高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題-線面垂直方法總結(jié)

用定義或判定定理證明線面垂直【例1】如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE；直線與平面垂直2021/5/91【證明】(1)在四棱錐P—ABCD中，因為PA⊥底面ABCD，CD

平面ABCD，故PA⊥CD.又因為AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE

平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，得△ABC是等邊三角形，故AC＝PA.2021/5/92因為E是PC的中點，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD

平面PCD，所以AE⊥PD.又因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.由已知得AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.又PD

平面PAD，所以AB⊥PD.因為AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.2021/5/93點評

本題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力．立體幾何的證明關(guān)鍵是學(xué)會分析和掌握一些常規(guī)的證明方法．如：已知中點證明垂直時要首先考慮等腰三角形中的“三線合一”；已知線段或角度等數(shù)量關(guān)系較多時最好標(biāo)示出來，充分進(jìn)行計算，從而發(fā)現(xiàn)蘊含的垂直等關(guān)系；已知線面垂直時會有哪些結(jié)論，是選擇線線垂直還是選擇面面垂直；要證明結(jié)論或要得到哪個結(jié)論，就必須滿足什么條件等．

2021/5/94【變式練習(xí)1】如圖，E，F(xiàn)分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點，沿EF將△AEF折起到△A1EF的位置，連結(jié)A1B，A1C.求證：(1)EF⊥平面A1EC；(2)AA1⊥平面A1BC.2021/5/952021/5/96用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直

2021/5/97【證明】如圖，∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以BC⊥CC1.而AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AM.連結(jié)A1C.可以證明Rt△ACM∽Rt△AA1C，所以AM⊥A1C.而A1C∩BC＝C，所以AM⊥平面A1BC，所以A1B⊥AM.2021/5/98點評

證明線線垂直常構(gòu)造一個平面經(jīng)過一條直線與另一條直線垂直，從而達(dá)到由線面垂直證明線線垂直的目的．2021/5/992021/5/9102021/5/9112021/5/912通過計算證明線線垂直

【例3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中點，O是底面正方形ABCD的中心．求證：OE⊥平面ACD1.

2021/5/9132021/5/914點評

要證線面垂直可找線線垂直，這是幾何中證明線面垂直時常用的方法，在證明線線垂直時，要注意從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，如利用勾股定理等．2021/5/915【變式練習(xí)3】直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.求證：AC⊥平面BB1C1C.

2021/5/9162021/5/9171.有下列四個命題：①若一條直線垂直于一個平面內(nèi)無數(shù)條直線，則這條直線與這個平面互相垂直；②若兩條直線互相垂直，其中一條垂直于一個平面，則另一條直線與該平面平行；③若兩條直線同時垂直于同一個平面，則這兩條直線互相平行；④若一條直線和一個平面不垂直，則這個平面內(nèi)不存在與該條直線垂直的直線．其中錯誤的命題是_______________.①②④

2021/5/9182.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為2，M是AD1上任意一點，M到平面BCB1的距離是_______.

22021/5/9193.如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個幾何體，使G1，G2，G3三點重合于點G，這樣，下列五個結(jié)論：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF.其中正確的是_______.

①④2021/5/9202021/5/9212021/5/9225.如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.2021/5/923【證明】(1)連結(jié)AC，取其中點O，連結(jié)NO、MO，并延長MO交CD于R.因為N為PC的中點，所以NO為△PAC的中位線，所以NO∥PA.而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所以NO⊥CD.又四邊形ABCD是矩形，M為AB的中點，O為AC的中點，所以MO⊥CD.而MO∩NO＝O，所以CD⊥平面MNO，所以CD⊥MN.2021/5/924(2)連結(jié)NR，則∠NRM＝∠PDA＝45°.又O為MR的中點，且NO⊥MR，所以△MNR為等腰三角形且∠NRM＝∠NMR＝45°，所以∠MNR＝90°，所以MN⊥NR.又MN⊥CD，且NR∩CD＝R，所以MN⊥平面PCD.2021/5/9251．在線面垂直的定義中，一定要弄清楚“任意”與“無數(shù)”這兩個術(shù)語內(nèi)涵的差異，后者存在于前者中．“任意”的理解最終轉(zhuǎn)化為“兩條相交直線”，證明時此條件不可缺少．2021/5/9262021/5/9273．面面垂直的性質(zhì)的理解中三個條件也不可缺少，即：①兩個平面垂直；②其中一個平面內(nèi)的直線；③垂直于交線．所以無論何時見到已知兩個平面垂直，都要首先找其交線，看是否存在直線垂直于交線來決定是否該作輔助線，這樣就能目標(biāo)明確，事半功倍．2021/5/9281．已知四棱錐P－ABCD的頂點P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的兩條對角線的交點，若AB＝3，PB＝4，則PA長度的取值范圍為____________．2021/5/9292021/5/9302021/5/931【解析】①中n可能在α內(nèi)；②n與m可以垂直；由線面垂直與面面垂直知③④是正確的.答案：③④選題感悟：本題呈現(xiàn)的是空間中的線線、線面、面面之間的位置關(guān)系，能有效的考查考生的空間想象能力和推理能力．

2021/5/9323．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2.(1)求四棱錐P－ABCD的體積V；(2)若F為PC的中點，求證：PC⊥平面AEF；(3)求證：CE∥平面PAB.2021/5/9332021/5/934(2)證明：因為PA＝CA，F(xiàn)為PC的中點，所以AF⊥PC.因為