一題多解的理論與實(shí)踐

一題多解的理論與實(shí)踐

1變式研究與問題變式近幾十年來，中國(guó)大陸和香港科學(xué)家（如顧建生、黃榮錦、易林峰、顧啟源、邱才（2002）、顧冷元、黃榮錦、馬頓（2005）、聶碧凱（2004）、鄭玉新（2007）、張建宇（2007）、孫旭華（2007）、黃益英、林志忠、孫旭華（2006）、胡士泰（2007）等達(dá)成了共識(shí)。變向（東、西、北和南同時(shí)研究變向，雙方都同意研究結(jié)果相似。這項(xiàng)工作通常指的是“變中發(fā)現(xiàn)不變?cè)亍钡慕逃?，反映了中?guó)數(shù)學(xué)教育的一些合理地方[1.10]。變異（varia）很快成為數(shù)學(xué)教育工作者的研究熱點(diǎn)，上述相關(guān)研究也取得了很大的進(jìn)展。事實(shí)上，變向是數(shù)學(xué)教育研究的重要背景。主要原因是，變向是通過“變中檢測(cè)變量”學(xué)習(xí)抽象和“以不變變”學(xué)習(xí)公理化，并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育的中心問題“是抽象”和“公理化”?！肮砘焙汀俺橄蟆笔菙?shù)學(xué)教育的難題。由于數(shù)學(xué)的視覺，變向研究保證了數(shù)學(xué)教育和學(xué)習(xí)的地位。由于“公理化”和“抽象化”的促進(jìn)，變向研究已成為“數(shù)學(xué)教育”的重要組成部分。在中國(guó)，變向教育主要從教育的角度研究數(shù)學(xué)知識(shí)的有效傳播方法。另一方面,變式也一直是學(xué)習(xí)領(lǐng)域的主要陣地,如朱新明、李亦菲、朱丹(1997),司馬賀(1986),Copper&Sweller(1987),Anderson(1989)等在認(rèn)知心理學(xué)理論的基礎(chǔ)上,通過“變中發(fā)現(xiàn)不變”和“以不變應(yīng)萬變”來研究“遷移”是否發(fā)生、“推理”是否發(fā)生[12~15].變式研究因有助于“遷移”和“推理”學(xué)習(xí)而成為“學(xué)習(xí)領(lǐng)域”重要部分.其中,以Marton為首的歐洲現(xiàn)象圖示學(xué)習(xí)理論學(xué)派,特別注意“變與不變”的變異對(duì)教學(xué)的啟示,出現(xiàn)系列研究[16~17].該學(xué)派主要成果之一:現(xiàn)象圖示學(xué)的變異理論(TheoryofVariation)從學(xué)習(xí)領(lǐng)域,解釋如何設(shè)置“變異空間”,有助于區(qū)分變中的不變要素.變異理論主要從學(xué)習(xí)角度,關(guān)注了“變易”設(shè)計(jì)之學(xué)習(xí)發(fā)生條件.問題與問題之間的關(guān)系,沒有作為變式研究主要對(duì)象.然而,這些變式研究,卻都沒有從“問題”這個(gè)主要數(shù)學(xué)課程載體,有系統(tǒng)地研究課程設(shè)計(jì).為什么從分析問題入手呢?“問題”無疑是數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重心.Halmos(1980)也指出問題是“數(shù)學(xué)的中心”和“數(shù)學(xué)課程的中心”.事實(shí)上,數(shù)學(xué)教學(xué)不可能完全從概念到概念、從公式到公式、從定理到定理,概念、公式、定理都需要借助“問題”這個(gè)載體,而間接地通過教學(xué),實(shí)現(xiàn)對(duì)概念、公式、定理的理解,問題作為數(shù)學(xué)課程的中心最直接的載體,卻沒有作為變式研究的主要對(duì)象.雖然很多研究更多地關(guān)注單個(gè)問題,如何設(shè)計(jì)開放題,已經(jīng)有20年研究歷史.在數(shù)學(xué)問題解決研究中,問題與問題之間的變化關(guān)系,并未受到很好地關(guān)注.事實(shí)上,學(xué)生往往不是解一道題,而是解幾道題,那么,題與題的關(guān)系也決定了變化了什么,什么是不變的,學(xué)生可能從題與題之間不變的關(guān)系中,再次學(xué)習(xí)抽象化,題與題之間的關(guān)系變化,決定了學(xué)生學(xué)的內(nèi)容和方式,然而題與題的關(guān)系,一直沒有作為變式研究的主要對(duì)象.一般來說,中國(guó)內(nèi)地?cái)?shù)學(xué)課程中,“一題多變”、“一題多解”(本文將主要論述“一題多解”,“一題多變”論述詳見文),若看作問題變式(問題變化),占教學(xué)和課后練習(xí)的相當(dāng)比重,是中國(guó)內(nèi)地課程的主要特征之一,也是課后練習(xí)的主要合理要素之一.對(duì)于中國(guó)內(nèi)地研究者來說,這是最熟悉、最常見的教學(xué)理念,乃至于容易“熟視”而“無睹”.(一般大陸的教師,通常不會(huì)認(rèn)為問題變式有何特別,主要因?yàn)檎驹诋嬅胬?缺乏距離和視角,難以看清楚畫面.)下面是中國(guó)教材進(jìn)行“一題多解”的問題變式的實(shí)例(如圖1):學(xué)生計(jì)算13-8有以下“一題多解”的解法:10-8=2,再用2+3=5;也可以10-5=5,再算5+3=8;還可以由8+5=13,得到13-5=8,13-8=5.而美國(guó)教材出現(xiàn)“一題多解”機(jī)會(huì)很少,例如圖2.同樣計(jì)算13-8,往往是“一題一解”的.例如,梯形面積中,中國(guó)教材會(huì)“自然地”呈現(xiàn)“一題多解”,如圖3:出現(xiàn)了3種證明梯形公式的方法:把梯形分為兩個(gè)三角形,求和;把梯形分為一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形,求和;把兩個(gè)梯形并為一個(gè)平行四邊形.美國(guó)教材Exploringmathematics《探索數(shù)學(xué)》則非?！白匀坏亍背尸F(xiàn)“一題一解”.弗朗西斯是一個(gè)木工,他把兩塊全等的梯形放在一起,形成一個(gè)平行四邊形(如圖4),從而算得一個(gè)梯形的面積.中國(guó)課程常常采用一題多解,而美國(guó)課程出現(xiàn)“一題多解”機(jī)會(huì)較少,這個(gè)發(fā)現(xiàn)具有普遍意義.我們猜想“一題多解”可能是中國(guó)大陸數(shù)學(xué)課程優(yōu)勢(shì)之一,前研究便是基于這個(gè)考慮,我們分析了“一題多解”和“一題多變”的問題變式實(shí)踐,并嘗試把它提升為課程設(shè)計(jì)的框架,即螺旋變式課程設(shè)計(jì).以分?jǐn)?shù)除法、速度、體積的小學(xué)階段的教材設(shè)計(jì)為例進(jìn)行設(shè)計(jì),并在香港21個(gè)班級(jí)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)效果顯著.本文將嘗試大學(xué)階段的螺旋變式課程理論的實(shí)踐,并進(jìn)一步探討“一題多解”作為“理論指導(dǎo)”的效果.2對(duì)繼承性知識(shí)的反饋三角形中位線定理是一個(gè)基礎(chǔ)定理.但多數(shù)教材都是簡(jiǎn)單推導(dǎo),引出結(jié)論,然后就運(yùn)用定理進(jìn)行問題證明,忽視定理的來源和推導(dǎo),顯然對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)存在負(fù)面影響.參與本研究的14名澳門大學(xué)教育學(xué)院學(xué)生,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較內(nèi)地學(xué)生偏弱.教學(xué)時(shí),我們鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方法“一題多解”推導(dǎo)三角形中位線定理,在黑板上寫出并講解他們的解法,并以他們的名字命名解法.然后,不斷鼓勵(lì)學(xué)生給出新方法.3全等三角形運(yùn)動(dòng)學(xué)中點(diǎn)和中點(diǎn)以下是學(xué)生在課堂的現(xiàn)場(chǎng)解法,顯示了他們非凡的數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力,學(xué)生對(duì)三角形中位線定理的理解,富有創(chuàng)意.具體介紹如下:證明法一:清法(如圖5).評(píng)注:這是最簡(jiǎn)單直接利用相似的方法,幾乎兩步證畢,方法最簡(jiǎn)潔而優(yōu)雅.證明法二:賢法(如圖6).三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.已知:△ABC,D、E分別為AB、AC的中點(diǎn).證:連結(jié)BE、CD,其交點(diǎn)O就是△ABC的重心,由重心定理可以得出:所以可得△DOE∽△COB.由相似三角形可以得出以下結(jié)論:證畢.評(píng)注:這是簡(jiǎn)單直接利用相似的方法,幾乎兩步證畢,方法簡(jiǎn)潔、精練.證明法三:宇法(如圖7).已知:在△ABC中,D、E分別是AB和AC的中點(diǎn).求證:DE//BC,證明:(面積法)連結(jié)BE和CD.∵CD是△ABC的中線,∴DE//BC.另一方面,ED是△ABE的中線,∴△BDE和△BCE等高,從而,評(píng)注:這是簡(jiǎn)單直接利用面積的方法,幾乎兩步證畢,方法簡(jiǎn)約而別致.證明法四:嬋法(如圖8).已知:DE是△ABC的一條中位線.求證:DE//BC且證明:延長(zhǎng)DE到F,使DE=EF,連結(jié)CF.因?yàn)椤螦ED=∠CEF,〈對(duì)頂角〉DE=EF,AE=EC,〈E為AC的中點(diǎn)〉所以△ADE≌△CFE.〈邊角邊〉因?yàn)椤螪AE=∠FCE,〈全等三角形,對(duì)應(yīng)角相等〉所以AD//FC,〈內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行〉且AD=FC.〈全等三角形,對(duì)應(yīng)邊相等〉又因?yàn)锳D=DB,且AD//DB,所以BD//FC,且BD=FC.又因?yàn)镈E//DF,且所以DE//BC且評(píng)注:這是利用作三角形,全等三角形性質(zhì)的方法,方法簡(jiǎn)單.證明法五:峰法(如圖9).已知:AD=DB,AE=EC.求證:DE//BC,作AF垂直BC,DG垂直BC,EH垂直BC.評(píng)注:這是作3條高,得到3個(gè)矩形,利用全等三角形性質(zhì)和矩形方法,方法簡(jiǎn)單易明.證明法六:柱法(如圖10).己知:D、E分別為△ABC上AB邊及BC邊的中點(diǎn).求證:DE//BC且證明:延長(zhǎng)DE至F,使EF=DE,連結(jié)AF,FC,CD,因?yàn)锳E=CE,DE=EF,所以四邊形ADCF為平行四邊形,因?yàn)镈為AB中點(diǎn),且BD//FC,即AD//FC,所以BCFD為平行四邊形,證明法七:威法(如圖11).已知:△ABO,C為OA的中點(diǎn),D為BA的中點(diǎn).求證:CD平行于OB且等于OB的一半.證明:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo):則點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為:即CD等于OB的一半.又OB所在的直線斜率為0,故CD平行OB,證畢.評(píng)注:這是最簡(jiǎn)單翻譯坐標(biāo),通過解析幾何的方法,幾乎兩步證畢,方法簡(jiǎn)潔而漂亮.證明法八:斌法(如圖12).已知:△ABC中,AD=BD、AE=EC.求證:DE//BC且證:(1)過C點(diǎn)作CF平行AB,過A點(diǎn)作AF平行BC,CF和AF交于F,且G點(diǎn)為CF的中點(diǎn).(作法)(2)因?yàn)锳BCF為一平行四邊形(作法),BAB=FC,AD=BD,G點(diǎn)為CF的中點(diǎn),則AD=FG.(3)所以ADGF為一平行四邊形(AD=FG,AD//FG).(4)同理BDGC為一平行四邊形.(5)得AF//BC//DG,DG=BC=AF.(6)因?yàn)椤螦ED=∠CEG,(7)所以三角形ADF和三角形CGF為全等三角形.(9)(BDGC為一平行四邊形).評(píng)注:這是利用作平行四邊形,全等三角形性質(zhì)的方法,方法稍繁.證明法九:浩法(如圖13).已知:△ABC,DE為AB、AC邊上的中點(diǎn).求證:,且ED//BC.證明:過E點(diǎn)作AB的平行線MN,過A點(diǎn)作BC的平行線AM,則四邊形AMNB為平行四邊形.(作法)∴AM平行BN,即AM平行BC,∴三角形AME和三角形CNE全等(AAS),即AM=NC,∴AB=MN,且四邊形DENB和AMED也為平行四邊形,即DE//AM//BC,即.評(píng)注:這是利用作平行四邊形,全等三角形性質(zhì)的方法,方法和證法三類似,稍繁.證明法十:強(qiáng)法(如圖14).已知:△ABC,AD=DB,AE=EC.求證:DE//BC,.證:設(shè)A(0,0),AD=(x1,y1),AB=(x2,y2),AE=(x3,y3),AC=(x4,y4),∵AD=DB,AE=EC,(已知)∴DE//BC.評(píng)注:這方法和上面類似,翻譯坐標(biāo),通過解析幾何的方法,兩步證畢,方法簡(jiǎn)潔.證明法十一:豪法.命題:已知D、E分別為△ABC的中點(diǎn),試求證DE//BC且作法:如圖15,作線段AB,AC的垂直平分線,垂足分別為D、E,且交點(diǎn)為O.作線段AD、AE的垂直平分線,垂足分別為D′,E′,且交點(diǎn)為O′.連結(jié)OD、OE、OB、OC.證明:考慮四邊形AD′O′E′及四邊形ADOE.顯然,4組對(duì)應(yīng)內(nèi)角相等,得知它們是相似四邊形,而且A、O′、O共線.再考慮△AD′O′及△ADO,顯然,D′O′平行DO,則3個(gè)對(duì)應(yīng)內(nèi)角相等,得知它們是相似三角形,由于O′、O分別為△ADE及△ABC的外心,構(gòu)造△ADE及△ABC的外接圓,另外,由于△O′EA與△OBC為有公共底角的等腰三角形,評(píng)注:該方法不構(gòu)造任何與三角形邊的平行線來完成證明方法,利用了外心定理,兩次利用相似性質(zhì),方法較其它方法較繁.學(xué)生課堂解答情況見圖16至圖19.總體而言,我們認(rèn)為前7種方法,都值得重視,因?yàn)檫@些方法都不超過4步,方法既精煉、簡(jiǎn)潔又優(yōu)雅!其中,證明法一:清法是最簡(jiǎn)單直接利用相似的方法,兩步證畢,方法最簡(jiǎn)潔而漂亮,不添任何輔助線.證明法二:賢法直接利用相似的方法.證明法三:宇法直接利用面積比的方法,兩步證畢,方法既簡(jiǎn)潔又優(yōu)雅.證明法四:嬋法利用作三角形,全等三角形性質(zhì)的方法,方法簡(jiǎn)單,是一些教科書的方法.證明法五:峰法作高,得到矩形,借助全等性質(zhì),方法簡(jiǎn)單、明了.證明法六:柱法是簡(jiǎn)單直接利用平行四邊形的判定和性質(zhì),兩步證畢,也是一些教科書的方法.證明法七:威法,簡(jiǎn)單翻譯坐標(biāo),通過解析幾何的方法,方法既簡(jiǎn)潔又具普遍意義.事實(shí)上,很多平面幾何定理,都可以通過解析幾何的方法重新證明.證明法八(斌法)、證明法九(浩法)、證明法十(強(qiáng)法)、證明法十一(豪法)略微繁瑣,但能夠保持獨(dú)立思考,積極探索的精神仍然可佳.我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生都在尋找自己的方法,對(duì)中位線定理重新迸發(fā)證明的激情,兩個(gè)小時(shí)課堂時(shí)間,學(xué)生非常踴躍地展示自己的解法,每個(gè)學(xué)生深深陶醉在發(fā)現(xiàn)證明的喜樂之中,他們的解法也顯示不小的創(chuàng)造能力.更為重要的是,學(xué)生通過參與公式的證明,感受到原造數(shù)學(xué)定理證明的源動(dòng)力.整個(gè)教學(xué)過程,學(xué)生對(duì)三角形中位線定理的推理深深著迷、令人難忘.而不是像一開始,直接按照記憶,書寫教科書的證明思路.“一題多解”是中小學(xué)老師較為常用的教學(xué)方法,幾乎人人熟悉,但我們發(fā)現(xiàn),教師只是下意識(shí)地偶爾使用.當(dāng)我們升華為理論層面,去指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐,發(fā)現(xiàn)原來實(shí)踐可以走得更遠(yuǎn).14名普通的澳門大學(xué)生能給出十多種三角形中位線定理的證明方法,并對(duì)中位線定理證明樂此不彼,深深改變了他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度,這一事例說明值得我們重新思考“一題多解”理論和實(shí)踐價(jià)值.4題多解與“一題多解”“一題多解”的理論和實(shí)踐價(jià)值在哪里?下面通過“一題多解”的“效果真實(shí)而有效”、“數(shù)學(xué)方法體系建構(gòu)”、“實(shí)踐之根”、“本土之脈”等理論和實(shí)踐特質(zhì)及在中國(guó)“應(yīng)用的局限性”幾方面探討“一題多解”作為一種數(shù)學(xué)教學(xué)方法的理論和實(shí)踐價(jià)值,探討“一題多解”升華為理論的現(xiàn)實(shí)意義,并介紹以“一題多解”、“一題多變”之問題變式為實(shí)踐基礎(chǔ)的螺旋變式課程設(shè)計(jì)模型.“一題多解”的教學(xué)實(shí)踐,是否值得從實(shí)踐層面升華為指導(dǎo)教學(xué)的理論層面?效果真實(shí)而有效.理論的價(jià)值在于應(yīng)用的生命力,在于可立即實(shí)踐,真實(shí)地應(yīng)用于課堂,產(chǎn)生良好效果.澳門大學(xué)的普通學(xué)生,也能在短短的一節(jié)課,重新復(fù)習(xí)整合原有知識(shí),現(xiàn)場(chǎng)通過自己的思維,創(chuàng)造這些不普通的數(shù)學(xué)證明,方法個(gè)個(gè)簡(jiǎn)潔優(yōu)雅.沒有這節(jié)課,學(xué)生對(duì)中位線定理證明的理解仍會(huì)局限于原來教材的思路,這說明“一題多解”直接用于普通課堂教學(xué)可行,效果真實(shí)而“卓越”,是扎根課堂腳踏實(shí)地的“鮮活”理論,而不是空的模型.當(dāng)“一題多解”從實(shí)踐層面升華為指導(dǎo)教學(xué)的理論層面,我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定理有全新的認(rèn)識(shí),我們?cè)啻螌?shí)踐,每次效果都很顯著,數(shù)學(xué)實(shí)踐可以走得更遠(yuǎn),理論的指導(dǎo)意義更鮮明.數(shù)學(xué)方法體系建構(gòu).“一題多解”表面呈現(xiàn)多個(gè)解題方法,深層意義上,通過方法的比較和連接,更為廣義地建構(gòu)數(shù)學(xué)方法體系.本研究中,中位線定理證明的本質(zhì),通過各個(gè)位置的平移、旋轉(zhuǎn)、解析幾何、相似、重心等角度得以深化,不斷重新建立一個(gè)中位線定理證明的方法體系.反過來說,認(rèn)知結(jié)構(gòu)中各個(gè)方法孤立,缺乏比較和連接,不可能建立好的數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu),不可能建立好的數(shù)學(xué)理解.我國(guó)由于受應(yīng)試教育制度影響,重視解題思維訓(xùn)練、重視技術(shù)的傳授,使得“一題多解”(“一題多變”、“多題一解”可看為“問題變式”的特例,我們將后文陳述.)成為中國(guó)數(shù)學(xué)教與學(xué)中“問題變式”外在表現(xiàn)策略之一,“一題多解”是中小學(xué)老師較為常用的教學(xué)方法,幾乎人人熟悉,中國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)處處呈現(xiàn)這個(gè)基本特性的“細(xì)胞”,處處呈現(xiàn)這個(gè)基本特性的“單位”,處處呈現(xiàn)這個(gè)基本特性的“結(jié)構(gòu)”.這種問題變式之目的在于:使學(xué)生原有的間斷的、瑣碎的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)成為一個(gè)多角度的有機(jī)的方法體系的整體,融會(huì)貫通“數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)”的網(wǎng)絡(luò),在課后、課內(nèi)扮演著“促進(jìn)解題方法的深化、廣化”角色,這些可看作中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的小策略,然而這個(gè)“一題多解”問題變式卻有普遍意義.任何數(shù)學(xué)方法都可以借助問題變式,使得方法理解得以向深度和廣度拓展,有助于獲得“深、廣、透的數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)”體系,數(shù)學(xué)方法應(yīng)有的靈活度,推廣到全部數(shù)學(xué)方法認(rèn)知,則是一種數(shù)學(xué)教學(xué)的大智慧.實(shí)踐之根.教育的繼承和發(fā)展,需從理論到實(shí)踐,再?gòu)膶?shí)踐升華到理論的反復(fù),周而復(fù)始地發(fā)展,極少“無中生有”的理論和實(shí)踐,得以長(zhǎng)期存活發(fā)展.大多數(shù)心理學(xué)、教學(xué)論、思辨哲學(xué)研究領(lǐng)域的研究成果,并不能直接應(yīng)用到課堂,主要因?yàn)椤袄碚摗笔菑摹皩?shí)驗(yàn)室”獲取的理論,本身限制于“個(gè)體水平”、“實(shí)驗(yàn)室條件”,而不能推廣到教學(xué)的“群體水平”.理論一定要從實(shí)踐中來,課程理論一定要從課程實(shí)踐中來,而不是來自實(shí)驗(yàn)室,從實(shí)踐中來的課程理論,才更“自然”,有了“實(shí)踐之根”,更有存在課堂實(shí)踐的“生命力”.本土之脈.文革以后,中國(guó)教育改革一直學(xué)習(xí)前蘇聯(lián)、學(xué)美國(guó)、學(xué)德國(guó)、學(xué)日本,大部分教改往往曇花一現(xiàn),而難以持續(xù)發(fā)展,其中原因之一是“不服水土”,不符合本民族自己的歷史、社會(huì)、文化的“土壤”.“一題多解”是教材和教學(xué)“自然”呈現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn),是“中國(guó)本土已有的有效經(jīng)驗(yàn)之一”.因此,“一題多解”作為實(shí)踐源泉,更具中國(guó)民族的數(shù)學(xué)教學(xué)文化特色.有“本土之脈”,才有長(zhǎng)期存活于本土文化的土壤的可能.更系統(tǒng)地,“一題多解”有廣泛指導(dǎo)日常教學(xué)的可能.“一題多解”對(duì)于中國(guó)內(nèi)地研究者來說,并不新鮮,這最熟悉、常見的教學(xué)理念,乃至于容易“熟視”而“無睹”,也因?yàn)槲瓷A為理論的高度,教學(xué)中就會(huì)偶爾用,不能一貫地經(jīng)常廣泛地指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐.在中國(guó)教學(xué)與課程中,也很少用來推導(dǎo)定理公式,這次“一題多解”的實(shí)踐,大學(xué)生對(duì)一道很簡(jiǎn)單的三角形中位線定理推導(dǎo)有了新的認(rèn)識(shí),學(xué)生深深感受到了數(shù)學(xué)創(chuàng)造的樂趣,把握了數(shù)學(xué)創(chuàng)新的境界,我們看到學(xué)生從未這么深透地理解三角形中位線定理,學(xué)生對(duì)三角形中位線定理從未有這么濃厚的興趣.這一經(jīng)驗(yàn)也說明,一題多解值得讓更多教師很多地使用、更系統(tǒng)地使用、更廣泛地指導(dǎo)日常教學(xué),而不是無意識(shí)、潛意識(shí)地偶爾實(shí)踐.應(yīng)用的局限性.自古以來,中國(guó)文化強(qiáng)調(diào)從先記憶后練習(xí),即黃毅英先生所說的“入法”到“出法”的學(xué)習(xí)模式.通過中國(guó)的書法學(xué)習(xí)的模式(臨帖、習(xí)帖、超(越)帖),中國(guó)的武術(shù)學(xué)習(xí)的模式(拜師、習(xí)武、出徒),提出“入法到出法”之儒家文化圈的學(xué)習(xí)“風(fēng)格”.事實(shí)上,中國(guó)的繪畫、刺繡、陶藝等其它藝術(shù)學(xué)習(xí)也均強(qiáng)調(diào),從模仿到自我創(chuàng)新的“入法到出法”之學(xué)習(xí)模式,華人社會(huì)各類學(xué)習(xí),或明或暗,也強(qiáng)調(diào)“例子”(榜樣)為記憶效法對(duì)象,進(jìn)而帶動(dòng)理解的“入法到出法”之模式.例如,《九章算術(shù)》——世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)教科書,把所有題歸為《粟米》、《盈不足》等9章206道例題.以“例題—解術(shù)—習(xí)題”,反映了中國(guó)文化歷史上所認(rèn)同的學(xué)習(xí)的模式,《九章算術(shù)》突出強(qiáng)調(diào)從“例題”把握精髓,而逐步理解應(yīng)用的過程.將《九章算術(shù)》和《幾何原本》相比較可以看出,中國(guó)古代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“例中學(xué)”的特征體現(xiàn)得非常清晰.這里,對(duì)比西方強(qiáng)調(diào)通過“演繹”出發(fā),中國(guó)文化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式更強(qiáng)調(diào)從“例子”出發(fā);對(duì)比西方強(qiáng)調(diào)通過“做中學(xué)”,中國(guó)文化學(xué)習(xí)模式更強(qiáng)調(diào)從入法到出法的“例中學(xué)”之強(qiáng)調(diào)“模仿記憶”為始,實(shí)質(zhì)上,把自由思考的機(jī)會(huì)變?yōu)榱恕坝洃浤７隆笨臻g.雖然“一題多解”在中國(guó)教學(xué)實(shí)踐較為普遍,但“一題多解”大多用于練習(xí)鞏固,較少用于定理公式的證明、例題教學(xué).“一題多解”在中國(guó)大陸存在極大應(yīng)用“局限性”.定理公式的證明,例題教學(xué)“一題多解”大有發(fā)展空間.綜上所述,“一題多解”作為問題解法變式,是長(zhǎng)期存活于中國(guó)本土文化土壤的中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的小策略,但任何數(shù)學(xué)內(nèi)容都可以借助問題變式,使得方法理解得以深化和廣化,推廣到全部數(shù)學(xué)方法體系建構(gòu),則是一種數(shù)學(xué)教學(xué)的大智慧.由于中國(guó)數(shù)學(xué)教師較少用于例題教學(xué)、定理證明,練習(xí)鞏固中又是無意識(shí)、潛意識(shí)地偶爾實(shí)踐,存在應(yīng)用的“局限性”,我們認(rèn)為“一題多解”這種可扎根課堂腳踏實(shí)地的“鮮活”實(shí)踐,有必要把它理論化,我們?cè)噲D把這種“本土技巧”(“土法”)外顯化、理論化,使之成為穩(wěn)定可見的“課程與教學(xué)設(shè)計(jì)”的理論,以便更好地繼承發(fā)揚(yáng)這個(gè)問題變式之中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)良傳統(tǒng).什么是螺旋變式課程設(shè)計(jì)理論?前研究便是基于這個(gè)考慮,我們分析了“一題多解”和“一題多變”,這一中國(guó)內(nèi)地?cái)?shù)學(xué)課程中較為常用的教學(xué)實(shí)踐之合理元素(有時(shí)從問題角度,把問題變式看為一組變式題組.),及其在教學(xué)中扮演的角色、結(jié)構(gòu)和功能,針對(duì)根據(jù)這個(gè)具有廣泛實(shí)踐基礎(chǔ),參照了東方青浦課堂教學(xué)實(shí)踐和西方變異理論,結(jié)合了數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的本質(zhì),歸納出螺旋變式課程設(shè)計(jì)模型,強(qiáng)調(diào)有系統(tǒng)地“變”,利用問題變式,“結(jié)構(gòu)”教學(xué),實(shí)現(xiàn)概念連接,從而達(dá)成知識(shí)與方法的“深、廣、透”設(shè)計(jì)(螺旋變式課程設(shè)計(jì)模型,強(qiáng)調(diào)問題變式的3個(gè)部分:水平部分表面重復(fù)部分,垂直部分(增加了概念變化,增加了認(rèn)知負(fù)荷),數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)“中心軸”.“三者”圍繞數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)“軸”發(fā)展,導(dǎo)致螺旋式發(fā)展問題空間.加強(qiáng)了從問題的表面特征區(qū)分到問題的結(jié)構(gòu)特征區(qū)分.圍繞“變中發(fā)現(xiàn)不變”來學(xué)習(xí)抽象化和“以不變應(yīng)萬變”來學(xué)習(xí)公理化的設(shè)計(jì)理念,以分?jǐn)?shù)除法、速度、體積教材設(shè)計(jì)為例進(jìn)行設(shè)計(jì),并在香港21個(gè)班級(jí)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)效果顯著.螺旋變式課程設(shè)計(jì)模型,是基于中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的“揚(yáng)長(zhǎng)避短”的模型.主要根據(jù)中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)中,自然地使用“問題變式”實(shí)踐策略:通過