物理參考答案

§1解題示例圖10-5例10-1如圖10-5所示，一根無限長直導線，其中部被彎成半圓形狀，環(huán)的半徑為。當導線通有電流時，求垂直于環(huán)面的軸線上一點的磁感應強度。圖10-5解考慮到載流導線的彎曲部分和伸長部分激發(fā)磁場的規(guī)律不同，應分別計算，然后進行迭加，最后求出點處的合磁感應強度。（1）計算半圓形載流導線的磁場。在圓弧上任取電流元，它在點處產(chǎn)生磁場（圖10-6）。全部電流元在點產(chǎn)生的磁場將構成一種頂角為的半錐面。根據(jù)磁場分布的狀況，建立如圖所示的坐標系。半圓弧電流在點所產(chǎn)生的磁感應強度的分量圖10-6由對稱性可知，對應磁感應強度的分量圖10-6對應的分量（2）計算兩段半無限長直導線的磁場。顯然，對應的分量為（3）求點的合磁感應強度由于因此為求解此題首先必須繪出一幅直觀的對的的立體圖，否則很難計算，有的讀者作圖馬虎潦草，因而找不到各量之間的對的關系。因此應當注意培養(yǎng)自己的空間想象能力，按照從平面到空間的次序逐步作出所需要的圖形來。例10-2一條無限長的導線載有電流，將這導線折成一拋物線形狀（圖10-7），焦點到頂點的距離為，求焦點處的磁感應強度。解在載流拋物線上任取電流元，根據(jù)畢奧—薩伐爾定律有由于各電流元在點產(chǎn)生的磁場都垂直紙面對外，因而矢量積分退化為標量積分圖10-7圖10-7式中有幾個變量，故先統(tǒng)一積分變量，設為積分變量，則在極坐標系中，拋物線方程為將后兩式代入前式，得磁感應強度的方向垂直圖面對外。上述計算十分簡要，但若采用直角坐標系求解，則計算就比較冗長?？梢姡斴d流導線為圓錐曲線或多個螺旋線形狀時，最佳采用極坐標系。圖10-8例10-3半徑為的圓片均勻帶電，電荷面密度為，若該圓片以角速度繞其中心軸線旋轉，如圖10-8所示。求軸線上距圓中心為處的磁感應強度和旋轉圓片的磁矩。圖10-8解（1）由于圓片以角速度繞其中心軸線旋轉，形成面電流。將圓片劃分成許多同心的窄圓環(huán)。任取二分之一徑為、寬為的窄圓環(huán)（圖10-9），當圓片旋轉時，窄圓環(huán)的電流為圖10-9運用圓電流軸線上一點的磁場公式，寫出載流窄圓環(huán)在點的磁感應強度。圖10-9根據(jù)磁場的迭加原理，得圓片在點處的磁感應強度顯然，應沿軸向，設為正，則沿軸的正方向。（2）根據(jù)磁矩的定義，載流窄圓環(huán)的元磁矩旋轉圓片的磁矩為磁矩的方向沿軸的正向。例10-4有一導體組，由無限多根平行密排的導線構成，已知單位長度上有根導線，且每根導線都無限長，載有電流，求空間一點的磁感應強度。解法一運用磁場的迭加原理求因導線系平行密排，故取寬度為的窄帶元，窄帶元上流過電流，它在點處的磁感應強度圖10-10圖10-10的方向如圖10-10所示，在平行于導體組平面上的分量為在垂直于導體組平面上的分量為由幾何關系知，，，于是。將這些關系代入上面二式，并積分故如點在導體組上方，的方向水平向左；如點在導體組下方，則的方向水平向右。解法二運用安培環(huán)路定理求根據(jù)無限長直電流的的磁場分布和磁場的迭加原理，易知平行密排的載流長直導體激發(fā)均勻磁場，磁力線平行于導體組平面。取如圖10-11所示的矩形環(huán)路abcda。磁場強度的環(huán)流為圖10-11圖10-11由安培環(huán)路定理得點處的磁感應強度為以上兩種解法的成果相似，顯然解法二比解法一要簡便得多。讀者應注意，只有磁場分布含有某種對稱性時，用安培環(huán)路定理求解磁場才是方便的，并且是驚人的簡樸，但是能用安培環(huán)路定理求解磁場的問題并不多。圖10-13圖10-12（a）（b）例10-5在圖10-12（a）中，磁場垂直平面對外，其變化規(guī)律為，式中和為常數(shù)，。在圖10-12（b）中，磁感應強度的方向垂直圖面對外，其分布遵從的規(guī)律，式中圖10-13圖10-12（a）（b）解（1）因磁場的分布含有軸對稱性，故把圓形回路分割為無限多個同心圓環(huán)，任取二分之一徑為、寬為之窄圓環(huán)（圖10-13），則此面元通過面元的元磁通量通過圓形回路的總磁通量為（2）因磁場的分布僅為坐標的函數(shù)，故把半圓形回路分割為平行于軸的無限多個窄條，任取一窄條（圖10-14），則此面元圖10-14由于圖10-14因此通過面元的元磁通量通過半圓形回路的總磁通量為當磁場的空間分布不均勻時，一定要通過積分來計算磁通量。為了簡化積分運算，首先應認真考察磁場的分布狀況，特別要注意哪些點處的磁感應強度相等。然后才干把回路所包圍的曲面分割為適宜的面元。圖10-15例10-6載有電流的無限長直導線旁有始終角三角形回路ABC，三邊長度分別為a、b、c，載有電流，如圖10-15所示，回路與長直導線在同一平面內，B端與長直導線相距，AB邊與BC邊夾角為，AC邊平行于長直導線。求電流作用于三角形回路各邊的安培力。圖10-15解長直電流在周邊空間激發(fā)磁場，磁場變化的規(guī)律為，式中為場點與長直導線的距離?？梢?，三角形回路處在非均勻磁場中，下面分別計算BC、CA和AB各邊所受的磁力。（1）由于BC邊上各點的磁感應強度不等，在導線上任取電流元（圖10-16），其所受的磁力為圖10-16圖10-16因和平行，因此有，于是由于各電流元受力方向相似，可直接對上式積分，BC邊所受的磁力為的方向垂直BC向下。（2）因CA邊平行于長直電流，導線上各點磁感應強度的大小和方向相似，因此可運用（10-27），徑直寫出（3）在AB邊上任取電流元，作用于它上面的磁力為圖10-17元力的方向如圖10-17所示。由于各電流元受力方向相似，因而可用標量積分求合力。須注意，這時和不再平行，故有，于是電流元所受磁力為圖10-17AB邊所受磁力為的方向垂直AB向上。例10-7今在一根載有電流的長直導線右側，共面地放置另一根載流導線，該導線載有電流，導線的軌跡，端點坐標為和，如圖10-18所示，試求載流導線acb所受的安培力。解導線acb處在非均勻磁場中，任取電流元，電流元所在處的磁場，方向垂直圖面對里。根據(jù)安培定律，電流元受力的大小為圖10-19圖10-18方向如圖10-19圖10-19圖10-18因各電流元受力方向不同，這時必須把分解為兩分力的計算以下根據(jù)對稱性分析，也可直接寫出。載流導線acb所受合力為負號表達合力沿x軸的負向。例10-8半徑為的半圓形線圈，通過電流，可繞軸轉動。如圖10-20所示，線圈放在勻強磁場中，磁場的方向與線圈平面平行。求（1）線圈所受磁力矩；（2）在磁力矩作用下，線圈轉過時磁力矩所做的功。解法一按定義來計算力矩和力矩的功（1）在圓弧上任取電流元，其所受磁力的大小為，方向垂直線圈平面對外，如圖10-21所示。磁力對軸的元力矩為元力矩的方向沿向下。整個線圈所受磁力矩為（2）當線圈轉動時，磁力矩將發(fā)生變化，設線圈面法線與磁場的夾角為，則磁力矩體現(xiàn)式應為線圈在轉過時磁力矩的功為圖10-21圖圖10-21圖10-20解法二由磁力矩和磁力的功的公式來計算（1）因半圓形線圈是平面線圈，磁場又是均勻的，故可應用式（10-3）來計算磁力矩，即（2）由于線圈中流過穩(wěn)恒電流，故可用式（10-9）來計算磁力矩的功。即解法一從定義出發(fā)來計算力矩和力矩的功，物理意義明確。解法二直接引用公式，計算簡捷，但必須注意公式的合用條件。例10-9如圖10-22所示，有一種載電流的線框，由張角的圓弧和連接圓弧兩端的弦線所構成，圓弧半徑為a，另一種載電流的固定長直導線穿過圓弧的中心，并垂直線框平面。線框可繞MN軸轉動，MN⊥PQ。求直電流激發(fā)的磁場作用于線框的磁力矩