數(shù)學(xué)專業(yè)抽象代數(shù)課程思政在教學(xué)中的淺談

數(shù)學(xué)專業(yè)：《抽象代數(shù)》課程思政在教學(xué)中的淺談合用專業(yè)：高職(1):數(shù)學(xué)教育本科(1):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)合用課程：抽象代數(shù)有關(guān)思政元素：抽象概括能力/主動性分析能力/綜合能力/發(fā)明性思維/發(fā)散性思維/抽象思維/數(shù)學(xué)素養(yǎng)/邏輯推理能力有關(guān)思政資源：蜚聲海內(nèi)外的杰出數(shù)學(xué)家——蘇步青國家最高科學(xué)技術(shù)獎獲獎?wù)摺獢?shù)學(xué)家谷超豪數(shù)學(xué)大師陳省身的家教智慧數(shù)學(xué)天才張益唐：對真理的追求比占有更可貴尼爾斯·亨利克·阿貝爾——挪威數(shù)學(xué)家1抽象代數(shù)課程介紹抽象代數(shù)又名近世代數(shù)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了高等代數(shù)和解析幾何課程后的繼續(xù)學(xué)習(xí)與發(fā)展的課程，同時也是數(shù)學(xué)系學(xué)生后繼學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論，代數(shù)幾何，代數(shù)拓?fù)涞日n程所必需的一門基礎(chǔ)課程。它是研究多個代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)造的一門學(xué)科，以群、環(huán)、域的理論為重要內(nèi)容。抽象代數(shù)中的等價、劃分、同構(gòu)等思想辦法已滲入到社會和自然科學(xué)的各個分支，它的成果已應(yīng)用到自然科學(xué)技術(shù)的許多方面，它已成為某些先進(jìn)國家從事通訊、系統(tǒng)工程、計算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域從事開發(fā)事業(yè)的研究人員的基本工具，同時在教育教學(xué)方面，抽象代數(shù)的許多內(nèi)容對于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)含有指導(dǎo)意義。作為高師數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，學(xué)習(xí)抽象代數(shù)的基礎(chǔ)知識，掌握其基本理論和基本思想辦法是十分必要的。因而，“抽象代數(shù)”是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)與信息專業(yè)的重要必修課程之一。2抽象代數(shù)的教學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，抽象代數(shù)中積聚了大量抽象的概念和定理證明，并且內(nèi)容邏輯性強(qiáng)，習(xí)題也以證明題為主，這使得學(xué)生學(xué)習(xí)起來非常的困難，也為教師的教學(xué)工作帶來了嚴(yán)峻的考驗(yàn)。為此，筆者根據(jù)實(shí)際教學(xué)中的切身體驗(yàn)，僅就教學(xué)中的幾個問題談一談體會，以期更加好地總結(jié)思考，拋磚引玉。2．1有關(guān)教材的選擇我國出版的抽象代數(shù)教材諸多，但大都求全、求多、習(xí)題力求設(shè)計的有難度有深度，固然，這對數(shù)學(xué)本科專業(yè)的學(xué)生而言是好事，這些教材能訓(xùn)練他們的抽象思維、邏輯推理能力，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。但對于數(shù)學(xué)?？粕蛘叻菙?shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，使用較難的教材不僅收不到預(yù)期的效果，反而會讓學(xué)生由于懼怕而失去學(xué)習(xí)的愛好。筆者認(rèn)為，在老一批的教材中張禾瑞的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》比較適合抽象代數(shù)課使用。這本教材涵蓋了抽象代數(shù)的基本知識，語言表述上簡要扼要，避免形式的、繁瑣的推廣，使學(xué)生能抓住重要的東西，比較適合初學(xué)者使用。但對于數(shù)學(xué)專業(yè)本科的學(xué)生而言，這本教材的習(xí)題較為簡樸，并且與高等代數(shù)、數(shù)論等基礎(chǔ)課程的聯(lián)系不夠緊密，需要教師對習(xí)題進(jìn)行適宜的補(bǔ)充。2．2將抽象的概念具體化讓學(xué)生理解抽象代數(shù)中概念往往是教師教學(xué)的一大難點(diǎn)。大部分教師都以“定義—例題”的模式來解說抽象代數(shù)中的概念，這樣的方式充其量只能讓學(xué)生記住這些定義，卻不能真正的理解。筆者認(rèn)為，從問題的實(shí)際背景著手，抽象出定義，然后采用正例反例并舉的講授辦法更有助于學(xué)生對概念的理解。以群為例，首先向?qū)W生介紹群的實(shí)際背景———對稱：等邊三角形的全部對稱變換構(gòu)成集合，這個集合對變換的乘法來說有某些特殊的規(guī)律，第一，有關(guān)變換的乘法封閉；第二，滿足結(jié)合律；第三，存在一種變換（恒等變換）乘任何一種集合中的元素都等于這個元素本身；第四，每一種對稱變換都存在對應(yīng)的逆變換，然后將以上的背景中的對象（變換）和運(yùn)算（變換的乘法）進(jìn)行抽象提煉，從而得到抽象的群的定義，接著提問：能不能列舉出群的例子？整數(shù)有關(guān)加法與否構(gòu)成群？有關(guān)乘法又與否能構(gòu)成群？引導(dǎo)學(xué)生思考，并給出驗(yàn)證。這種講法，不僅能讓學(xué)生當(dāng)堂就記住了群的定義，并且對運(yùn)算的封閉性、結(jié)合律、單位元、逆元都有了清晰的來源，從而使學(xué)生有較為進(jìn)一步的理解，培養(yǎng)了學(xué)生主動理解問題背景，從中提煉出數(shù)學(xué)思想的素養(yǎng)，并且有助于加強(qiáng)群論與初等數(shù)學(xué)和高等代數(shù)的聯(lián)系。2．3采用分段的辦法證明定理抽象代數(shù)中定理的證明也是一大難點(diǎn)，許多定理不僅抽象并且證明復(fù)雜，學(xué)生往往難以掌握。筆者認(rèn)為在教學(xué)過程中應(yīng)用分段法解說定理的證明過程有助于學(xué)生理清思路、調(diào)動思考的主動性。所謂的分段證明法就是從定理的結(jié)論入手，采用逆向分析的辦法，將復(fù)雜問題分解成若干個簡樸問題進(jìn)行證明。例如，在解說為什么“包含元a的右陪集用符號Ha來表達(dá)”時，首先分析Ha表達(dá)的是群中全部能夠?qū)懗蒱a（h∈H）的元，則“包含元a的右陪集用符號Ha來表達(dá)”等價于“Ha是包含元素a的一種等價類”。于是我們只需逐條證明下列三點(diǎn)：⑴a∈Ha；⑵Ha中的每個元素都與a等價；⑶全部與a等價的元素都在Ha中。這樣的解說辦法能使證明過程簡潔明了，化繁為簡，讓學(xué)生思路清晰，起到事半功倍的效果。2．4重視抽象代數(shù)中同構(gòu)思想的應(yīng)用抽象代數(shù)中研究的代數(shù)系統(tǒng)都是抽象的，我們只關(guān)心集合中元素在運(yùn)算上的聯(lián)系，并不在乎這些元素是什么，因此在某兩個代數(shù)系統(tǒng)之間能建立起一種雙射，并且這個雙射能夠保持運(yùn)算，那么我們就認(rèn)為這兩個代數(shù)系統(tǒng)含有完全相似的構(gòu)造，稱為“同構(gòu)”。兩個代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)闡明它們有關(guān)運(yùn)算的性質(zhì)完全相似，因此對于某些構(gòu)造復(fù)雜、抽象的代數(shù)系統(tǒng)能夠把它們轉(zhuǎn)化為相對簡樸的、具體的代數(shù)系統(tǒng)上來討論，這樣研究就要容易的多。例如：在群構(gòu)造理論下，一種由元a所生成的循環(huán)群G，它的構(gòu)造完全能夠由a的階來決定：如果a的階無限，那么G與整數(shù)加群同構(gòu)；如果a的階是有限整數(shù)n，那么G與模n的剩余類加群同構(gòu)。這樣研究了整數(shù)加群和以n為模的剩余類加群，整個循環(huán)群就都在我們掌握之中了。運(yùn)用同構(gòu)的觀點(diǎn)來學(xué)習(xí)“抽象代數(shù)”，有助于搞清群、環(huán)、域間的縱橫關(guān)系，有助于全方面、深刻、系統(tǒng)地理解所學(xué)的知識，也有助于培養(yǎng)分析、綜合、抽象、概括的能力。同時數(shù)學(xué)上許多問題如變量代換、復(fù)數(shù)與向量幾何、微分與積分等都是運(yùn)用某種規(guī)律的不變性，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，把微分問題轉(zhuǎn)化為積分問題等等，因此掌握同構(gòu)的思想，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面顯得尤為重要。2．5重視學(xué)生發(fā)明性思維的培養(yǎng)這就需要教師在授課過程中多向?qū)W生提問，讓學(xué)生獨(dú)立思考，而不能由于課程抽象難懂就采用灌輸?shù)姆绞浇虒W(xué)。一題多變、開放性問題等能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)明性思維的有效辦法都可應(yīng)用在抽象代數(shù)的教學(xué)中來。其中開放性問題以其“不擬定性”為特性，被譽(yù)為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)明性思維的靈丹妙藥。一種開放性問題的提出，首先需要學(xué)生的獨(dú)立思考，由于開放性問題所含有的開放性、不擬定性，不同的學(xué)生會有不同的想法，不至于有無從下手的感覺，而開放性問題的解決，更是需要同窗們的共同討論、主動參加、合作學(xué)習(xí)，從而形成探究學(xué)習(xí)的氛圍。在這個集體合作的過程中，每個學(xué)生都能體驗(yàn)到一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自主意識。例如：在解說自同構(gòu)這節(jié)時，能夠引導(dǎo)學(xué)生去構(gòu)造一種有理數(shù)集合有關(guān)普通加法來說的自同構(gòu)，并且進(jìn)行驗(yàn)證。這個問題的答案不固定，規(guī)定學(xué)生能動態(tài)分析可能的條件同時還要面臨問題間的復(fù)雜關(guān)系，有助于激活學(xué)生的發(fā)散性思維。2．6激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)抽象代數(shù)的愛好抽象代數(shù)課程抽象、推理性強(qiáng)，學(xué)生要想學(xué)好需要付出相稱的腦力勞動，因此諸多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生了畏難甚至是厭惡的情緒。愛因斯坦曾經(jīng)說過“愛好是最佳的老師”，愛好是成功的秘訣，是獲得知識的開端，是求知欲望的基礎(chǔ)。因此，通過教學(xué)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)愛好成為學(xué)好抽象代數(shù)的重要環(huán)節(jié)。筆者認(rèn)為提高學(xué)生的愛好能夠從下列兩方面著手。第一，加強(qiáng)抽象代數(shù)課程的應(yīng)用性解說。本門課程是門純數(shù)學(xué)的理論性課程，在許多的課本中幾乎找不到有關(guān)應(yīng)用的例題和習(xí)題，經(jīng)常會有學(xué)生問到“抽象代數(shù)有什么用？”，有時候連老師都回答不清，不免讓學(xué)生失望，大大地打擊了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。而事實(shí)上，抽象代數(shù)的基本思想、基本辦法與理論早已滲入到科學(xué)領(lǐng)域的各個方面，例如，初等數(shù)學(xué)中數(shù)系及其擴(kuò)展，三等分角等問題都是在抽象代數(shù)的基礎(chǔ)上得以解決，在20世紀(jì)初群論已經(jīng)用于理論物理與分子化學(xué)等等。在課本內(nèi)容中適宜地介紹抽象代數(shù)的應(yīng)用，首先讓學(xué)生理解該理論的巨大應(yīng)用價值，另首先，也能夠大大地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性。第二，教師在講授過程中也可通過多媒體向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)家的故事培養(yǎng)學(xué)生的愛好，例如，在講“群”這部分內(nèi)容開始時，能夠先向?qū)W生介紹群論的歷史，它的歷史地位以及年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾、伽羅瓦等在群論中作出的巨大奉獻(xiàn)。學(xué)生通過接觸這些歷史、歷史人物，能夠從中得到學(xué)習(xí)的動力，促使他們產(chǎn)生求知欲，并且為枯燥乏味的理論知識融入了許多的感情色彩。2．7以傳統(tǒng)的教學(xué)手段為主，計算機(jī)多媒體輔助教學(xué)在科學(xué)技術(shù)高速發(fā)展的今天，許多教師片面地強(qiáng)調(diào)當(dāng)代教育技術(shù)的廣泛應(yīng)用，但筆者認(rèn)為對于極其抽象，并且邏輯性強(qiáng)的《抽象代數(shù)》來說，還是應(yīng)當(dāng)以傳統(tǒng)的教學(xué)手段為主。由于傳統(tǒng)的板書模式教學(xué)更有助于教師與學(xué)生之間的面對面交流，在授課過程中教師就能夠通過學(xué)生的反映，對重點(diǎn)難