《高等應用數(shù)學》（何文閣） 第五章教案 5.3.1~5.3.2二階常系數(shù)線性微分方程（一）

課題二階常系數(shù)線性微分方程（一）課時1課時（45min）總41課時教學目標知識技能目標：（1）理解二階常系數(shù)線性微分方程的概念。（2）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。思政育人目標：培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導學生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習慣；引導學生運用所學知識揭示生活中的奧秘，在實踐中深化認識，達到學以致用的目的教學重難點教學重點：二階常系數(shù)線性微分方程的概念教學難點：二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法教學方法講練結合法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計→→→傳授新知（24min）→強化訓練（10min）→課堂小結（3min）→教學過程主要教學內容及步驟設計意圖課前任務【教師】布置課前任務，通過掃描二維碼學習有關二階常系數(shù)齊次線性微分方程知識請大家預習有關二階常系數(shù)齊次線性微分方程的的知識?！緦W生】完成課前任務通過課前任務，使了解二階常系數(shù)齊次線性微分方程的概念，增加學生的學習興趣考勤（2min）【教師】使用文旌課堂APP進行簽到，清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況問題導入（4min）【教師】提出以下問題：你知道什么是二階常系數(shù)齊次線性微分方程嗎？【學生】思考、舉手回答通過問題導入的方法，引導學生主動思考，激發(fā)學生的學習興趣傳授新知（24min）【教師】通過學生的回答引入要講的知識知識點二階常系數(shù)線性微分方程的概念?【教師】提出二階常系數(shù)線性微分方程的概念定義形如的微分方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程．其中，，為與，無關的常數(shù)．當時，稱該方程為二階常系數(shù)齊次線性微分方程．當時，稱該方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．?【學生】聆聽、理解?【教師】提出二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法定理1如果是式（5-15）的兩個特解，且線性無關（即常數(shù)），則它的通解為，（，為任意常數(shù)）．?【學生】聆聽、理解知識點二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解因為函數(shù)（為常數(shù)）的各階導數(shù)與函數(shù)本身僅相差一個常數(shù)因子，據(jù)式（5-15）常系數(shù)的特點，可設形式的函數(shù)為其解．事實上，將代入式（5-15），得．因為，所以，只要是代數(shù)方程的根，那么函數(shù)就是式（5-15）的解．我們稱關于的一元二次方程，為式（5-15）的特征方程，稱特征方程的根為特征根．下面根據(jù)特征根的情況討論式（5-15）的通解．（1）當特征方程有兩個不相等的實根（即）時，可以驗證函數(shù)，是式（5-15）的特解．同時，不是常數(shù)，所以，函數(shù)，線性無關，由定理1可知，式（5-15）的通解為．（2）當特征方程有兩個相等的實根（即）時，我們只得到式（5-15）的一個特解，為了求出其通解，我們還要找到一個與線性無關的特解．經(jīng)驗證可知，也是式（5-15）的一個特解，且與線性無關（不是常數(shù)）．此時式（5-15）的通解為．（3）當特征方程有一對共軛復根（即）時，式（5-15）有兩個復數(shù)形式的解．為了得到實數(shù)形式的解，我們可利用歐拉公式，將復數(shù)解改寫成，，并將其實數(shù)化，得到方程的兩個解為，．由于常數(shù)，即它們線性無關，所以式（5-15）的通解為．?【學生】聆聽、理解、記憶?【教師】提出二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解步驟（1）寫出微分方程所對應的特征方程；（2）求出特征方程的兩個根，；（3）根據(jù)特征根的不同情況，按表5-1寫出方程的通解．表5-1特征根的情況方程的通解形式兩個不等實根兩個相等實根一對共軛復根?【學生】聆聽、理解、記憶?【教師】例題講解例1求微分方程的通解．例2求微分方程滿足初始條件例3求微分方程的通解．，的特解．【學生】交流，理解，演算，對比教師的解析過程，查找自己的錯誤點通過教師講解和例題分析，使學生理解二階常系數(shù)齊次線性微分方程的概念，并掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的求法強化訓練（10min）變式訓練（5min）【教師】通過課堂例題進行變式訓練求微分方程滿足初始條件的特解．【學生】黑板板演【教師】巡視糾錯使用講練結合的方式，充分了解學情課堂達標（5min）【教師】布置練習題求方程的通解．【學生】練習課堂小結（3min）【教師】簡要總結本節(jié)課的要點本節(jié)課學習了二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，大家必須掌握求通解的步驟。希望大家在課下多加練習，鞏固課上所學知識，為后面的學習打下堅實的基礎。按時預習下一節(jié)課的內容?！緦W生】總結回顧知識點總結知識點，鞏固二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法相關知識的印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)完成習題5.3的1-3題【學生】完成課后任務通過課后作業(yè)復習鞏固學到的知識教學反思從教材處理方面：綜合教材本節(jié)課提出邊