2022版高中數(shù)學(xué)理人教A版一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)：四十五 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

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課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練

四十五直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

基礎(chǔ)落實(shí)練.（30分鐘60分）

一'選擇題（每小題5分，共25分）

1.（2021?紅河州模擬）設(shè)機(jī)，〃是空間中不同的兩條直線，a,￡是空

間中兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中，正確的是（）

A.若加〃a,n//P,a〃￡,則相〃〃

B.若a_L￡,mA-/3,則相〃a

C.若根_L〃，mA.a,a//B、則〃〃￡

D.若aJ_夕，aC\B=1,m//a,ml.1,則/%_1_夕

［解析］選D.對(duì)于A,由加〃a,7i〃6,a///3,可得加〃咒或相與

n相交或相與〃異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由a_L￡,m-L￡，可得m//a

或mua,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由m_L〃，a〃￡,可得n〃0

或〃u0,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由a_L￡,aV\/B=l,m//a,m-Ll,

得加，夕，故D正確.

2.在正方形形CD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折

成一個(gè)四面體，使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,P點(diǎn)在4AEF內(nèi)的

射影為0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.0是AAEF的垂心B.0是AAEF的內(nèi)心

C.0是"EF的外心D.0是ZkAEF的重心

【解析】選A.由題意可知PA,PE,PF兩兩垂直，所以PA_L平面PEF,從而

PA_LEF,而PO_L平面AEF,則PO±EF,

因?yàn)镻OAPA=P,所以EF_L平面PAO,

所以EF±AO,

同理可知AE_LFO,AF±EO,

所以0為AAEF的垂心.

3.設(shè)a為平面,m,n為兩條直線,若m_La,則是“nua”的

()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【解析】選C.當(dāng)m_La時(shí)，如果m_Ln,不一定能推出nCa,

因?yàn)橹本€n可以在平面a夕卜，

當(dāng)m_La時(shí)，如果nua,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)一定能推出m±n,

所以若m_La,則“m_Ln”是“nua”的必要不充分條件.

4.如圖，在正四面體P-ABC中。，E,廠分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),

下面四個(gè)結(jié)論不成立的是()

p

A.3c〃平面PDF

B.QAL平面RIE

C.平面PO尸，平面抬E

D.平面PQ￡，平面ABC

【解析】選D.因?yàn)锽C//DF,。尸u平面PDF,8。。平面PDF,所以8C〃

平面PDF故選項(xiàng)A不符合題意；在正四面體中，AE.LBC,PE-LBC,

AEC]PE=E,且AE,P￡u平面山區(qū)所以3cL平面用￡

因?yàn)镈F//BC,所以DF1,平面PAE,又u平面PDF,從而平面PDFS.

平面抬E.因此選項(xiàng)B,C均不符合題意.

9

5.已知三棱柱A3C-A15G的側(cè)棱與底面垂直，體積為彳，底面是邊

長(zhǎng)為小的正三角形，若尸為底面△48G的中心，則用與平面A3C

所成角的大小為（）

5五nnJI

C.D.

A-~nB-T46

【解析】選B.如圖,

取正三角形ABC的中心0,連接0P,則ZPAO是與平面ABC所

成的角.因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為小，所以4。=小X乎=|,A（?=|AD

=|x|=1.三棱柱的體積為:義（小尸義乎A4］=^,解得AAi=

小,即0。=441=5，所以tanN應(yīng)0=M=小,即/出0=曰.

二、填空題（每小題5分，共15分）

6.（2019?北京高考）已知I,m是平面a外的兩條不同直線.給出下列三

個(gè)論斷：

①?m;②m〃a奄1_1_a.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確

的命題:.

【解析】選兩個(gè)論斷作為條件，一個(gè)作為結(jié)論，一共能夠組成3個(gè)命題，

即①②"③,①③=②,②③今①，只有①②二③為假命題，其余兩個(gè)為

真命題.

答案：若m〃a,/_La,則/_Lm（或若I±m(xù),l±a,則m〃a）

7.如圖，在三棱柱A3c4&G中，側(cè)棱A41_L底面ABC,底面是以

/ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a,BBi=3a,。是4G的中

點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段44］上，當(dāng)Ab=時(shí)，平面8QF.

【解析】由題意易知，囪。，平面4。。］4，又CFu平面ACG4,所以

BiD.LCF.

要使CF±平面BXDF,只需CFLDF即可.

令CFLDF,設(shè)則A]/=3。一至

由RtACAF^RtAM^,

程善=AL即2a=x

付A/~AXD，叫3。一%—Q，

整理得f—3"+2c』=0,解得X=Q或％=2。.

答案：Q或2。

8.（2019?全國(guó)I卷）已知N4CB=90°,尸為平面4BC外一點(diǎn)，PC=2,

點(diǎn)P到NAC3兩邊AC,3c的距離均為小，那么P到平面ABC的距

離為.

【解析】作PQ,尸E分別垂直于AC,BC于點(diǎn)、D,E,POJ■平面A8C,

連接O。，CO,知GDJ_PD,CD.LPO,PD^PO=P,

所以COJ_平面尸QO,OQu平面PQO,

所以CDJ_OQ,

因?yàn)镻D=PE=y[^,PC=2.

所以sinZPCE=sinZPCD=^~,

所以NPCB=NPC4=60°,

所以POLCO,CO為NACB的平分線，

所以NOCD=45°,所以00=8=1,0C=yf2,

又PC=2,所以PO=14—2=72.

p

答案：啦

【加練備選?拔高】

如圖,在直三棱柱ABC-ABG中，側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=BC=1,ZACB=90°,D是

AB的中點(diǎn),F是BBi上的動(dòng)點(diǎn),AB?DF交于點(diǎn)E.要使AB」平面C.DF,則

線段BF的長(zhǎng)為.

【解析】設(shè)BF=x,因?yàn)锳BJ平面GDF,DFU平面GDF,所以ABJDF.

由已知可得AB=A/2設(shè)Rtz^AAB斜邊AB1上的高為h,則DE=-h.

2

義2義捺hj22+(V2)2,

所以h二型,DE=—.

33

在RtADBlE中，BBJ(.2舟2哼

在RSDBF中，由面積相等得手J%2+(當(dāng)2亭x,解得x=|

1

即線段BF的長(zhǎng)為二

答案:已1

2

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中，ABJ_平面PAD,AB〃DC,PD=AD,E是PB

的中點(diǎn),F是DC上的點(diǎn)且DF=-AB,PH為4PAD中AD邊上的周求證：

2

AH

⑴PH_L平面ABCD;

⑵EF_L平面PAB.

【證明】（1）因?yàn)锳B,平面PAD,ABu平面ABCD,

所以平面PAD_L平面ABCD.

因?yàn)槠矫鍼AD0平面ABCD二AD,PH±AD,

所以PH_L平面ABCD.

⑵取PA的中點(diǎn)M,連接MD,ME.

因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以ME-AB.

2

又因?yàn)镈F%B,所以MEDF,

2

所以四邊形MEFD是平行四邊形，所以EF/7MD.

因?yàn)镻D=AD,所以MDJLPA.

因?yàn)锳B_L平面PAD,所以MD±AB.

因?yàn)镻ADAB二A,所以MD_L平面PAB,

所以EF_L平面PAB.

10.(2021?哈爾濱模擬)如圖，在四棱臺(tái)中，O”O(jiān)分

別為上、下底面對(duì)角線的交點(diǎn)，001，平面4BCD,底面A3CO是邊長(zhǎng)

為2的菱形，且NABC=60°.

(1)證明：AC_L平面

(2)若NOi3O=30°,求三棱錐。-3由。的體積.

【解析】(1)因?yàn)榈酌鍭BC。是菱形，所以AC_L8D,因?yàn)镺O]_L平面

ABCD,所以AC_LO]O,因?yàn)?01~10|0=0,所以平面⑶用口。.

(2)連接8c囪。，因?yàn)榈酌鍭BC。是邊長(zhǎng)為2的菱形且NA3C=60°,

所以08=3，0C=l.

在RtZkOQB中，03=小，

001

由tan30°得OO\=1,

又因?yàn)?01〃平面BCD,所以B1到平面BCD的距離等于01到平面

BCD的距離.

義S&BCD=3*2小XI=小,

1

所以VD-BTBC=VBI-BCD=QS^CD?。。|=告.

素養(yǎng)提升練（2（）分鐘35分）

1.（2021?北海模擬）如圖,在正三棱柱A8GA山?中,底面邊長(zhǎng)為a,

側(cè)棱長(zhǎng)為4且點(diǎn)。是3G的中點(diǎn)，則直線AQ與側(cè)面A331Al

所成角的正切值的最小值是（）

V130V39

1313

【解析】選D.取A/i的中點(diǎn)E,連接BE,C\E,則GE_LA圈.由正三

棱柱的性質(zhì)可知，平面AiSCJ■平面ABB\A1,而平面ABGA平面

ABB}A}=A\B\,所以G￡_L平面A83|A].

取8E的中點(diǎn)F,連接AF,DF.因?yàn)镈為BC）的中點(diǎn)，所以DF//CR

所以平面A8BA，即點(diǎn)。在平面A83]A]上的投影為點(diǎn)R所以

ZDAF,即為直線A。與側(cè)面ABB^所成角.

1S

在RtAAFD中，DF=^。山=寧。，

…亭）2+6）2,

“，一一DFy[3a/—1—、/1

所以tanZDAF==/號(hào)，/="/-----TTJ/-----7=

人戶后”線…

,當(dāng)且僅當(dāng)a=h時(shí)，等號(hào)成立.

所以直線49與側(cè)面ABBMi所成角的正切值的最小值為普.

2.如圖，正三角形玄。所在平面與正方形A3CQ所在平面互相垂直,

。為正方形ABCQ的中心，M為正方形ABC力內(nèi)一點(diǎn)，且滿足MP=

MC,則點(diǎn)M的軌跡為（）

【解析】選A.取A。的中點(diǎn)E,連接尸E,PC,CE.

由PE_L4。知PE_L平面ABCD,

從而平面PECL平面ABCD,取PC,AB的中點(diǎn)F,G,連接DF,DG,

FG,

由PD=DC知DFLPC,由DGA.EC^,QGJ■平面PEC,又PCu平

面PEC,

所以QG_LPC,DFHDG=D,所以PC,平面G,又點(diǎn)尸是PC的

中點(diǎn)，

因此，線段DG上的點(diǎn)滿足MP=MC.

3.在直三棱柱ABCA/iG中,平面a與棱AB,AC,AQ,4名分別

交于點(diǎn)￡,F,G,H,且直線A4i〃平面a.有下列三個(gè)命題：①四邊形

E/G”是平行四邊形；②平面a〃平面BCCB；③平面a,平面BCFE.

其中正確命題的序號(hào)是.

【解析】如圖所示，

因?yàn)?4]〃平面a,平面aG平面AAXBXB=EH,所以A4/E”.同理441

//GF,所以EH"GF,又因?yàn)锳BC-A|3|G是直三棱柱，易知EH=GF

=44”所以四邊形ENG”是平行四邊形，故①正確；若平面a〃平面

BCGBi，由平面aG平面Ai8Ci=G"，平面8CG囪Cl平面=

3|G，知G”〃81G，而GH〃8|G不一定成立，故②錯(cuò)誤；由

平面BCFE,結(jié)合AA]〃由知EH1.平面BCFE,又EHu平面a,所以

平面a_L平面3CFE,故③正確.

答案：①③

4.（10分）（2021?麗江模擬）如圖,在直三棱柱ABC-OB￡中，已知AC±

BC,BC=CCt.設(shè)AB,的中點(diǎn)為D,B,CnBC,=E,連接DE.

求證：⑴DE〃平面AACC;

(2)BCl±AB1.

A

【證明】（1）由題意，知E為B￡的中點(diǎn).

又D為AB】的中點(diǎn)，所以DE/7AC.

又因?yàn)镈EC平面AACC,ACu平面AAGC,

所以DE〃平面AACC.

⑵因?yàn)槔庵鵄BC-ABG是直三棱柱，

所以CG_L平面ABC.

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以AC±CC1.

又因?yàn)锳C±BC,CGu平面BCCB,BCu平面BCCB,BCCICCkC,

所以ACJL平面BCCB.

又因?yàn)锽CiC平面BCCB,所以BCi±AC.

因?yàn)锽C=CG,所以矩形BCCB是正方形，

所以BGJLBC

因?yàn)锳Cu平面BiAC,B￡u平面B,AC,ACABiC=C,

所以BG_L平面B,AC.

又因?yàn)锳B,c平面BiAC,所以BG_LABi.

5.（10分）如圖,在直三棱柱ABC-ABC中,BD_L平面AB,C,其垂足D落在

直線B,C上.

A

BC

(1)求證:AC_LBC;

⑵若P是線段AB上一點(diǎn),BD=V3,BC=AC=2,三棱錐B-PAC的體積為弓,

求生的值.

PB

【解析】（1）因?yàn)锳BC-ABG是直三棱柱，

所以AC_LBB“

又BD_L平面ABC,ACc平面AB￡,

所以AC_LBD,又因?yàn)锽DABBFB,BDC平面BBGC,BB,c平面BBCC,

所以AC_L平面BBCC,因?yàn)锽￡u平面BBCC,

所以AC_LBC

⑵由⑴知AC_L平面BBCC,

所以AC±BC,因?yàn)锽C=AC=2,

所以AB=2位,C至IAB的距離為企,

=

設(shè)APx,貝IS/^PAC二—?x?V2—--x,

22

因?yàn)锽D±B1C,BC=2,BD=V3,

所以DC二

2

由BB±BC,得BC2=CD?OB）,CBF—=4,

1CD

所以J42-22:2班,

所以｝=--^x-2>/3=—,

Br-PAC323

、，

所z以X二一x/2,所2以7A一p1