2022-2023學年全國初中數學競賽試題

2023年全國初中數學競賽試題(含參考答案)

一'選擇題(共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的.

請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分)

1.若2=20,-=10,則位的值為().

bcb+c

(A)—(B)—(C)—(D)—

21112111

￡1

銳？c小陽、幾用。+匕b+20+1210

解：D由題設得----=&—=————.

b+cc,111

b+c1t+-1+—11

h10

2.若實數a,b^-a-ab+b2+2=Q,則a的取值范圍是().

2

(A)a<-2(B)a>4(C)aW-2或aN4(D)-2WaW4

解.C

因為匕是實數，所以關于人的一元二次方程〃一仍+1。+2=0

2

的判別式△=(—a)2—4xlx('a+2)與0,解得aW—2或a24.

2

3.如圖，在四邊形A5CD中，ZB=135°,ZC=120°,48=2百，BC=4—2夜,

。。=4五，則4。邊的長為().

(A)276(B)476

(C)4+V6(D)2+2后

解：D

如圖，過點A,。分別作AE,。尸垂直于直線BC,

垂足分別為E,F.

由已知可得

BE=AE=y/6,CF=2V2,DF=2屈,

于是EF=4+V6.

過點A作AGLDR垂足為G.在Rt^AOG中，根據勾股定理得

AD=7(4+V6)2+(V6)2=J(2+VW=2+2技

4.在一列數XI,x,x,...中，已知玉=1,且當422時，王=天|+i—4k-\k-2

23~~A~

(取整符號[可表示不超過實數a的最大整數，例如[2.6]=2,[0.2]=0),則可。等于

().

(A)l(B)2(03(D)4

解：B

可得

Xy=1,x?=2,=3,X4=4,

—1,—2,Xj=3,Xg=4,

因為2023=4x502+2,所以可。=2.

5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰梯形A8C。的頂點坐標分別為A(1,1),B(2,

-1),C(-2,-1),D(-1,1).y軸上一點尸(0,2)繞點A旋轉180。得點尸點B

繞點B旋轉180。得點尸2,點P2繞點C旋轉180。得點Pi,點Pi斗

繞點D旋轉180。得點尸4,……，重復操作依次得到點尸1,尸2,…，尸]

則點P2023的坐標是().一/。\—*

(A)(2023,2)(B)(2023,-2)

(C)(2023,-2)(D)(0,2)臺、

(第5題)

解：B由已知可以得到，點6的坐標分別為(2,0),(2,-2).

記￡(a2,b2),其中a2=2,b2=-2.

根據對稱關系，依次可以求得：

7^(—4——2一仇)，4(2+a,,4+b,),心(一a,,—2—Zx,),E(4+a,,.

令《(%,打)，同樣可以求得，點%的坐標為(4+4也)，即Pw(4x2+4也),

由于2023=4x502+2,所以點的坐標為(2023,-2).

二、填空題

6.已知”=括一1,則2a3+7標一2“一12的值等于.

解：0

由已知得m+l)2=5,所以層+2。=4,于是

2a3+7a2—2a—12=2/+4/+3。2—2a—12=3/+6a—12=0.

7.一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛.在某一時

亥！],客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間.過了10分鐘，小轎車追上

了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過f分鐘，貨車追上了客車，則f

解：15

設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客

車的速度分別為a，b,c,(千米/分)，并設貨車經x分鐘追上客車，由題意得

10(a-Z?)=S,①

15(a—c)=2S,②M》—c)=S.③

由①②，得30(。-c)=S,所以，x=30.故/=30-10-5=15(分).

8.如圖，在平面直角坐標系xOy中，多邊形。45CDE的頂點坐標分別是0(0,0),A(0,

6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直線/經過點M(2,3),且將多

邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線/的函數

表達式是.

(第8題)

隨111

解：y=--x+^r

33

如圖，延長交x軸于點F；連接。8,AF-,連接CE,DF,且相交于點N.

由已知得點M(2,3)是。3,A尸的中點，即點M為矩形ABFO的中心，

所以直線/把矩形ABFO分成面積相等的兩部分.又因為點N(5,2)是矩形CDEF

的中心，所以，

過點N(5,2)的直線把矩形CDE/分成面積相等的兩部分.

于是，直線MN即為所求的直線/.

Dk+h=3

設直線/的函數表達式為丁=依+。，則‘

■[54+6=2,

解得，,故所求直線/的函數表達式為y=-；戶￡.

9.如圖，射線AM,5N都垂直于線段A5,點E為AM上一點，過點A作5E的垂線AC

分別交BE,BN于點尸，C,過點C作AM的垂線CD,垂足為D.若CD=CF,則

AE

而

解：浮

見題圖，設EC=m,AF^n.（第9題）

因為RtA4MsRtA4BC,所以AB2=AFAC.

又因為FC=OC=A8,所以/=〃（〃+?/）,即（2）2+'_1=0,

mm

解得二=避二1,或4=苔二1（舍去）.

m2m2

AE_y/5-l

又RtAAFEsRt^CEB,所以一=—=—=—

ADBCFCm~AD~2

10.對于i=2,3,…，k,正整數n除以i所得的余數為i—1.若〃的最小值/滿足

2000<n0<3000,則正整數k的最小值為

解：9因為〃+1為2,3,???,女的倍數，所以〃的最小值“滿足

%+1=[2,3,??%],

其中[2,3,…，可表示2,3,…，人的最小公倍數.

由于[2,3,???,8]=840,[2,3,…，9]=2520,

[2,3,…,10]=2520,[2,3,…,11]=27720,

因此滿足2000<?0<3000的正整數k的最小值為9.

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11.如圖，△A3C為等腰三角形，AP是底邊3c上的高，點O是線段PC上的一點,

EF

BE和CF分別是△48。和△4。的外接圓直徑，連接EF.求證：tan/PAD=——

BC

（第11題）

證明：如圖，連接E0,FD.因為BE和CF都

是直徑，所以

ED1BC,FD1BC,

因此D,E,?三點共線........（5分）

連接AE,AF,則

ZAEFZABCZACBZAFD,

所以，△ABCs^AEE....................（10分）（第11題）

作垂足為“，則AH=PD由可得

EF_AH

~BC~~AP

EF_PD

從而

~BC~~AP

PDEF

所以tan/PAD（20分）

~AP~BC

k

12.如圖，拋物線y=ar9+。無（。＞0）與雙曲線y=-相交于

X

點A,B.已知點4的坐標為（1,4）,點8在第三象限內，且△AO8的面積為3（0為坐

標原點）.

（1）求實數a,b,左的值;

（2）過拋物線上點A作直線AC//x軸，交拋物線于另一點C,求所有滿足aEOCs

的點E的坐標.

解：（1）因為點A（1,4）在雙曲線丁=&上，（第12題）

X

4

所以4二4.故雙曲線的函數表達式為y=—.

x

4

設點BG,-）,tvO,AB所在直線的函數表達式為丁=如+〃，則有

t

4="+〃，

解得加=—3,〃=出土。

,4

—=mt+n.

于是,直線AB與），軸的交點坐標為0,故

S.oB=gx4；+D（i7）=3,整理得2戶+3-2=°，

解得/=一2,或/=,（舍去）.所以點B的坐標為（一2,-2）.

2

因為點A,8都在拋物線y=（〃>0）上，所以

。+人=4,CL—\\

解得（10分）

14。-2〃=-2,b=3

（2）如圖，因為AC〃x軸，所以C（T,4）,于是C。

=4^/2.又Bg日所以空=2.

BO

設拋物線丁=改2+法（4>0）與》軸負半軸相交于點。,

則點。的坐標為（-3,0）.

因為/CO￡>=NBO￡>=45°,所以NCOB=90°.

⑴將△8Q4繞點。順時針旋轉90。，得到△8'。4.這時，點8'（-2,2）是CO的

中點，點4的坐標為（4,-1）.

延長。A到點片,使得0耳=2。4,這時點瑞（8,-2）是符合條件的點.

(ii)作^關于x軸的對稱圖形△B'OA2，得到點A2(1,-4)；延長到點之，

使得。芻=2。4,這時點日(2,-8)是符合條件的點.

所以，點E的坐標是(8,-2),或(2,-8).......(20分)

13.求滿足2P2+p+8=,〃2-2根的所有素數p和正整數

.解：由題設得P(2/7+1)=(m一4)(〃2+2),

所以“I。〃-4)(加+2),由于/?是素數，故p|(加一4),或〃|(加+2)....(5分)

(1)若篦一4),令m-4=kp,人是正整數，于是〃?+2>切，

3P之>p(2p+V)=(m-4)(m+2)>k1p1,

故公<3,從而％=1.

m—4=p,(〃=5,

所以4〃解得........(10分)

m+2=2p+L[m=9.

(2)若p|(〃z+2),令m+2=kp,A是正整數.

當p>5時，有〃1-4=kp_6>kp_p=p*_l),

3P2>p(2p+l)=(/n-4)(/n+2)>k(k—Y)p2,

故—從而k=l,或2.

由于p(2p+l)=(〃2—4)(m+2)是奇數，所以左。2,從而k=l.

m—4=2p+L

于是《‘

m+2=p,

這不可能.

當〃=5時，m2-2m=63,m=9；當〃=3,m2-2m=29,無正整數解；當

〃=2時，m2-2m=18,無正整數解.

綜上所述，所求素數p=5,正整數加=9........(20分)

14.從1,2,…，2023這2023個正整數中，最多可以取出多少個數,

使得所取出的數中任意三個數之和都能被33整除？

解：首先，如下61個數：11,11+33,11+2x33,11+60x33（即2023）滿足題

設條件........（5分）

另一方面，設q<…<凡是從1，2,…，2023中取出的滿足題設條件的數，對于

這〃個數中的任意4個數％a/ak,am,因為

33|（4+a?+am）,33|（a7+ak+am）,

所以33|（a.-a,.）.

因此，所取的數中任意兩數之差都是33的倍數.........（10分）

設q=q+334，i=T,2,3,…，n.

由331(q+g+%)，得33](3q+334+334)，

所以33|3q,即q211..（15分）

故d“W60.所以，“W61.

綜上所述，〃的最大值為61.（20分）

附送

考試必備心理素質

一、強化信心

1、經常微笑