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文檔簡介
2023年全國初中數學競賽試題(含參考答案)
一'選擇題(共5小題,每小題7分,共35分.其中有且只有一個選項是正確的.
請將正確選項的代號填入題后的括號里,不填、多填或錯填都得0分)
1.若2=20,-=10,則位的值為().
bcb+c
(A)—(B)—(C)—(D)—
21112111
£1
銳?c小陽、幾用。+匕b+20+1210
解:D由題設得----=&—=————.
b+cc,111
b+c1t+-1+—11
h10
2.若實數a,b^-a-ab+b2+2=Q,則a的取值范圍是().
2
(A)a<-2(B)a>4(C)aW-2或aN4(D)-2WaW4
解.C
因為匕是實數,所以關于人的一元二次方程〃一仍+1。+2=0
2
的判別式△=(—a)2—4xlx('a+2)與0,解得aW—2或a24.
2
3.如圖,在四邊形A5CD中,ZB=135°,ZC=120°,48=2百,BC=4—2夜,
。。=4五,則4。邊的長為().
(A)276(B)476
(C)4+V6(D)2+2后
解:D
如圖,過點A,。分別作AE,。尸垂直于直線BC,
垂足分別為E,F.
由已知可得
BE=AE=y/6,CF=2V2,DF=2屈,
于是EF=4+V6.
過點A作AGLDR垂足為G.在Rt^AOG中,根據勾股定理得
AD=7(4+V6)2+(V6)2=J(2+VW=2+2技
4.在一列數XI,x,x,...中,已知玉=1,且當422時,王=天|+i—4k-\k-2
23~~A~
(取整符號[可表示不超過實數a的最大整數,例如[2.6]=2,[0.2]=0),則可。等于
().
(A)l(B)2(03(D)4
解:B
可得
Xy=1,x?=2,=3,X4=4,
—1,—2,Xj=3,Xg=4,
因為2023=4x502+2,所以可。=2.
5.如圖,在平面直角坐標系xOy中,等腰梯形A8C。的頂點坐標分別為A(1,1),B(2,
-1),C(-2,-1),D(-1,1).y軸上一點尸(0,2)繞點A旋轉180。得點尸點B
繞點B旋轉180。得點尸2,點P2繞點C旋轉180。得點Pi,點Pi斗
繞點D旋轉180。得點尸4,……,重復操作依次得到點尸1,尸2,…,尸]
則點P2023的坐標是().一/。\—*
(A)(2023,2)(B)(2023,-2)
(C)(2023,-2)(D)(0,2)臺、
(第5題)
解:B由已知可以得到,點6的坐標分別為(2,0),(2,-2).
記£(a2,b2),其中a2=2,b2=-2.
根據對稱關系,依次可以求得:
7^(—4——2一仇),4(2+a,,4+b,),心(一a,,—2—Zx,),E(4+a,,.
令《(%,打),同樣可以求得,點%的坐標為(4+4也),即Pw(4x2+4也),
由于2023=4x502+2,所以點的坐標為(2023,-2).
二、填空題
6.已知”=括一1,則2a3+7標一2“一12的值等于.
解:0
由已知得m+l)2=5,所以層+2。=4,于是
2a3+7a2—2a—12=2/+4/+3。2—2a—12=3/+6a—12=0.
7.一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛.在某一時
亥!],客車在前,小轎車在后,貨車在客車與小轎車的正中間.過了10分鐘,小轎車追上
了貨車;又過了5分鐘,小轎車追上了客車;再過f分鐘,貨車追上了客車,則f
解:15
設在某一時刻,貨車與客車、小轎車的距離均為S千米,小轎車、貨車、客
車的速度分別為a,b,c,(千米/分),并設貨車經x分鐘追上客車,由題意得
10(a-Z?)=S,①
15(a—c)=2S,②M》—c)=S.③
由①②,得30(。-c)=S,所以,x=30.故/=30-10-5=15(分).
8.如圖,在平面直角坐標系xOy中,多邊形。45CDE的頂點坐標分別是0(0,0),A(0,
6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直線/經過點M(2,3),且將多
邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分,則直線/的函數
表達式是.
(第8題)
隨111
解:y=--x+^r
33
如圖,延長交x軸于點F;連接。8,AF-,連接CE,DF,且相交于點N.
由已知得點M(2,3)是。3,A尸的中點,即點M為矩形ABFO的中心,
所以直線/把矩形ABFO分成面積相等的兩部分.又因為點N(5,2)是矩形CDEF
的中心,所以,
過點N(5,2)的直線把矩形CDE/分成面積相等的兩部分.
于是,直線MN即為所求的直線/.
Dk+h=3
設直線/的函數表達式為丁=依+。,則‘
■[54+6=2,
解得,,故所求直線/的函數表達式為y=-;戶£.
9.如圖,射線AM,5N都垂直于線段A5,點E為AM上一點,過點A作5E的垂線AC
分別交BE,BN于點尸,C,過點C作AM的垂線CD,垂足為D.若CD=CF,則
AE
而
解:浮
見題圖,設EC=m,AF^n.(第9題)
因為RtA4MsRtA4BC,所以AB2=AFAC.
又因為FC=OC=A8,所以/=〃(〃+?/),即(2)2+'_1=0,
mm
解得二=避二1,或4=苔二1(舍去).
m2m2
AE_y/5-l
又RtAAFEsRt^CEB,所以一=—=—=—
ADBCFCm~AD~2
10.對于i=2,3,…,k,正整數n除以i所得的余數為i—1.若〃的最小值/滿足
2000<n0<3000,則正整數k的最小值為
解:9因為〃+1為2,3,???,女的倍數,所以〃的最小值“滿足
%+1=[2,3,??%],
其中[2,3,…,可表示2,3,…,人的最小公倍數.
由于[2,3,???,8]=840,[2,3,…,9]=2520,
[2,3,…,10]=2520,[2,3,…,11]=27720,
因此滿足2000<?0<3000的正整數k的最小值為9.
三、解答題(共4題,每題20分,共80分)
11.如圖,△A3C為等腰三角形,AP是底邊3c上的高,點O是線段PC上的一點,
EF
BE和CF分別是△48。和△4。的外接圓直徑,連接EF.求證:tan/PAD=——
BC
(第11題)
證明:如圖,連接E0,FD.因為BE和CF都
是直徑,所以
ED1BC,FD1BC,
因此D,E,?三點共線........(5分)
連接AE,AF,則
ZAEFZABCZACBZAFD,
所以,△ABCs^AEE....................(10分)(第11題)
作垂足為“,則AH=PD由可得
EF_AH
~BC~~AP
EF_PD
從而
~BC~~AP
PDEF
所以tan/PAD(20分)
~AP~BC
k
12.如圖,拋物線y=ar9+。無(。>0)與雙曲線y=-相交于
X
點A,B.已知點4的坐標為(1,4),點8在第三象限內,且△AO8的面積為3(0為坐
標原點).
(1)求實數a,b,左的值;
(2)過拋物線上點A作直線AC//x軸,交拋物線于另一點C,求所有滿足aEOCs
的點E的坐標.
解:(1)因為點A(1,4)在雙曲線丁=&上,(第12題)
X
4
所以4二4.故雙曲線的函數表達式為y=—.
x
4
設點BG,-),tvO,AB所在直線的函數表達式為丁=如+〃,則有
t
4="+〃,
解得加=—3,〃=出土。
,4
—=mt+n.
于是,直線AB與),軸的交點坐標為0,故
S.oB=gx4;+D(i7)=3,整理得2戶+3-2=°,
解得/=一2,或/=,(舍去).所以點B的坐標為(一2,-2).
2
因為點A,8都在拋物線y=(〃>0)上,所以
。+人=4,CL—\\
解得(10分)
14。-2〃=-2,b=3
(2)如圖,因為AC〃x軸,所以C(T,4),于是C。
=4^/2.又Bg日所以空=2.
BO
設拋物線丁=改2+法(4>0)與》軸負半軸相交于點。,
則點。的坐標為(-3,0).
因為/CO£>=NBO£>=45°,所以NCOB=90°.
⑴將△8Q4繞點。順時針旋轉90。,得到△8'。4.這時,點8'(-2,2)是CO的
中點,點4的坐標為(4,-1).
延長。A到點片,使得0耳=2。4,這時點瑞(8,-2)是符合條件的點.
(ii)作^關于x軸的對稱圖形△B'OA2,得到點A2(1,-4);延長到點之,
使得。芻=2。4,這時點日(2,-8)是符合條件的點.
所以,點E的坐標是(8,-2),或(2,-8).......(20分)
13.求滿足2P2+p+8=,〃2-2根的所有素數p和正整數
.解:由題設得P(2/7+1)=(m一4)(〃2+2),
所以“I。〃-4)(加+2),由于/?是素數,故p|(加一4),或〃|(加+2)....(5分)
(1)若篦一4),令m-4=kp,人是正整數,于是〃?+2>切,
3P之>p(2p+V)=(m-4)(m+2)>k1p1,
故公<3,從而%=1.
m—4=p,(〃=5,
所以4〃解得........(10分)
m+2=2p+L[m=9.
(2)若p|(〃z+2),令m+2=kp,A是正整數.
當p>5時,有〃1-4=kp_6>kp_p=p*_l),
3P2>p(2p+l)=(/n-4)(/n+2)>k(k—Y)p2,
故—從而k=l,或2.
由于p(2p+l)=(〃2—4)(m+2)是奇數,所以左。2,從而k=l.
m—4=2p+L
于是《‘
m+2=p,
這不可能.
當〃=5時,m2-2m=63,m=9;當〃=3,m2-2m=29,無正整數解;當
〃=2時,m2-2m=18,無正整數解.
綜上所述,所求素數p=5,正整數加=9........(20分)
14.從1,2,…,2023這2023個正整數中,最多可以取出多少個數,
使得所取出的數中任意三個數之和都能被33整除?
解:首先,如下61個數:11,11+33,11+2x33,11+60x33(即2023)滿足題
設條件........(5分)
另一方面,設q<…<凡是從1,2,…,2023中取出的滿足題設條件的數,對于
這〃個數中的任意4個數%a/ak,am,因為
33|(4+a?+am),33|(a7+ak+am),
所以33|(a.-a,.).
因此,所取的數中任意兩數之差都是33的倍數.........(10分)
設q=q+334,i=T,2,3,…,n.
由331(q+g+%),得33](3q+334+334),
所以33|3q,即q211..(15分)
故d“W60.所以,“W61.
綜上所述,〃的最大值為61.(20分)
附送
考試必備心理素質
一、強化信心
1、經常微笑
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