有只

有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】

1.下列各組圖形中，一定相似的是（）

A兩個矩形B.兩個菱形C.兩個正方形D.兩個等腰梯形

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)相似圖形的定義，四條邊對應成比例，四個角對應相等，對各選項分析判斷后利用排除法解

答.

【詳解】A、兩個矩形四個角相等，但是各邊不一定對應成比例，所以不一定相似，故不符合題意；

B、兩個菱形，對應邊成比例，對應角不一定相等，不符合相似定義，故不符合題意；

C、兩個正方形，對應角相等，對應邊一定成比例，一定相似，故符合題意；

D、兩個等腰梯形同一底上的角不一定相等，對應邊不一定成比例，不符合相似的定義，故不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了相似形的定義，熟練掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性質是解題的關鍵.

2.在平面直角坐標系xQy中，已知點3）與原點。的連線與x軸的正半軸的夾角為

儀0。<￡<90°）,那么cosa的值是（）

A.3B.-C.D.

31010

【答案】D

【解析】

【分析】如圖，過P點作軸于A,則NPQ4=c,利用尸點坐標得到Q4=l,PA=3,可求出

OP的長，然后根據(jù)余弦的定義求出cosa的值即可.

【詳解】解：如圖，過尸點作尸A_Lx軸于A,

:點P的坐標為(1,3),

Q4=l,PA=3,

???CP=JF+32=M,

nA1Vio

/.cos/PQ4=乙=

OPio

故選：D.

【點睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由己知元素求未知元素的過程就是解直角三角

形.靈活應用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解決此類問題的關鍵.

3.在RtAABC中，ZC=90.如果NA=a,AB=m,那么線段AC的長可表示為（）.

A.m?sincr；B.m-cosa；C.m-tana；D.mcota.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)是鄰邊比斜邊，可得答案.

【詳解】解：由題意，得

c°sA=空

AB

AC=ABcosA=m?a,

故選：B.【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，利用余弦函數(shù)的定義是解題關鍵.

4.已知G、B、2都是非零向量，下列條件中，不能判斷M//5的是（）

A.同=M

B.a=3bC.萬//E,b!!cD.a-2c,b=-2c

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平行向量的定義（兩個向量方向相同或相反，即為平行向量）分析求解即可求得答案.

【詳解】解：A、|初=出|只能說明3與5的模相等，不能判定￡〃B，故本選項符合題意；

B、1=3分說明2與B的方向相同，能判定2〃石，故本選項不符合題意；

c、%"3b//c，能判定故本選項不符合題意；

D、a^2c,5=-21說明￡與B的方向相反，能判定故本選項不符合題意.

故選A.

【點睛】此題考查了平面向量的知識.此題難度不大，注意掌握平行向量與向量的模的定義是解此題的關

鍵.

5.已知的三邊長分別為6cm,7.5cm,9cm,4死尸的一邊長為5cm,如果這兩個三角形相

似，那么ADE尸的另兩邊長可能是（）

A.2cm,3cmB.4cm,6cmC.6cm,7cmD.6cm,8cm

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三邊對應成比例三角形相似，即可求得.注意產中為5cm邊長的對應邊可能是6cm

或7.5cm或9cm,所以有三種情況.

【詳解】解：設"）￡尸的另兩邊為xcm,ycm,

若江）EF中為5cm邊長的對應邊為6cm,

5xy

則：—=—=—,

67.59

2515

解得：x=—,y=—;

若JJEF中為5cm邊長對應邊為7.5cm,

5xy

貝ij：—,

7.569

解得：x=4,y=6；若中為5cm邊長的對應邊為9cm,

結合選項可得B選項可選.

故選:B.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定：三邊對應成比例的三角形相似.解此題的關鍵要注意乩>石尸中為

5cm邊長的對應邊不確定，答案不唯一，要仔細分析，小心別漏解.

6.如圖，在YABCD中，點E是邊AO的中點，EC交對角線8。于點尸，如果與。杼=3,那么

YABCD的面積為()

B.12C.24D.36

【答案】D

【解析】

【分析】先證明△EFDSACEB,依據(jù)相似三角形的性質得到48尸C的面積為12,設△￡>%的面積為

X,然后依據(jù)△EDC的面積等于△BCD的面積的一半列方程求得的面積，從而得到△BCD的面

積，最后依據(jù)SaABCD=25.口求解即可.

【詳解】解：；四邊形ABCO為平行四邊形，

/.AD//BC.

；.NEDB=NDBC,/DEC=/BCE

:?AEFDS^CFB.

又???E是AD的中點，

DE=-CB.

2

**?SABCF=4S的F=12.

設SA〃C=X,則3+x=g(12+x),

解得：x=6.AS&BCD=12+6=18.

**,^aABCD~2SWD=36.

故選：D.

【點睛】本題主要考查的是平行四邊形的性質、相似三角形的性質和判定，熟練掌握相似三角形的性質和

判定定理是解題的關鍵.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.如果x:y=5:2,那么（x+y）:y的值為

7

【答案】一##7：2

2

【解析】

【分析】設453尸2死代入計算即可.

【詳解】,：x:y=5:2,

???設x=5k,y=2k,

，（x+y）:y=（5>2左）：2仁7：2,

7

故答案為：一.

2

【點睛】本題考查了比例的基本性質，熟練掌握性質，并靈活解題是解題的關鍵.

8.已知線段〃=2厘米，c=6厘米，那么線段。和。的比例中項〃是_____厘米.

【答案】26

【解析】

【分析】根據(jù)線段比例中項的概念，可得a:b=》：c,即得〃=ac=i2,從而可求b的值.

【詳解】???線段匕是線段。和線段。的比例中項，

b~=ac>即/=2x6=12,

；.。=26厘米（負值舍去）.

故答案為：2G.

【點睛】本題考查比例中項的概念，注意：求兩個數(shù)的比例中項的時候，應求平方根.求兩條線段的比例

中項的時候，應求算數(shù)平方根.

9.已知點P是線段AB的黃金分割點，AB=4厘米，則較短線段AP的長是___厘米.【答案】6-2后

【解析】

【分析】根據(jù)黃金比是避二!■計算.

2

【詳解】???點P是線段AB的黃金分割點,

...較長線段BP=^11x4=2布-2（厘米），

2

，較短線段AP=4-（275-2）=6-2下（厘米），

故答案為6-2逐.

【點睛】本題考查的是黃金分割，掌握黃金分割的概念，熟練記憶黃金比是在二1（約等于0.618）是解題

2

的關鍵.

10.已知&4BC與ADE尸相似，且點A與點。是對應點，點5與點E是對應點，如果NA=50°,

/8=6（）°,那么NF=.

【答案】700##70度

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形的性質可知ND=NA=50°,NE=NB=60°,再結合三角形內角和定理即可求

出答案.

【詳解】如圖，ZiABCS^DEF,

NO=ZA=50°,

ZE=ZB=60°，

NF=180。一NO—NE=70°.

故答案為：70。.

【點睛】本題考查相似三角形的性質，三角形內角和定理.掌握相似三角形的對應角相等是解題關鍵.11.

在中，如果/C=90。，ZA=60°.BC=6,那么.

【答案】4G

【解析】

【分析】根據(jù)直角三角形的性質：30°所對的直角邊的長度等于斜邊的一半求解即可.

【詳解】解：在中，ZC=90°,NA=60°,BC=6,

???ZC=30°,

設AB=x,則AC='x,

2

由勾股定理可得：+62,

解得：%,=4>/§，x,=—4-\/3（舍去）

/.AB=4

故答案為：4^/3-

【點睛】本題考查直角三角形的性質和勾股定理，關鍵是根據(jù)直角三角形的性質：30°所對的直角邊的長

度等于斜邊的一半解答.

12.己知△ABC:△ABC,頂點A、B、C分別與g、C;對應，43：Ag=3:5,E、片分別

是邊AC、AG的中點，如果5E=1，那么用g的長為.

52

【答案】—##1—

33

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形對應中線的比等于相似比列比例式求解即可.

【詳解】解答：解：???△A3CSA44G，A3:A4=3：5,

.?.對應中線BE、Bg的比值為3:5,

/.1：B,E.=3:5,：,B,E,=-.

113

故答案為：一.

3

【點睛】本題考查了相似三角形的性質，相似三角形對應中線的比等于相似比.

13.在梯形A8CD中，AD//BC，AD=2,BC=5,點、E、尸分別在邊AB、CD且

EF//BC,如果A￡:E3=2:1,那么所的長為.

【答案】4

【解析】

【分析】連接AC交E廠于點P,先利用平行線分線段成比例定理求出一、一，再利用相似三角形的

ABCD

性質求出石尸、FP，最后利用線段的和差求出EE.

【詳解】解：如圖，連接AC交所于點尸，

「''、、\?：，

EA,AD//BCEF//BC,

B------------------------C

：.AD//EF//BC.

.AEDF_2

?AE--2CF-1

??麗―CD-3'

?：AD//EF//BC，

；.AAEPS^ABC,CFPS^CDA.

.EPAE2PFCF1

"BC-AB-3'AD-CD-3-

VAD=2-BC=5,

：.EP=—,PF=-.

33

?；EF=EP+PF=-+-=4.

33

故答案為:4.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質和判定，掌握“平行線分線段成比例定理”、相似三角形的判

定和性質是解決本題的關鍵.

14.如圖，矩形QEFG的邊OE在AABC的邊BC上，頂點G、尸分別在邊AB、AC上.已知

BC=6cm,DE=3cm,EF=2cm,那么AABC的面積是cm2.

【解析】

【分析】過A作AH_LBC于H,交GF于M,由矩形的性質得GE〃3C,DG=EF=2cm,

GF=DE=3cm,再證△AG/SAABC,求出AM=2cm,則AH=AM+MW=4cm,即可求解.

【詳解】解：過A作A〃_LBC于，，交GF于M,如圖，

則M〃=Eb=2cm,

???四邊形。EFG是矩形，

GF//BC,DG=EF—2cm,GF=DE=3cm,

?：GF//BC,

AAGF^^ABC,

.AMGF

AM_3

即

AM+2~6

解得：AM=2cm,

：.AH=AM-\-MH4cm,

：.MBC的面積=gBC.A〃=；x6x4=12（cm2）,

故答案為：12.

【點睛】本題考查了矩形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，熟

練掌握矩形的性質，證明AAGRSAABC是解題的關鍵.15.AABC中，AD是中線，G是重心,

AB=5,AD=h,那么BG~（用］、b表不）.

【答案】一MH—b.

3

【解析】

___2_

【詳解】試題分析：???在△ABC中，點G是重心，AD=bAG=-b,又,:BG=AG-AB^AB=a^

__22?

：.BG=-h-a=-a+-b；故答案為一1+—〃二

333

A

1.平面向量；2.三角形的重心.

16.在AABC中，點。、E分別在直線AB、AC上，如果。石〃BC,AB=1，AC=2,AO=3,

那么CE=

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)平行線分線段陳比例定理求解即可.

【詳解】解：作如下圖：

A

:DE//BC,

.ABAC

'AD-AE

VAB=1,AC=2,AD=3,

I2

,.——------

3AE

AE=6,CE=A￡—AC=6-2=4,

故答案為:4.

【點睛】此題考查了平行線分線段陳比例定理，解題的關鍵是掌握平行線分線段陳比例定理.

17.如圖，圖中提供了一種求cotl5。的方法，作RSABC,使NC=90。，NA3C=30°,再延長CB

到點O,使比＞=84,聯(lián)結A。，即可得"=15。，如果設AC=f,則可得CD=（2+6）f,那么

cotl5°=cotD=—=2+^,運用以上方法，可求得cot22.5°的值是______.

AC

【答案】、歷+1

DB

【解析】

【分析】作R^ABC,使NC=90。，/A3C=45°,再延長BC到點。，使比＞=84,聯(lián)結A。，即可

得/。=22.5°,設AC=f,然后用t表示出CD,最后根據(jù)余切的定義作答即可.

【詳解】解：如圖：作R3ABC,使NC=90°,NABC=45°,再延長CB至I」點。，使團＞=84,聯(lián)結

AD，即可得ND=22.5°

設AC=f,則BC=t,AB=BD=&t

所以DC=BC+AB=t+&t=(1+72)t

所以322.5。嗤=厘=1+"

故答案為1+6.

【點睛】本題主要考查的是解直角三角形和三角函數(shù)，構造出含45。的

直角三角形，再作輔助線得到22.5。角的直角三角形成為解答本題的關鍵.

18.如圖，矩形A8CD中，M.N分別是邊AB、8C上的點，將矩形ABCO沿直線MN翻折后，點B

落在邊AO上的點E處，如果AB=4，AD=6,AE=2也AM，那么CN的長為

【答案】6-3夜##-36+6

【解析】

【分析】由翻折的性質可知5A/=設AM=x,則AE=2&x，BM=EM=4—x,結合勾股

定理可列出關于x的等式，解出x,即得出AM和AE的長.過點N作NF_LA￡＞于點F,即得出

ZM4E=NEKV=90°,NF=AB=4,BN=AF,又易證NAEM=NFNE,即可證

Al\4j\p

△MAEs^EFN,得出——=——，代入數(shù)據(jù)，即可求出￡尸的長，從而求出8N的長，進而可求出

EFNF

CN的長.

【詳解】由翻折的性質可知BM=EM.

設則AE=2&x，BM=EM=AB-AM^A-x,

,在RtAAEM中，AM2+AE2=EM2^

d+(2缶)2=(4—X)2,

解得：%=1,x2=-2(舍)，

AM=l，AE=2垃.

如圖，過點N作NR，40于點F.

:.ZMAE=/EFN=90°,NF=AB4,BN=AF,

ZFEN+ZFNE=90°.

NFEN+ZAEM=90。,

:.ZAEM=NFNE,：.AMAES^EFN,

.AM_AE120

EFNFEF4

???EF=C，

BN=AF=AE+EF=2及+叵=36，

CN=BC—BN=6—3y[i-

故答案為：6—3\/2-

【點睛】本題考查矩形與折疊，勾股定理，相似三角形的判定和性質等知識.正確的作輔助線構造相似三

角形是解題關鍵.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

cot45°

19.計算:-2(l+sin60°)

3tan30°-2cos45°

【答案】V2-2

【解析】

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入，根據(jù)實數(shù)的混合運算法則計算即可得答案.

【詳解】原式=6夜〔TJ

3x-2x'7

32

=百+近一2-百=0-2【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值及實數(shù)的混合運算，熟記特殊角的三

角函數(shù)值及運算法則是解題關鍵.

20.如圖，已知兩個不平行的向量￡和坂，先化簡，再求作：(7?-2^)-51?-1^1(不要求寫作法，但

要指出圖中表示結論的向量)

1-

【答案】2G+—b

2

【解析】

【分析】先根據(jù)向量的加減法法則化簡，再根據(jù)三角形法則作圖即可.

【詳解】(la-2b')-5[a--^b}=la-2b-5a+^b

2aH—b,

2

本題考查平面向量的知識,正確化簡并熟練掌握三角形法則是解題關鍵.

4

21.如圖，在四邊形ABC。中，8。平分/ABC,NBZX?=NA=90°,cosZABD--.

(2)如果BC=25,求四邊形ABC。的面積.

…AD4

【答案】(1)=—

CD5

（2）246

【解析】

【分析】（1）先利用兩角對應相等判斷△ABOsaDBC,再利用直角三角形的邊角間關系和相似三角形

的性質得結論；

（2）利用直角三角形的邊角間關系先求出3。、AB，再利用勾股定理求出A。、CD,最后利用三角形

的面積公式得結論.【小問1詳解】

解：???8。平分NA5C，

，ZABD=ZCBD,

???ABDC=ZA=9Q°,

/./XABD^/\DBC.

.ADAB

"co-BD-

在Rf△ABO中,

AB4

,/cosZABD

BD5

,AD_4

"~CD~~5

【小問2詳解】

解：?；ZABD=NCBD,

.cosNC6O=殷=3

BC5

-BC=25,

.BD=2().

■CD=^BC1-BEr=15-

AB4

,cosZ.ABD

BD5

.AB=16,

?ADTBD?—AB?=12?

'?S四邊形ABCZ>=S、ABD+S7BCD

=—/4BA￡)+—B￡)CZ)=—x16x12+—x20x15=96+15()=246.

2222

【點睛】本題主要考查了解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性質、直角三角形的邊角間關系及勾股

定理是解決本題的關鍵.

22.如圖，在AABC中，AB=AC=y/5,BC=2,過點8作3O_LAC，垂足為點。

（1）求cotNACB的值；

（2）點E是3。延長線上一點，聯(lián)結CE，當N￡=NA時，求線段CE的長.

【答案】（1）；；（2）或

22

【解析】

【分析】（1）作AG_LBC于點G,根據(jù)等腰三角形三線合一性質得到AAGC為直角三角形，然后根據(jù)勾

股定理計算AG的長，然后計算cot/ACB的值；

（2）先利用等面積法計算BD的長度，然后利用cotNAC8的值計算出CD的長的，然后證明

MDB?AEDC,利用比例關系計算CE即可.

【詳解】解析：（1）如圖，作AG_LBC于點G

：.CG=-BC=l,AGXBC,

2

在RtAAGC中由勾股定理可得AG=JN一CG?=4^1=2，

cotZACB=—

AG2

(2)?/S△AAAbBeC=2-AG-BC=2-BD-AC,

皿警,

CD

cotZACB--

2~BD2

.\CD=—,

5

,;NBAC=NE,

■^ADB~AEDC,

Ec￡1

-

0=?=-

A02

EC=-AB=—.

22

【點睛】本題主要考查余切的計算以及利用相似計算線段長度，構造輔助線，轉化角是解題的關鍵.

23.已知：如圖，在直角梯形ABCQ中，AB//CD,ABJ.BC,AD=CD,E為AC的中點，連結

3E并延長，交線段AO于點F.

^AEF-ABAF^

(2)若C￡>=3,AB=5,求。尸的長.

【答案】（1）見解析;

(2)DF=-

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質可得NC4O=NH4￡,由直角三角形的性質可得

BE=-AC=AE=CE,從而得NE4F=NA5E，再根據(jù)相似三角形的判定可得結論；

2

（2）延長即交C。的延長線于點G,由全等三角形的判定與性質可得。G=CG—CE>=2,再證明

△DFGSA^FB,根據(jù)相似三角形的性質可得答案.

【小問1詳解】

證明：?.?A8〃C。,

ZACD=ZBAE,

AD=CD,

：.ZACD^ZCAD,

AZCAD=ZBAE,VABIBC,

ZABC=90°,

為AC的中點，

BE^-AC=AE^CE,

2

ZABF=/BAE，

：.ZCAD=ZABF,

：.AEAF=ZABF，

?/ZAFE=/BFA，

AAEFS^BAF；

【小問2詳解】

解：???CDuB,AB=5,

AD=CD=3,

延長交。。的延長線于點G,如圖:

ZECG=ZEAB

在AECG和AEW中，＜CE=AE

NCEG=NAEB

CG=AB=5,

/.DG=CG-CD=2,

,/AB//CD,

:.ADFGS4AFB,

.DFDG

*'AF-AB'

ABDF=DGAF,

...5DF=2x(3—DF),

???。/=9.【點睛】此題考查的是相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的

7

性質，等腰三角形的性質等知識，正確作出輔助線是解決此題的關鍵.

24.學習了相似三角形知識后，小麗同學準備用自制的直角三角形紙板測量校園內一顆古樹的高度.已知

三角形紙板的斜邊長為0.5米，較短的直角邊長為0.3米.

圖①

整自己的位置至點尸，將直角三角形紙板的三個頂點位置記為A、B、C（如圖①），斜邊AB平行于地

面（點M、P、E、N在一直線上），且點。在邊AC（較長直角邊）的延長線上，此時測得邊

A8距離地面的高度EP為L5米，小麗與古樹的距離■為16米，求古樹的高度OE；

（2）為了嘗試不同的思路，小麗又向前移動自己的位置至點。，將直角三角形紙板的三個頂點的新位置

記為A'、B'、C'（如圖②），使直角邊B'C’（較短直角邊）平行于地面MN（點M、Q、E、N在一

直線上），點O在斜邊B'A的延長線上，且測得此時邊8,C'距離地面的高度依然是L5米，那么小麗向前

移動了多少米？

【答案】（1）13.5m

（2）7m

【解析】

【分析】（1）先在直角三角形ABC中，由勾股定理求得AC,再利用直角三角形ABC和/相似求得

。尸的長，加上。尸，即可求得樹高DE.

（2）利用直角三角形AB'C和05'f相似求得B'F的長，即可求得小麗向前移動了多少米.

小問1詳解】

,/ZDE4=NACB=90J，且ZDAF=ZCAB，

^DFA^/\BCA，

DFAF

---=---，在RtZ^ABC中，AB=0.5m,BC=0.3z?z?

BCAC

AC=yjAB2-BC2=0.4/T?-

,/AF=16m,

?DF-16

"03-04'

DF=12.

DE=DF+EF=13.5（m）.

答：古樹的高度。E是13.5/〃.

【小問2詳解】

ZD'FB'=ZA'C'B'=90，

ZDrB,F=ZA'B'C,

：.小,

.B'FD'F

"AV'

.B'F12

*'713"（14,

B'F=9,

：.16-9=7,

答：小麗向前移動了7nz.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用和勾股定理，解題的關鍵是證明三角形的相似.

25.如圖，正方形ABCO中，AB=6,E是邊8c上一點（點E不與點8、C重合），點/在CZ）的延

長線上，且BE=DF，聯(lián)結石尸，分別交A。、AC于點〃、N.

p

（1）已知MD=1,求B