2023-2024學(xué)年湖南省長沙市長郡教育集團九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省長沙市長郡教育集團九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A． B．0 C． D．﹣32．某新聞媒體發(fā)布“王亞平成為中國首位出艙的女航天員”，據(jù)不完全統(tǒng)計，總播放量超過29600000次，將數(shù)據(jù)29600000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．29.6×107 B．2.96×107 C．2.96×106 D．0.296×1073．下列事件是必然事件的是（）A．四邊形內(nèi)角和是360° B．校園排球比賽，九年一班獲得冠軍 C．擲一枚硬幣時，正面朝上 D．打開電視，正在播放神舟十六號載人飛船發(fā)射實況4．中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，如圖四幅作品分別代表“立春”，“立夏”“芒種”“大雪”，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．要使二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C． D．6．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．7．如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（）?A．5 B．6 C．8 D．108．已知一個扇形的圓心角為150°，半徑是6，則這個扇形的面積是（）A．15π B．10π C．5π D．2.5π9．在同一平面內(nèi)，點P到圓上的點的最大距離為6，最小距離為4，則此圓的半徑為（）A．2 B．5 C．1 D．5或110．如圖所示是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點坐標為（1，n），且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，則下列結(jié)論：①a﹣b+c＜0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c﹣n﹣2＝0沒有實數(shù)根．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）11．已知M（a，3）和N（﹣4，b）關(guān)于原點對稱，則a+b＝．12．在一個不透明的箱子里放有7個紅球和3個黑球，它們除顏色外其余都相同．從這個箱子里隨機摸出一個球，摸出的球是紅球的概率是．13．一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的一根為3，則m的值為．14．如圖，在⊙O中，弦BC＝2，點A是圓上一點，且∠BAC＝30°，則⊙O的半徑是．15．如圖，將三角形ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到三角形CDE，若點A恰好在ED的延長線上，若∠ABC＝110°，則∠ADC的度數(shù)為．16．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于（﹣2，0）和（4，0）兩點，當函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍是．三、解答題（本大題共有9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．計算：．18．先化簡，再求值：，其中x＝5．19．如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度）．（1）以坐標原點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1，寫出點A1的坐標；（2）求旋轉(zhuǎn)過程中點C經(jīng)過的路徑長．20．2022年虎年新春，中國女足3：2逆轉(zhuǎn)韓國，時隔16年再奪亞洲杯總冠軍：2022年國慶，中國女籃高歌猛進，時隔28年再奪世界杯亞軍，展現(xiàn)了中國體育的風(fēng)采！為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識，某校初中開展了“陽光體育活動”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項球類活動，為了了解學(xué)生對這五項活動的喜愛情況，隨機調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計圖提供的信息，請解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有名，補全條形統(tǒng)計圖；（2）扇形統(tǒng)計圖中“羽毛球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是；（3）學(xué)校準備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，則甲和乙同學(xué)同時被選中的概率是多少？21．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4過點（3，﹣4），與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于C點，點A的坐標為（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點P是直線BC下方拋物線上一動點，過點P作y軸平行線交直線BC于點Q，求線段PQ的最大值及此時點P的坐標．22．“一盔一帶”安全守護行動是公安部在全國開展的一項安全守護行動，也是營造文明城市，做文明市民的重要標準，“一盔”是指安全頭盔，電動自行車駕駛?cè)撕统俗藛T應(yīng)當戴安全頭盔，某商場欲購進一批頭盔，已知購進8個甲型頭盔和6個乙型頭盔需要630元，購進6個甲型頭盔和8個乙型頭盔需要700元．（1）購進1個甲型頭盔和1個乙型頭盔分別需要多少元？（2）若該商場準備購進200個這兩種型號的頭盔，總費用不超過10200元，以甲型頭盔58元/個、乙型頭盔98元/個的價格銷售完．要使總利潤不少于6180元，有多少種進貨方案？其中利潤最大的方案是甲型頭盔和乙型頭盔各多少個？最大利潤是多少？24．新定義：已知y是x的函數(shù)，若函數(shù)圖象上存在一點P（a，a+2），則稱點P為函數(shù)圖象上的“樸實點”．例如：直線y＝2x+1上存在的“樸實點”是P（1，3）．（1）判斷直線y＝x+4上是否有“樸實點”？若有，直接寫出其坐標；若沒有，請說明理由；（2）若拋物線y＝x2+3x+2﹣k上存在兩個“樸實點”，兩個“樸實點”之間的距離為2，求k的值；（3）若二次函數(shù)y＝x2+（m﹣t+1）x+2n+2t﹣2的圖象上存在唯一的“樸實點”，且當﹣2≤m≤3時，n的最小值為t+4，求t的值．25．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＝BC，弦CD與AB交于點E，，過點A作AF⊥BC于點F．（1）判斷∠ABC與∠ABD的大小關(guān)系，并說明理由；（2）求證：AC＝2CF+BD；（3）若S△CFA＝S△CBD，求的值．

參考答案一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A． B．0 C． D．﹣3【分析】根據(jù)無理數(shù)的概念進行判定即可．解：A、是有理數(shù)，不是無理數(shù)，不符合題意；B、0是有理數(shù)，不是無理數(shù)，不符合題意；C、是無理數(shù)，符合題意；D、﹣3是有理數(shù)，不是無理數(shù)，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有三類：①π類，如2π，等；②開方開不盡的數(shù)，如，等；③雖有規(guī)律但卻是無限不循環(huán)的小數(shù)，如0.1010010001…（兩個1之間依次增加1個0），0.2121121112…（兩個2之間依次增加1個1）等．2．某新聞媒體發(fā)布“王亞平成為中國首位出艙的女航天員”，據(jù)不完全統(tǒng)計，總播放量超過29600000次，將數(shù)據(jù)29600000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．29.6×107 B．2.96×107 C．2.96×106 D．0.296×107【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，n是負數(shù)．解：29600000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.96×107．故選：B．【點評】本題主要考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整數(shù)位數(shù)減去1來確定．用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)n的確定方法．3．下列事件是必然事件的是（）A．四邊形內(nèi)角和是360° B．校園排球比賽，九年一班獲得冠軍 C．擲一枚硬幣時，正面朝上 D．打開電視，正在播放神舟十六號載人飛船發(fā)射實況【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答．解：A、四邊形內(nèi)角和是360°，是必然事件，故A符合題意；B、校園排球比賽，九年一班獲得冠軍，是隨機事件，故B不符合題意；C、擲一枚硬幣時，正面朝上，是隨機事件，故C不符合題意；D、打開電視，正在播放神舟十六號載人飛船發(fā)射實況，是隨機事件，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關(guān)鍵．4．中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，如圖四幅作品分別代表“立春”，“立夏”“芒種”“大雪”，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐項判斷即可．解：A選項不是軸對稱圖象，也不是中心對稱圖形，不合題意；B選項是軸對稱圖象，不是中心對稱圖形，不合題意；C選項是軸對稱圖象，不是中心對稱圖形，不合題意；D選項是軸對稱圖象，也是中心對稱圖形，符合題意；故選：D．【點評】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是掌握定義：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫軸對稱圖形；如果一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180度后能與它自身重合，這個圖形叫做中心對稱圖形．5．要使二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C． D．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．解：由題意得：6x+12≥0，解得：x≥﹣2，故選：B．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．解：，解得，不等式組的解集是﹣1≤x＜1，故選：B．【點評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．7．如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（）?A．5 B．6 C．8 D．10【分析】連接OA，如圖，先根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE＝8，然后利用勾股定理計算出OA即可．解：連接OA，如圖，∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×16＝8，在Rt△OAE中，OA＝＝＝10，即⊙O半徑為10．故選：D．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?．已知一個扇形的圓心角為150°，半徑是6，則這個扇形的面積是（）A．15π B．10π C．5π D．2.5π【分析】根據(jù)扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝進行計算即可．解：∵扇形的圓心角為150°，半徑是6，∴S扇形＝．故選：A．【點評】此題主要考查了扇形的面積計算，關(guān)鍵是掌握扇形面積計算公式．9．在同一平面內(nèi)，點P到圓上的點的最大距離為6，最小距離為4，則此圓的半徑為（）A．2 B．5 C．1 D．5或1【分析】由于點P與⊙O的位置關(guān)系不能確定，故應(yīng)分兩種情況進行討論．解：設(shè)⊙O的半徑為r，當點P在圓外時，r＝＝1；當點P在⊙O內(nèi)時，r＝＝5．綜上可知此圓的半徑為1或5．故選：D．【點評】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，能夠進行分類討論，不要漏解是解決問題的關(guān)鍵．10．如圖所示是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點坐標為（1，n），且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，則下列結(jié)論：①a﹣b+c＜0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c﹣n﹣2＝0沒有實數(shù)根．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)圖象開口向下，對稱軸為直線x＝1可得拋物線與x軸另一交點坐標在（﹣1，0），（﹣2，0）之間，從而判斷①．由對稱軸為直線x＝1可得b與a的關(guān)系，將b＝﹣2a代入函數(shù)解析式根據(jù)圖象可判斷②由ax2+bx+c＝n有兩個相等實數(shù)根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，從而判斷③．由函數(shù)最大值為y＝n可判斷④．解：∵拋物線頂點坐標為（1，n），∴拋物線對稱軸為直線x＝1，∵圖象與x軸的一個交點在（3，0），（4，0）之間，∴圖象與x軸另一交點在（﹣1，0），（﹣2，0）之間，∴x＝﹣1時，y＞0，即a﹣b+c＞0，故①錯誤，不符合題意．∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，∴x＝﹣1時，y＝3a+c＞0，故②正確，符合題意．∵拋物線頂點坐標為（1，n），∴ax2+bx+c＝n有兩個相等實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，∴b2＝4a（c﹣n），故③正確，符合題意．∵y＝ax2+bx+c的最大函數(shù)值為y＝n，∴ax2+bx+c＝n﹣2有實數(shù)根，故④錯誤，不合題意．故選：B．【點評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用．二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）11．已知M（a，3）和N（﹣4，b）關(guān)于原點對稱，則a+b＝1．【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)得出a，b的值，進而得出答案．兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y）．解：∵M（a，3）和N（﹣4，b）關(guān)于原點對稱，∴a＝4，b＝﹣3，則a+b＝4﹣3＝1．故答案為：1．【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標的符號關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．在一個不透明的箱子里放有7個紅球和3個黑球，它們除顏色外其余都相同．從這個箱子里隨機摸出一個球，摸出的球是紅球的概率是．【分析】直接由概率公式求解即可．解：從這個箱子里隨機摸出一個球，摸出的球是紅球的概率是＝，故答案為：．【點評】本題考查了概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．熟記概率公式是解題的關(guān)鍵．13．一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的一根為3，則m的值為7．【分析】把x＝3代入一元二次方程得18﹣3m+3＝0，然后解關(guān)于m的方程即可．解：把x＝3代入方程2x2﹣mx+3＝0得18﹣3m+3＝0，解得m＝7，即m的值為7．故答案為：7．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．14．如圖，在⊙O中，弦BC＝2，點A是圓上一點，且∠BAC＝30°，則⊙O的半徑是2．【分析】連接OB、OC，根據(jù)圓周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝60°，而OB＝OC，于是可判斷△OBC為等邊三角形，所以O(shè)B＝BC＝1．解：連接OB、OC，如圖，∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，而OB＝OC，∴△OBC為等邊三角形，∴OB＝BC＝2，即⊙O的半徑為2．故答案為：2．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．15．如圖，將三角形ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到三角形CDE，若點A恰好在ED的延長線上，若∠ABC＝110°，則∠ADC的度數(shù)為70°．【分析】由三角形ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到三角形CDE，得∠ABC＝∠CDE＝110°，則∠ADC＝70°．解：∵三角形ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到三角形CDE，∴∠ABC＝∠CDE，∵∠ABC＝110°，∴∠CDE＝110°，∴∠ADC＝70°，故答案為：70°．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，明確旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．16．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于（﹣2，0）和（4，0）兩點，當函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍是﹣2＜x＜4．【分析】由拋物線與x軸的交點坐標，結(jié)合圖象即可解決問題．解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（﹣2，0）和（4，0）兩點，函數(shù)開口向下，∴函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍是﹣2＜x＜4，故答案為﹣2＜x＜4．【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征．三、解答題（本大題共有9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．計算：．【分析】先算負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪，同時去絕對值，化簡二次根式，再計算加減法即可．解：＝25﹣2+1+2＝26．【點評】本題考查二次根式的混合運算、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．18．先化簡，再求值：，其中x＝5．【分析】根據(jù)分式的減法法則、除法法則把原式化簡，把x的值代入計算即可．解：原式＝（﹣）?＝?＝，當x＝5時，原式＝＝．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度）．（1）以坐標原點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1，寫出點A1的坐標；（2）求旋轉(zhuǎn)過程中點C經(jīng)過的路徑長．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可以坐標原點O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1B1C1，進而可以寫出A1點的坐標；（2）根據(jù)弧長公式即可求點C到點C1經(jīng)過的路徑長．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，A1點的坐標為（2，1）；（2）∵OC＝＝3，∠COC1＝90°，∴旋轉(zhuǎn)過程中點C經(jīng)過的路徑長為：＝π．【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．20．2022年虎年新春，中國女足3：2逆轉(zhuǎn)韓國，時隔16年再奪亞洲杯總冠軍：2022年國慶，中國女籃高歌猛進，時隔28年再奪世界杯亞軍，展現(xiàn)了中國體育的風(fēng)采！為了培養(yǎng)青少年體育興趣、體育意識，某校初中開展了“陽光體育活動”，決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球、羽毛球、排球這五項球類活動，為了了解學(xué)生對這五項活動的喜愛情況，隨機調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項活動中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計圖提供的信息，請解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有100名，補全條形統(tǒng)計圖；（2）扇形統(tǒng)計圖中“羽毛球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是36°；（3）學(xué)校準備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，則甲和乙同學(xué)同時被選中的概率是多少？【分析】（1）用選擇“籃球”的人數(shù)除以其所占百分比，可得本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)；求出選擇“足球”的人數(shù)，再補全條形統(tǒng)計圖即可．（2）用選擇“羽毛球”的人數(shù)除以本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)再乘以360°即可．（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，以及甲和乙同學(xué)同時被選中的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．解：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為30÷30%＝100（名）．選擇“足球”的人數(shù)為35%×100＝35（名）．補全條形統(tǒng)計圖如下：故答案為：100；（2）扇形統(tǒng)計圖中“羽毛球”對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)為×360°＝36°．故答案為：36°．（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲和乙同學(xué)同時被選中的結(jié)果有2種，∴甲和乙同學(xué)同時被選中的概率為＝．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，能夠讀懂條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．21．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4過點（3，﹣4），與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于C點，點A的坐標為（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點P是直線BC下方拋物線上一動點，過點P作y軸平行線交直線BC于點Q，求線段PQ的最大值及此時點P的坐標．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）由拋物線的對稱性求得B點的坐標，由解析式求得C點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式為y＝x﹣4，設(shè)P（x，x2﹣3x﹣4）（0＜x＜4），則Q（x，x﹣4），即可得出PQ＝x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．解：（1）把（3，﹣4），（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴拋物線的表達式為y＝x2﹣3x﹣4，∴其對稱軸為直線x＝﹣＝；（2）∵拋物線對稱軸為直線x＝，點A的坐標為（﹣1，0），∴B（4，0），當x＝0時，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4，∴C（0，﹣4），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx﹣4，代入B（4，0）得，4k﹣4＝0，解得k＝1，∴直線BC為y＝x﹣4，設(shè)P（x，x2﹣3x﹣4）（0＜x＜4），則Q（x，x﹣4），∴PQ＝x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4，∴當x＝2時，PQ有最大值4，此時P（2，﹣6）．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．22．“一盔一帶”安全守護行動是公安部在全國開展的一項安全守護行動，也是營造文明城市，做文明市民的重要標準，“一盔”是指安全頭盔，電動自行車駕駛?cè)撕统俗藛T應(yīng)當戴安全頭盔，某商場欲購進一批頭盔，已知購進8個甲型頭盔和6個乙型頭盔需要630元，購進6個甲型頭盔和8個乙型頭盔需要700元．（1）購進1個甲型頭盔和1個乙型頭盔分別需要多少元？（2）若該商場準備購進200個這兩種型號的頭盔，總費用不超過10200元，以甲型頭盔58元/個、乙型頭盔98元/個的價格銷售完．要使總利潤不少于6180元，有多少種進貨方案？其中利潤最大的方案是甲型頭盔和乙型頭盔各多少個？最大利潤是多少？【分析】（1）設(shè)購進1個甲型頭盔需要x元，1個乙型頭盔需要y元，根據(jù)“購進8個甲型頭盔和6個乙型頭盔需要630元，購進6個甲型頭盔和8個乙型頭盔需要700元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進m個甲型頭盔，則購進（200﹣m）個乙型頭盔，根據(jù)“進貨總費用不超過10200元，且全部售出后獲得的總利潤不少于6180元”，可列出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，結(jié)合m為正整數(shù)，可得出該商場共有5種進貨方案，再求出選擇各方案可獲得的利潤，比較后即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)購進1個甲型頭盔需要x元，1個乙型頭盔需要y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：購進1個甲型頭盔需要30元，1個乙型頭盔需要65元；（2）設(shè)購進m個甲型頭盔，則購進（200﹣m）個乙型頭盔，根據(jù)題意得：，解得：80≤m≤84，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為80，81，82，83，84，∴該商場共有5種進貨方案，方案1：購進80個甲型頭盔，120個乙型頭盔，全部售出后的利潤為（58﹣30）×80+（98﹣65）×120＝6200（元）；方案2：購進81個甲型頭盔，119個乙型頭盔，全部售出后的利潤為（58﹣30）×81+（98﹣65）×119＝6195（元）；方案3：購進82個甲型頭盔，118個乙型頭盔，全部售出后的利潤為（58﹣30）×82+（98﹣65）×118＝6190（元）；方案4：購進83個甲型頭盔，117個乙型頭盔，全部售出后的利潤為（58﹣30）×83+（98﹣65）×117＝6185（元）；方案5：購進84個甲型頭盔，116個乙型頭盔，全部售出后的利潤為（58﹣30）×84+（98﹣65）×116＝6180（元）．∵6200＞6195＞6190＞6185＞6180，∴利潤最大的方案是：購進80個甲型頭盔，120個乙型頭盔，最大利潤是6200元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．24．新定義：已知y是x的函數(shù)，若函數(shù)圖象上存在一點P（a，a+2），則稱點P為函數(shù)圖象上的“樸實點”．例如：直線y＝2x+1上存在的“樸實點”是P（1，3）．（1）判斷直線y＝x+4上是否有“樸實點”？若有，直接寫出其坐標；若沒有，請說明理由；（2）若拋物線y＝x2+3x+2﹣k上存在兩個“樸實點”，兩個“樸實點”之間的距離為2，求k的值；（3）若二次函數(shù)y＝x2+（m﹣t+1）x+2n+2t﹣2的圖象上存在唯一的“樸實點”，且當﹣2≤m≤3時，n的最小值為t+4，求t的值．【分析】（1）將點P的坐標代入函數(shù)表達式得：a+2＝a+4，即可求解；（2）由點P的坐標知，點P在直線y＝x+2上，則點P所在的直線和x軸的夾角為45°，當兩個“樸實點”之間的距離為2時，則兩個點的橫坐標差為2，即可求解；（3）點P是二次函數(shù)的圖象上的樸實點，則a+2＝a2+（m﹣t+1）a+2n+2t﹣2，由Δ＝0，得到n＝m2﹣2mt+t2﹣t+2，再分類求解即可．解：（1）有，理由：將點P的坐標代入函數(shù)表達式得：a+2＝a+4，解得：a＝3，即點P（3，5）；（2）由點P的坐標知，點P在直線y＝x+2上，則點P所在的直線和x軸的夾角為45°，當兩個“樸實點”之間的距離為2時，則兩個點的橫坐標差為2，聯(lián)立線y＝x2+3x+2﹣k和y＝x+2得：x2+2x﹣k＝0，則x＝﹣1±，則﹣1+﹣（﹣1﹣）＝2，解得：k＝0；（3）∵點P是二次函數(shù)的圖象上的樸實點，∴a+2＝a2+（m﹣t+1）a+2n+2t﹣2，∴a2+（m﹣t）a+2n+