2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)微專題第六章巧用隱形圓解題

微專題(學(xué)用見P102~103)巧用隱形圓解題類型一到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)典例1如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E在邊BC上,沿AE將正方形進(jìn)行折疊,使點(diǎn)B落在正方形ABCD的內(nèi)部點(diǎn)P處,則CP的最小值是()A.2 B.2－2C.22－2 D.22+2【解析】由折疊知,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)A為圓心,以AB為半徑的圓弧上,連接AC交圓弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP取最小值.∵AC=2AB=22【答案】C如圖,在平面內(nèi),O為定點(diǎn),A為動(dòng)點(diǎn),且OA的長(zhǎng)度為定值,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是以點(diǎn)O為圓心,OA長(zhǎng)為半徑的圓或圓弧的一部分.在折疊問題中,有時(shí)會(huì)用到“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)在同一個(gè)圓上”來進(jìn)行解題.提分1(2021·合肥蜀山區(qū)模擬)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=8,線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D,E分別在邊AC,BC上滑動(dòng),且DE=6.若M,N分別是DE,AB的中點(diǎn),則MN的最小值為(B)A.10－41 B.41－3C.241－6 D.3【解析】連接CM,CN.在△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=8,∴AB=AC2+提分2(2020·山東泰安)如圖,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2),C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),BC=1,M為線段AC的中點(diǎn),連接OM,則OM的最大值為(B)A.2+1 B.2C.22+1 D.22【解析】如圖,取OD=OA=2,連接CD.∵AM=CM,OD=OA,∴OM是△ACD的中位線,∴OM=12類型二定弦對(duì)定角典例2如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部,且∠APB=90°,則DP的最小值為()A.13 B.5－2C.13－2 D.13+2【解析】∵∠APB=90°,∴點(diǎn)P在以AB的中點(diǎn)O為圓心,以12AB長(zhǎng)為半徑的位于矩形【答案】C在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB為定長(zhǎng).如圖,取AB的中點(diǎn)O,則點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心,12AB長(zhǎng)為半徑的定圓上提分3如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,且BE=CF,連接AE,BF相交于點(diǎn)M,則CM的最小值為(C)A.5－1 B.2 C.25－2 D.25+2【解析】∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°.∵BE=CF,∴△ABE≌△BCF,∴∠BAE=∠CBF.∵∠ABM+∠CBF=90°,∴∠ABM+∠BAM=90°,∴∠AMB=90°,∴點(diǎn)M在以AB為直徑的14圓弧上,提分4(2021·合肥廬陽區(qū)校級(jí)一模)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AB=5,D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,在AD上取一點(diǎn)E,使∠DAC=∠DCE,連接BE,則BE的最小值為(C)A.25－3 B.5C.13－2 D.9【解析】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AB=5,∴AC=4,如圖,取AC的中點(diǎn)O,連接OE,OB,BE.∵∠DAC=∠DCE,∠DCE+∠ACE=90°,∴∠DAC+∠ACE=90°,∴∠AEC=90°,∴CE⊥AD,∴點(diǎn)E在以O(shè)為圓心,半徑為OA的圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)O,E,B三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),BE最短,此時(shí)OE=OC=OA=2.在Rt△OCB中,OB=32+2提分5(2020·江蘇無錫改編)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,則△ABC面積的最大值為4.

【解析】如圖,取AB的中點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心,12AB長(zhǎng)為半徑畫圓,易知點(diǎn)類型三四邊形中有兩個(gè)直角典例3如圖,在四邊形ABCD中,∠ADB=∠ACB=90°,∠DAB=55°,∠ABC=65°,則DCAB的值為()A.33 B.12 C.32【解析】∵∠ADB=∠ACB=90°,∠DAB=55°,∠ABC=65°,∴∠DBA=35°,∠CAB=25°,∠DAC=55°－25°=30°.設(shè)AC,BD的交點(diǎn)為O,∴OD=12【答案】B(1)共斜邊的兩個(gè)直角三角形,同側(cè)或異側(cè)都會(huì)得到四點(diǎn)共圓;(2)四點(diǎn)共圓后可以根據(jù)圓周角定理得到角度相等,完成角度等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化,是證明角度相等的重要途徑之一.提分6如圖,在△ABC中,BE,CD分別是AC,AB邊上的高,且BC=10DE,BE=6,則AE的長(zhǎng)為(B)A.32B.2C.2 D.3【解析】∵BE⊥AC,CD⊥AB,易證點(diǎn)B,C,E,D在以BC為直徑的圓上,∴∠AED=∠ABC.又∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,∴AEAB=ADAC=DEBC.∵BC=10DE,∴sin∠ABE=AEAB=DEBC提分7在四邊形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90°,CB=CD,BD是對(duì)角線.(1)延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若A是BE的中點(diǎn),如圖1,求∠E的度數(shù).(2)連接AC交BD于點(diǎn)P.①求證:CD2=CP·CA;②若AD=2,CD=32,求PBPD的值解:(1)∵∠DAB=90°,AE=AB,∴DE=DB,∴∠E=∠DBA.∵∠DCB=90°,CD=CB,∴∠CDB=∠CBD=45°,∴∠E=∠DBA=12∠CDB=22.5°(2)①如圖1,取BD的中點(diǎn)O,連接OA,OC.∵∠DAB=∠DCB=90°,∴OC=12BD=OB=OD=OA,∴點(diǎn)A,B,C,D在以點(diǎn)O為圓心,以O(shè)A長(zhǎng)為半徑的圓上∵CD=CB,∴∠CDP=∠CAD.∵∠DCP=∠ACD,∴