第五單元《圓》教材解析-人教版數(shù)學六年級上冊

人教版數(shù)學六年級上冊《圓》教材解析一、教材介紹本單元的內(nèi)容是在學生已經(jīng)學習了長方形、正方形等平面圖形以及它們的周長、面積計算，直觀的認識圓的基礎上進行教學的，是小學階段的最后一個認識平面圖形的單元。圓這個平面圖形與以往學習的平面圖形有顯著的不同，長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形等都是直線圖形，而圓是曲線圖形。由此，教學將從對直線圖形的研究過渡到對曲線圖形的研究，這對學生而言是一種跨越與挑戰(zhàn)。因為無論是研究曲線圖形的思想還是方法，與直線圖形相比，都有顯著的變化和提升。因此，通過對圓的研究教學，不僅要讓學生掌握圓的一些基礎知識，還要讓學生感受與體悟“化曲為直”“等積變換”“極限”等數(shù)學思想方法，以促進與發(fā)展學生的數(shù)學思想方法和問題解決的能力。本單元的內(nèi)容主要有：圓的認識、圓的周長、圓的面積、扇形的認識等。二、課標解讀《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在“學段目標”的“第二學段”中提出“探索一些圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征；體驗簡單圖形的運動過程，能在方格紙上畫出簡單圖形運動后的圖形，了解確定物體位置的一些基本方法；掌握測量、識圖和畫圖的基本方法”“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結(jié)果”“在運用數(shù)學知識和方法解決問題的過程中，認識數(shù)學的價值”。

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在“課程內(nèi)容”的“第一學段”中提出“能辨認長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形”“會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖”；又在“第二學段”中指出“通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形和圓，知道扇形，會用圓規(guī)畫圓”“通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式；探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題”“通過觀察、操作等活動，進一步認識軸對稱圖形及其對稱軸，能在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸；能在方格紙上補全一個簡單的軸對稱圖形”“能從平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的角度欣賞生活中的圖案，并運用它們在方格紙上設計簡單的圖案”。三、教學目標及重難點1．使學生認識圓，學會用圓規(guī)畫圓，掌握圓的基本特征。2．使學生會利用直尺和圓規(guī)，在教師指導下設計一些與圓有關(guān)的圖案。3．使學生通過實踐操作，理解圓周率的意義，理解和掌握圓的周長計算公式，并解決一些相應的實際問題。4．引導學生探索并掌握圓的面積計算公式，并解決一些簡單的實際問題。5．使學生認識扇形，掌握扇形的一些基本特征。6．使學生經(jīng)歷嘗試、探究、分析、反思等過程，培養(yǎng)數(shù)學活動經(jīng)驗，在解決一些與圓有關(guān)的數(shù)學問題的過程中，提高問題解決的能力。7．使學生在推導圓的周長與面積的計算公式過程中體會和掌握轉(zhuǎn)化、極限等數(shù)學思想。8．通過生活實例、數(shù)學史料，感受數(shù)學之美，了解數(shù)學文化，提高學習興趣。四、具體內(nèi)容1.

圓的認識（1）圓的各部分名稱、圓的性質(zhì)教材首先呈現(xiàn)了自然界和社會生活中形形色色的“圓”，其中包括許多同心圓。豐富的圓形圖案，使學生感受到圓很美，同時，感受到數(shù)學就在身邊，激發(fā)起良好的學習情緒。接下來，請學生想辦法在紙上畫一個圓，學生可以調(diào)動以前的經(jīng)驗，用茶杯蓋、三角尺上的圓洞等圓形物體進行描摹，也可以用圓規(guī)畫圓。用實物畫圓也是很有意義的動手實踐機會，但畫出的圓的大小是固定的，不能隨意變化。而用圓規(guī)畫圓卻可以在兩腳叉開的范圍內(nèi)畫出任意大小的圓來。在畫圓環(huán)節(jié)出現(xiàn)用圓規(guī)畫圓，也是尊重學情的一種體現(xiàn)。學生在課外應該都嘗試過用圓規(guī)畫圓，但是如何畫得標準，畫得輕松，還需教師進一步指導。利用圓規(guī)畫圓，引出圓的各部分名稱。一方面，與前面的活動自然銜接；另一方面，畫圓的過程非常切合“圓是到定點的距離等于定長的所有點的集合”這一幾何學的定義。通過這一過程引出圓心、半徑、直徑等概念，將動手操作、觀察思考、概念引出融為一體，自然流暢。對圓特征的認識，分四個層次編排：首先，讓學生將畫好的圓折一折、畫一畫、量一量，發(fā)現(xiàn)沿著任意一條直徑對折，兩邊可以重合，說明了圓是軸對稱圖形。第二，通過對折痕的觀察和想象，讓學生理解半徑和直徑都有無數(shù)條。第三，通過測量與比較，讓學生認識到同一圓內(nèi)所有的半徑都相等，所有的直徑也都相等，并且直徑的長度是半徑的2倍。第四，結(jié)合畫圓的經(jīng)驗，理解圓心可決定圓的位置，半徑可決定圓的大小。（2）利用圓設計圖案尺規(guī)作圖是一項有著悠久歷史、充滿魅力的數(shù)學技能。教材在認識圓之后，安排了這樣一個實踐性內(nèi)容，既可以讓學生進一步熟練用圓規(guī)畫圓的技能，促進學生對圓的特征的進一步認識，又能讓學生在用尺規(guī)畫出漂亮圖案的過程中提高動手操作的能力，學會欣賞數(shù)學的美，培養(yǎng)熱愛數(shù)學學習的情感。教材先以分解的步驟，展示了如何利用圓的特征，一步一步畫出四個花瓣式的漂亮圖案。這中間，涉及到充分利用圓的對稱性，需要學生學會確定某個圓或半圓的圓心和半徑，這也是圓心和半徑分別確定圓的位置與大小的最直接應用。此外，還需要學生添加一些輔助線。因此，這樣的活動體現(xiàn)了很強的綜合性。之后，教材呈現(xiàn)了兩個更復雜的圖案，讓學生嘗試畫一畫，這需要學生綜合運用觀察、思考、動手等多方面的技能。教材給出了一些輔助線加以提示，需要學生對已經(jīng)成形的圖案進行“分解”，知道每一部分是怎么來的。用直尺畫出基本的圖形后，再進行涂色，涂不同的顏色，也會形成不同的作品。2.

圓的周長（1）圓的周長計算公式的推導圓的周長計算在實際生活中有廣泛的應用，因此，教材從“要在圓桌和菜板的邊緣箍上一圈鐵皮，求鐵皮的長度”這一學生熟悉的實際情境引入，幫助學生理解圓的周長的概念。學生已經(jīng)具備了測量一般圖形（物體）周長的技能，因此，面對“分別需要多長的鐵皮”的問題，他們完全能想到解決的辦法：拿卷尺直接繞一圈量，或者把圓形物體在直尺上滾一圈再量出長度，或者拿線在圓形物體上繞一圈，量出線的長度。學生在解決實際問題的過程中感受了方法多樣性和“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想。更重要的是，圓周長概念的內(nèi)涵，就在這樣的過程中得以清晰化、直觀化。方法需要優(yōu)化，思維需要提升。教材在此基礎上提出“除了上面的方法，還可以怎樣求圓的周長呢？”要求學生跳出繞、滾、圍等策略的測量方法，找到一種更為一般化的方法。通過“圓的周長和圓的大小有關(guān)系，圓的大小取決于……”，啟發(fā)學生將問題解決的方向放在從圓本身的特征去想辦法突破。第63頁上方的表格，是引導學生通過測量幾組圓的直徑和周長，自主發(fā)現(xiàn)周長和直徑的比值是一個固定值，從而引出圓周率的概念，并總結(jié)出圓的周長計算公式。在這個內(nèi)容中，教學的重點是讓學生利用實驗的手段，通過測量、計算、猜測圓的周長和直徑的關(guān)系、驗證猜測等過程，理解并掌握圓的周長計算方法。教材通過直接介紹的方式說明周長與直徑的比值是一個固定的數(shù)，叫做圓周率，用字母“π”來表示。為了方便學生計算，教材規(guī)定“π”這個無限不循環(huán)小數(shù)常常只取它的近似數(shù)，即兩位小數(shù)3.14。根據(jù)圓的周長和直徑的倍數(shù)關(guān)系，可以得出求圓的周長的計算公式：C＝πd或C＝2πr。（2）例1本例是一個與圓的周長計算有關(guān)的實際問題。通過學生經(jīng)常看到或使用的自行車引出問題，能讓學生體會到數(shù)學知識的廣泛應用。自行車的后輪半徑是33cm，它滾一圈能走多遠，那就是求它的周長。這樣的問題，是“化曲為直”思想的應用——用曲的車輪周長計量自行車前進的距離。第二個問題帶有更強的現(xiàn)實性，“小明從家到學校1km，輪子大約轉(zhuǎn)了多少圈？”學生必須通過計算，才能解決這個問題。得出的相關(guān)結(jié)果，也能加強學生的生活經(jīng)驗。3．圓的面積（1）圓的面積計算公式的推導教材首先通過計算圓形草坪占地面積的實際情境提出圓面積的概念，一方面使學生在以前所學知識的基礎上理解“圓的面積就是它所占平面的大小”，另一方面使學生體會在實際生活中計算圓面積的必要性。學生以前所學的圖形都是多邊形（如三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形等），像圓這樣的曲線圖形的面積計算，學生還是第一次接觸到。把圓分割成若干等份后拼成近似的長方形的方法，學生很難自主發(fā)現(xiàn)，因此，教材直接給出明確的提示，讓學生把圓分成若干等份，拼一拼。接下來的過程，則主要交給學生自主探索。教材讓學生通過觀察，看到拼出的是近似的長方形（或平行四邊形），隨著分的份數(shù)越來越多，拼出的圖形越來越接近于長方形，體會“無限逼近”的極限思想。這個近似的長方形的的長和寬與圓的周長、半徑有著緊密的聯(lián)系。引導學生通過觀察、對比，利用圓與長方形之間的關(guān)系，自行推導出圓的面積計算公式。（2）例1本例是在學生推導出了圓面積計算公式以后，用此公式解決本節(jié)開頭的實際問題。求的是鋪滿草皮需要多少錢，這一問題比“求草皮面積是多少”更有現(xiàn)實意義、更自然。要求鋪滿草皮需要多少錢，首先要求圓形草皮的面積。（3）例2本例是求圓環(huán)的面積，教材通過插圖幫助學生了解什么叫圓環(huán)，理解求圓環(huán)的面積是用外圓面積減去內(nèi)圓面積。教材給出了兩種算法：3.14×62－3.14×22和3.14×（62－22）。教材也有意引導學生根據(jù)乘法分配律，采用相對簡便的算法，這樣，可以大大減少計算的繁雜程度，減少計算出錯的可能性。（4）例3本例通過讓學生解決圓的內(nèi)接正方形、外切正方形與圓之間部分的面積這一實際問題，經(jīng)歷問題解決的全過程，并在解決具體問題的基礎上發(fā)現(xiàn)更為一般的數(shù)學規(guī)律，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。例題以中國古建筑中“外方內(nèi)圓”和“外圓內(nèi)方”兩種經(jīng)典設計為情境，直觀清晰地提出了需要解決的數(shù)學問題——求正方形與圓之間的那部分面積。兩個圖中的圓大小相同，但正方形位置與大小都不同。很自然地引出一個問題：中間部分的面積與圓的面積有沒有關(guān)系？有什么樣的關(guān)系？例3是給出一個特殊的圓半徑，先解決特殊問題，在“反思”部分再討論一般性的規(guī)律?！胺治雠c解答”引導學生根據(jù)圖示尋找正方形與圓之間的關(guān)系。第一個圖，很容易看出正方形的邊長就是圓的直徑；第二個圖，正方形的邊長不知道，不能用邊長的平方直接計算面積。此時，就需要轉(zhuǎn)換思路，將正方形看成兩個底是圓的直徑、高是圓的半徑的三角形（或四個小三角形）。在前面的解題環(huán)節(jié)，學生發(fā)現(xiàn)正方形與圓之間的面積與圓的半徑是有關(guān)的，那到底有什么樣的關(guān)系呢？因此，在“回顧與反思”這一環(huán)節(jié)，需要繼續(xù)延伸討論，進一步探討一般化的結(jié)論。圓的半徑是r與半徑是1m的解題思路完全相同，因為半徑1m只是其中的一種特例。讓學生利用剛才的方法，得到一個代數(shù)式的結(jié)果。把r=1m代入，與前面的結(jié)果相符，以此檢驗這個代數(shù)式的正確性。4.

扇形的認識教材呈現(xiàn)了三個名稱中含有“扇”的物體，引出問題：什么是扇形？這樣的引入方式，把扇形這個數(shù)學名詞與學生已有的生活經(jīng)驗建立聯(lián)系，有助于激發(fā)學生的研究興趣。教材結(jié)合圖示，以直接介紹的方式，揭示了“弧”“扇形”“圓心角”等術(shù)語的含義。事實上，扇形就是弧和圓心角所組成的圖形?！稁缀卧尽分羞@樣定義扇形：由頂點在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形叫做扇形。扇形的大小與圓心角的大小緊密相關(guān)，也與所在圓的半徑大小有關(guān)。到第七單元學習扇形統(tǒng)計圖時，還用到了各部分扇形的大小占整個圓的百分數(shù)。這些，需要學生直觀感知并理解，但總體要求并不高，例如，扇形統(tǒng)計圖中沒有提出計算各扇形圓心角的明確要求。因此，教材上只列出了兩類特殊的扇形：半圓為弧的扇形對應的圓心角是180°，圓為弧的扇形對應的圓心角是90°。五、教學建議

（一）以實踐活動引領學生學習，加強學生動手操作、自主探索的能力

本單元教材在各知識板塊的編排中，都體現(xiàn)了上述的理念與內(nèi)容，即以實踐性的活動讓學生“做”起來，在“做”的過程中，引發(fā)學生的“思考”，進而主動探索，最終理解概念（或得出結(jié)論）。在實際教學中，教師應注意多讓學生動手操作，通過畫一畫、剪一剪、圍一圍、拼一拼等多種形式，幫助學生認識圓的基本特征，探索圓的周長、面積計算公式。

比如在教學“圓的認識”時，教師應指導學生掌握用圓規(guī)畫圓的方法，讓學生在畫圓的過程中，去觀察和圓相關(guān)的一些元素，如針尖所在的點、兩腳之間的距離，從而導出圓心、半徑和直徑等概念，在通過折、畫、量等活動發(fā)現(xiàn)半徑、直徑的特點及關(guān)系。探究圓的周長時，則可讓學生采用圍一圍、滾一滾的方法先測量出周長，在此基礎上引導學生探究周長與直徑之間的關(guān)系。探索圓的面積時，可指導學生將把圓分成若干等份的小紙片拼一拼，從而“化圓為方”，再通過觀察、對比、推理，得出圓的面積計算公式。

當然，在實際教學時，我們不能把學生的動手操作活動作為活動的目的，而應該引導學生以動手操作為基礎，探索和發(fā)現(xiàn)圓的有關(guān)特性。如此，學生不僅掌握了知識和技能，體驗到了操作活動的價值，還有效地積累了數(shù)學活動的經(jīng)驗。

（二）在探求知識的同時，引導學生體會和掌握有關(guān)的數(shù)學思想方法本單元涉及“化曲為直”“轉(zhuǎn)化”“推理”“極限”等多種數(shù)學思想方法。因此，教學時應將此作為一個重要的教學目標予以落實。圓的周長和面積計算公式的推導，用到了轉(zhuǎn)化的思想，需要引導學生深入體會這種思想方法。如在研究圓的面積計算公式時，教師可讓學生回顧：以前研究多邊形面積時，主要采用了割補法、拼組等方法，將多邊形轉(zhuǎn)化為學生更熟悉的圖形來解決，那么是否也可以按這樣的思路，利用割補等方式把圓轉(zhuǎn)化為熟