數(shù)學問題解決的認知過程分析

數(shù)學問題解決的認知過程分析

一、在智學科學和教育的學習過程中促進學生數(shù)學認知的發(fā)展認知研究是世界國家科技戰(zhàn)略的特別關(guān)注領(lǐng)域之一?！秶抑虚L期科學和技術(shù)發(fā)展規(guī)劃綱要(2006—2020年)》將“腦科學與認知科學”列為我國科技中長期發(fā)展規(guī)劃的八大前沿科技領(lǐng)域之一。認知科學就是要“說明和解釋人在完成認知活動時是如何進行信息加工的”,通過在心智、腦科學和教育(Mind,BrainandEducation)之間建立橋梁,將最新成果應用于學習和教育過程。隨著學習科學的發(fā)展,許多研究者關(guān)注學習者的學習過程。我國《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》也指出,“課程內(nèi)容要符合學生的認知規(guī)律,不僅包括數(shù)學的結(jié)果,也包括數(shù)學結(jié)果的形成過程和蘊涵的數(shù)學思想方法”。數(shù)學問題解決是典型的學習活動,分析問題解決認知過程有助于深入了解學生數(shù)學認知規(guī)律。本文分析了認知模擬的相關(guān)研究,綜合心理學、教育學、腦科學、認知神經(jīng)科學、人工智能等相關(guān)學科研究成果,以小學數(shù)學程序性知識典型問題為例,分析問題解決認知過程,實現(xiàn)認知模擬及可視化顯示,并討論對小學數(shù)學教學的啟示。二、數(shù)學問題解決認知模擬的現(xiàn)狀許多研究者使用計算機模擬的方法來研究問題解決的內(nèi)部過程。紐厄爾和西蒙編寫了第一個模擬人類解決問題的計算機程序———邏輯理論家(LogicTheorist,簡稱LT),成功模擬了人證明符號邏輯定理的認知過程。LT證明了Whitehead所著數(shù)學名著《數(shù)學原理》中的全部52條定理,實現(xiàn)了對人類啟發(fā)式搜索的問題解決過程的模擬。紐厄爾和西蒙開發(fā)了通用問題解決者(GeneralProblemSolver,簡稱GPS)程序。該程序主要是依據(jù)“手段—目的分析”方法編寫而成,成功模擬了定理證明、河內(nèi)塔(TowerofHanoi)、傳教士和野人過河等多種不同類型的問題。Hiller等人開發(fā)了模擬人譜寫樂曲的計算機程序;紐厄爾等人開發(fā)了模擬人下棋的程序;紐厄爾等人根據(jù)經(jīng)驗修改其自身許多方面,進而達到“學習”的計算機程序。西蒙對頓悟、理解等思維和問題解決的行為進行了計算機模擬,他認為計算機模擬是一個預測和解釋大量思維現(xiàn)象的強有力工具。在數(shù)學問題解決認知模擬領(lǐng)域,安德森等人使用ACT-R模擬了代數(shù)方程式“7x+3=38”的解題過程,魏雪峰對典型陳述性知識小學五年級“眾數(shù)”問題實現(xiàn)了認知模擬。幾何證明是重要的數(shù)學問題,Gelernter等人開發(fā)了模擬人證明幾何定理的計算機程序———幾何機器(GeometryMachine),李莉等人使用ACT-R實現(xiàn)了平行證明幾何問題的認知模擬。我國學者吳文俊院士提出了一種幾何定理機器證明的數(shù)學算法,被稱為“吳方法”。張景中院士等人在“吳方法”的基礎(chǔ)上進行改進,使新的算法實現(xiàn)了幾乎所有幾何證明題的自動解題。綜合以上分析可知,現(xiàn)有的數(shù)學問題解決認知模擬主要存在以下不足。(1)數(shù)學問題的計算機自動解答,雖然取得了巨大進展,但僅從機器角度實現(xiàn),和數(shù)學課程所要求的解答有很大的不同,沒有考慮學生問題解決的過程,解題所用的方法也常常超出學生所掌握的知識范圍,不能對教學提供幫助和指導。(2)卡耐基梅隆大學安德森(AndersonJ.R.)教授帶領(lǐng)的研究團隊對數(shù)學問題解決的認知過程進行了研究,并提出了用于指導模擬和理解人類認知的ACT-R理論,但沒有給出如何分析小學數(shù)學問題解決認知過程。(3)已有研究僅從各自視角對數(shù)學問題解決進行了分析,未能綜合相關(guān)學科的研究成果,缺乏實質(zhì)性的學科交叉研究。三、小學數(shù)學問題的認知模擬(一)數(shù)學程序性知識研究過程中分析的內(nèi)容是小學五年級下冊第四單元“分數(shù)的意義和性質(zhì)”中的“異分母相加”知識點?！爱惙帜赶嗉印敝R點的教學目標是學會計算兩個異分母相加,是小學數(shù)學程序性知識典型問題。在學習“異分母相加”之前,學生已經(jīng)知道自然數(shù)2、3、5的倍數(shù)特征,了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。在1~100的自然數(shù)中,能找出10以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù),能找出10以內(nèi)兩個自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。根據(jù)“異分母相加”知識點和學生的特點,設(shè)計了以下題目:“請給長方形紙張涂顏色,整張紙的1/3涂成黃色,整張紙的2/5涂成黑色,顏色不能相重(即涂黃色的位置不能涂黑色,涂黑色的地方不能涂黃色),黃色和黑色共占整張紙的幾分之幾?”(二)問題的認知過程認知模型是分析問題解決認知過程的依據(jù)。以小學數(shù)學問題解決認知模型(ACognitiveModelofMathematicalProblemSolving,CMMPS)為分析框架,該認知模型包括視覺模塊(VisualModule)、產(chǎn)生式模塊(ProductionModule)、提取模塊(RetrievalModule)、目標模塊(GoalModule)、問題狀態(tài)或問題空間模塊(ProblemStateModule,也稱為ImaginalModule)、輸出模塊(ManualModule)等六個模塊?！爱惙帜赶嗉印眴栴}解決的認知過程可描述為:(1)學生看到問題,視覺編碼后,激活長時陳述性記憶中相關(guān)對象,實現(xiàn)題意理解,將目標確定為異分母相加,即“1/3+2/5=?”,完成了從應用問題到計算問題的轉(zhuǎn)換;(2)要解決問題“1/3+2/5=?”,激活產(chǎn)生式“異分母相加→求最小公倍數(shù)”,將目標確定為求3和5的最小公倍數(shù);(3)要求3和5的最小公倍數(shù),激活產(chǎn)生式“3和5的最小公倍數(shù)→3×5”,提取長時陳述性記憶中的事實“3×5=15”;(4)求得最小公倍數(shù)之后,要將異分母化為同分母,即通分,“1/3”和“2/5”分別通分為“5/15”、“6/15”;(5)通分后,異分母相加問題轉(zhuǎn)化為同分母相加,激活產(chǎn)生式“同分母相加→分母不變,分子相加”;(6)提取長時陳述性記憶中的事實“5+6=11”,結(jié)果為“11/15”,解題過程結(jié)束。為了形象直觀的表示“異分母相加”這一問題解決認知過程,分析結(jié)果以認知矩陣形式表示,見表1。表1中最左側(cè)的一列數(shù)字表示行號,每一列表示問題解決過程中每個模塊在不同時刻的內(nèi)容;每行代表認知邏輯步驟(CognitiveLogicStep),并非與實際解題步驟完全一致,最后一行表示認知過程結(jié)束,即問題解決過程結(jié)束。(三)采用act-r的模型認知模擬工具是美國卡耐基梅隆大學著名認知心理學家安德森(Anderson,JohnR.)教授研究團隊開發(fā)的ACT-R6.0(AdaptiveControlofThoughtRational,簡稱ACT-R),其內(nèi)部架構(gòu)、參數(shù)設(shè)定都是依據(jù)大量的心理學實驗數(shù)據(jù)得到的,很多數(shù)據(jù)是通過核磁共振實驗精確驗證過的,具有一定的認知神經(jīng)學基礎(chǔ)。它已經(jīng)被廣泛使用來模擬人類認知行為的不同方面,例如漢諾塔問題(TowerofHanoi)、語言理解、模式識別、記憶、簡單幾何證明等。對于不同的任務,研究者可以結(jié)合ACT-R的認知觀,增加自己對特定任務的假設(shè),建立具體問題的ACT-R模型。研究中根據(jù)以上對“異分母相加”問題解決認知過程的分析,構(gòu)建“異分母相加”ACT-R模型,使用CommonLisp語言編寫認知程序,實現(xiàn)認知模擬?！爱惙帜赶嗉印眴栴}解決認知過程模擬如圖2所示,最小時間間隔為0.05秒(默認值)。從模擬過程可以看出,問題解決過程中設(shè)定目標是關(guān)鍵一步,從確定目標開始,中間過程是問題狀態(tài)的不斷轉(zhuǎn)換,最終以達到目標結(jié)束。(四)緩沖及頂葉層paratortepo底激活ACT-R中的模塊映射到腦區(qū),這種映射可以使用功能性磁共振成像(FunctionalMagneticResonanceimaging,fMRI)方法來記錄“異分母相加”問題解決過程中大腦的血氧水平依賴(BloodOxygenLevelDependentResponse,BOLD)相應數(shù)據(jù)。圖1以三維圖的形式在大腦模型中顯示了“異分母相加”問題解決過程某時刻大腦激活區(qū)。圖1中“0.0~1.0”表示的是亮度值。“0”是最小值,表示沒有被激活,區(qū)域是黑色的;值越接近“1”,表示激活的越多,區(qū)域亮度越高。圖的左側(cè)以不同顏色標示了緩沖區(qū),緩沖區(qū)右側(cè)數(shù)字是激活程度。圖的右側(cè)是大腦激活區(qū)域,用與左側(cè)模塊相同的顏色顯示。從圖1中可以看出,“異分母相加”問題解決過程中目標、提取、產(chǎn)生式緩沖區(qū)均有不同程度激活,其中目標緩沖區(qū)激活程度最大,值為0.981,接近最大值。緩沖區(qū)與大腦區(qū)域的對應關(guān)系,從圖1中可以明顯看出,圖像緩沖區(qū)(Imaginal)中內(nèi)容(主要是數(shù)字)的提取與頂葉皮層(ParietalCortex)的激活密切相關(guān),這一結(jié)論與Pinel等人、Eger等人、張紅川等人關(guān)于被試在看到數(shù)字或進行數(shù)字加工時頂葉皮層顯著激活的研究結(jié)論一致。提取(Retrieval)緩沖區(qū)負責提取陳述性記憶,與前額葉皮層(PrefrontalCortex)激活相關(guān),這一結(jié)論與秦裕林等人、安德森等人、Sohn等人研究結(jié)論相一致,即前額葉(ThePrefrontal)而不是頂葉(TheParietal)與個人知識提取相關(guān)。程序性(Procedural)緩沖區(qū)負責程序性知識的提取,與基底節(jié)激活密切聯(lián)系,這一結(jié)論與Hikosaka等人的研究結(jié)論一致。四、實驗實驗目的是比較“異分母相加”問題解決認知過程模擬和學生實際問題解決過程的一致性。(一)男、女混合試選取河北省高陽縣某小學五年級5班6名學生為被試,其中男、女各半,平時數(shù)學綜合成績優(yōu)、中、差各2名,平均年齡133個月,年齡范圍在128~138個月之間。(二)類型課外練習,背景以背景表1/3;犯2.實驗材料為根據(jù)本研究目的專門設(shè)計的兩道問題。(1)五年級2班進行跳繩測驗,第1組7名同學1分鐘跳繩成績?nèi)缦?你認為用什么數(shù)表示這個小組同學跳繩的一般水平合適?(2)請給長方形紙張涂顏色,整張紙的1/3涂成黃色,整張紙的2/5涂成黑色,顏色不能相重(涂黃色的位置不能涂黑色,涂黑色的地方不能涂黃色),黃色和黑色共占整張紙的幾分之幾?其中,第1題是用于訓練學生出聲思維的練習題,第2題為“異分母相加”知識點題目。(三)收集英語報告的過程實驗過程中使用口語報告法收集資料。指導語為:“請大聲讀題,在解題過程中自己怎么想就怎么說。也就是說,在做題過程中一邊想一邊說。把自己的思考過程大聲說出來,以便知道你是怎么做題的?！弊鲱}開始前,主試(研究者本人)先簡單說明指導語的要求,之后以第1題為例,主試示范并說明在做題過程中如何出聲思考。在被試學會出聲思考后,開始做第2題,并同時錄像,記錄學生解題過程。收集的資料包括口語報告資料和解題作業(yè)兩部分。對于口語報告資料,首先由專業(yè)人員轉(zhuǎn)譯成文本,再結(jié)合學生的解題作業(yè)進行編碼分析。編碼工作由兩位專業(yè)人員負責,對于編碼中少量不一致的地方,經(jīng)討論后達成一致?？谡Z報告記錄通常所提供的直觀信息是有關(guān)解決問題時所需要的知識和信息,并不是實際的加工過程。因此,編碼過程中有必要從口語報告記錄的信息中推論出內(nèi)部加工過程而不是嘗試直接編碼這一加工過程。(四)“異投”問題紐厄爾和西蒙實現(xiàn)了人類思維的計算機模擬,并通過口語報告與機器模擬結(jié)果比較來推斷機器模擬的有效性。本實驗也采用此方法以驗證模擬的有效性。分析“異分母相加”問題解決口語報告可以發(fā)現(xiàn),WangZY、ChenHY和XingYR等同學解題過程都包括了通分、求最小公倍數(shù)、同分母相加等環(huán)節(jié),但在求最小公倍數(shù)環(huán)節(jié),WangZY提到了“3和5為互質(zhì)數(shù),最小公倍數(shù)為3×5=15”,而ChenHY和XingYR直接說出了“最小公倍數(shù)為3×5=15”。LiL同學解題錯誤,因為解題過程中使用了錯誤的產(chǎn)生式?！爱惙帜赶嗉印眴栴}解決認知模擬與口語報告比較如圖2所示。左側(cè)是認知模擬的結(jié)果,右側(cè)是口語報告的內(nèi)容。比較后發(fā)現(xiàn),兩者一致。五、小學數(shù)學教育的傳達(一)網(wǎng)絡(luò)“互質(zhì)數(shù)”與“最小公倍數(shù)”關(guān)于“異分母相加”問題,WangZY、ChenHY和XingYR雖然都正確解題,但細節(jié)還是存在差異。在求最小公倍數(shù)環(huán)節(jié),WangZY提到了“3和5為互質(zhì)數(shù),最小公倍數(shù)為3×5=15”,激活了長時陳述性記憶中“互質(zhì)數(shù)”的概念。求最小公倍數(shù)時,根據(jù)互質(zhì)數(shù)的性質(zhì),最小公倍數(shù)為兩數(shù)相乘,激活了長時程序性記憶。而ChenHY和XingYR則直接說出了“最小公倍數(shù)為3×5=15”,激活了長時程序性記憶。因此,數(shù)學教學中應考慮學生解題策略的不同,鼓勵學生從不同角度解決問題,有意識地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。(二)簡化認知行為,形成“組塊”在“異分母相加”問題求“3和5的最小公倍數(shù)”時,WangZY說“3和5是互質(zhì)數(shù),最小公倍數(shù)是3×5=15”,而ChenHY則直接說“3和5的最小公倍數(shù)是15”,直接給出了計算結(jié)果。這一現(xiàn)象說明了學生在解題過程中,內(nèi)部認知操作可以壓縮,經(jīng)過長時間的訓練,幾個簡單的認知操作可能會壓縮為一個,形成“組塊”。如兩個產(chǎn)生式規(guī)則P1:A→B;P2:B→C,P1和P2經(jīng)常同時激活,會產(chǎn)生新的產(chǎn)生式規(guī)則P3:A→C。安德森研究解代數(shù)方程問題時發(fā)現(xiàn)同樣存在“自動化”(SpeedUp)現(xiàn)象,認為經(jīng)過充分的訓練可能會將解方程簡化為一系列的視覺編碼和輸出操作。匈菲爾德研究表明,要成為某個領(lǐng)域的專家,一般需要在長時記憶中擁有大約50000個知識塊,這些知識塊是該領(lǐng)域內(nèi)進行思維操作的具體對象,而且,在許多情況下看似在運用策略,實際上是在運用這類已相當完善的知識塊。以上研究結(jié)論與本研究分析一致,這也在一定程度上解釋了數(shù)學成績優(yōu)秀的學生和數(shù)學成績差的學生在解決問題時的差異,前者具有較多的“自動化”知識,而后者則較少。(三)產(chǎn)生錯誤產(chǎn)生式“異分母相加”問題中,LiL求解“1/3+2/5”時,激活了錯誤的產(chǎn)生式P1:異分母相加→分母、分子分別相乘,導致問題解決錯誤。產(chǎn)生錯誤產(chǎn)生式的原因可能有兩個。(1)LiL同學對分數(shù)的意義不理解。長時陳述性記憶中關(guān)于分數(shù)的語義模型有問題。(2)對前面講過的通分策略沒有理解,不知道為什么通分,如何通分。安德森研究了學生學習解代數(shù)方程的認知過程也認為,學習發(fā)生在符號層級,創(chuàng)建(或生成)了新的產(chǎn)生式規(guī)則。因此,教師如何幫助學生形成正確的產(chǎn)生式規(guī)則是程序性知識學習的重要環(huán)節(jié)。(四)直接分子、客觀分子和分子相乘LiL在計算“異分母相加”時出現(xiàn)了典型錯誤,分析口語報告可以發(fā)現(xiàn):(1)LiL成功提取了陳述性知識3×5=15和1×2=2,說明兩數(shù)相乘沒有問題;(2